4.3对数函数（第2课时习题课对数函数图象和性质的应用）课件高一上学期数学北师大版

3对数函数第2课时习题课对数函数图象和性质的应用第四章对数运算与对数函数北师大版

数学

必修第一册重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标重难探究·能力素养速提升探究点一解对数不等式【例1】

(1)满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合为

.

(2)若loga<1,则a的取值范围为

.

规律方法

对数不等式的三种考查类型及求解方法(1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.变式训练1(1)已知log0.3(3x)<log0.3(x+1),则实数x的取值范围为(

)A★(2)解不等式2loga(x-4)>loga(x-2)(a>0,且a≠1).探究点二对数型复合函数的单调性问题【例2】

(1)求函数

的单调区间.(2)若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.解

由已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,设t=x2+ax-a-1,其图象为开口向上的抛物线,因而解得a>-3.故实数a的取值范围为(-3,+∞).规律方法

对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax).①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.变式训练2讨论函数

的单调性.探究点三对数型复合函数的奇偶性问题【例3】

已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性.规律方法

对数型复合函数奇偶性的判断方法对数函数是非奇非偶函数,但与某些函数复合后,就具有奇偶性了,如y=log2|x|就是偶函数.证明这类函数奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数解析式进行化简或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)⇔f(-x)∓f(x)变式训练3若函数

为偶函数,则实数a=

.

1探究点四与对数函数有关的值域与最值问题【例4】

求下列函数的值域:(1)y=log2(x2+4);解

(1)y=log2(x2+4)的定义域为R.∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).(2)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,又u>0,∴0<u≤9.规律方法

与对数函数有关的值域与最值问题的处理策略

策略一求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围策略二求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau(a>0,且a≠1)的值域变式训练4已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.解

∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,∴6≤(log3x+3)2-3≤13,∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.探究点五对数函数在实际生活中的应用【例5】

溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.所以随着[H+]的增大,pH值减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸碱度就越小.(2)当[H+]=10-7时,pH=-lg

10-7=7,所以纯净水的pH是7.变式训练5大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数,v的单位是m/s,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.本节要点归纳1.知识清单:(1)解对数不等式;(2)对数型复合函数的单调性及奇偶性;(3)解与对数函数有关的最值问题;(4)与对数函数有关的实际应用问题.2.方法归纳:换元法、数形结合法.3.常见误区:在解对数型复合函数的性质问题时易忽略真数大于0的条件.学以致用·随堂检测促达标123451.不等式log2(x-1)>-1的解集是(

)D123452.(多选题)若函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则a,b的值可能是(

)BD解析

令t=|x-b|,该函数在(-∞,b)上单调递减,要使函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则外层函数y=logat是定义域内的减函数,则0<a<1,由t=|x-b|在(-∞,0)上恒大于0,则b≥0.故选BD.123453.函数

(0<x<8)的值域为

.

(-2,0)123454.函数

的单调递增区间为

.

123455.已知函数f(x)=ln(2-2x)+ln(2-2-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解