2024年高考数学一轮复习：直线与圆的方程（含解析）理

单元检测(九)直线与圆的方程

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.[2024•江西南昌模拟]直线仞V的斜率为2,其中点”(1,—1),点〃在直线了=丫+

1上，则点〃的坐标为()

A.(5,7)B.(4,5)

C.(2,1)D.(2,3)

2.[2024•重庆一中模拟]“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a—l)y—a+

7=0平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.[2024•广西南宁、玉林、贵港等摸底]若直线y=4(x+3)与圆步+/=4相交，则

实数4的取值范围为()

4.[2024•山东联考]已知直线7：x-木y=0与圆C：/+(y-l)2=l相交于/两

点，。为坐标原点，则△物的面积为()

C.小D.2^/3

5.[2024•安徽安庆五校模拟]已知圆G：(x+a)°+(y—2)2=l与圆G：(x—b)2+(y

—2尸=4相外切，a,6为正实数，则弱的最大值为()

A.2小B.1

3乖

C'2

6.[2024•吉林调研]已知48是圆/6x+2y=0内过点£(2,1)的最短弦，则|/引

=()

A.

C.2嫡D.275

7.［2024•河北九校联考］圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4

=0与圆C相切，则圆C的方程为()

A.x+/—2^—3=0B.x+y+4jr=0

C.x+y—4^=0D./+y+2^r—3=0

8.［2024•河北名校联盟一诊］已知点尸为圆C：(x—1),+5—2尸=4上一点，4(0,一

6),6(4,0),贝H汤+西|的最大值为()

A.A/26+2B.标+4

C.2A/26+4D.2^26+2

9.已知圆G：(x—2)?+(y—3)2=1,圆G：(x—3产+(y—4尸=9,M,N分别是圆兄

圆G上的动点，尸为x轴上的动点，贝UI冏Z|+|/W|的最小值为()

A.5斓一4B.V17-1

C.6-2720.干

10.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步靠近圆，

即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越靠近圆周长.这种用极限思想解决数学问题

的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆9+/=2的一个内接正八边形，使该正八边

形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为

()

A.x+—1)y—"低=0

B.(1一的x—y+/=0

C.x—(,^2+1)y+^2=0

D.(斓—l)x—y+镜=0

11.［2024•浙东北教学联盟模拟］已知点/(I一加，0),6(1+如0),若圆a/+/-

8x—8y+31=0上存在一点R使得为，如，则实数力的最大值是()

A.4B.5

C.6D.7

12.［2024•山东模拟］已知直线x-\-y—k=0(1〉0)与圆x+y=4交于不同的两点A,B,

。是坐标原点，且有成•应》一2,则4的取值范围是()

A.(.,+8)B.［低2.)

C.［小,+8)D.［^3,272)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.［2024•黑龙江伊春月考］若/(2,2),B{a,0),C(0,6)(a6#0)三点共线，贝让+

a

14.已知点户(镜+1,2—木),圆C：(x—D'+Cr—21=4,则过点尸的圆C的切线

方程为.

15.已知圆C经过坐标原点。和点4(4,2),圆心。在直线x+2y—l=0上，则圆心到

弦0A的距离为.

16.[2024•江苏泰州模拟]在平面直角坐标系中，过圆G：2+(y+A—4)2

=1上任一点尸作圆G：/+y=l的一条切线，切点为Q,则当|闱最小时，k=.

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

过点〃(0,1)作直线，使它被两条直线Z：x—3y+10=0,72：2x+y—8=0所截得的

线段恰好被〃所平分，求此直线方程.

18.(本小题满分12分)

(1)求经过点2(5,2),点、B®2),且圆心在直线2x—y—3=0上的圆的方程；

(2)已知圆上的点C(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，若直线x-7+l

=0与这个圆相交且被截得的弦长为2y[2,求这个圆的方程.

19.(本小题满分12分)

[2024•江苏兴化三校联考]已知圆G/+(y—1):=5,直线/：mx—y+2—m=0.

(1)求证：对〃GR,直线)与圆，总有两个不同的交点4B；

⑵在(1)的条件下，若///=120。，求r的值；

(3)在⑴的条件下，当|/6|取最小值时，求直线/的方程.

20.(本小题满分12分)

已知直线/：y=x+2被圆C：(x—3/+5—2)2=合(力0)截得的弦长等于该圆的半径.

(1)求圆。的方程；

(2)已知直线力:尸x+〃被圆G(x—3尸+(y—2)2=f(力0)截得的弦与圆心构成△口应,

若△。近的面积有最大值，求出直线0：y=x+〃的方程；若△碗"的面积没有最大值，请说

明理由.

21.(本小题满分12分)

［全国卷III］在直角坐标系xa中，曲线y=x?+〃x—2与x轴交于46两点，点。的坐

标为(0,1).当加改变时，解答下列问题：

⑴能否出现/d9的状况？说明理由.

⑵证明过4B,。三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

22.(本小题满分12分)

[2024•四川省遂宁市模拟]已知圆。：/+y—2,直线J：y=kx-2.

⑴若直线/与圆。相切，求A的值；

(2)若直线，与圆。交于不同的两点4B,当//如为锐角时，求左的取值范围；

⑶若左=；,户是直线/上的动点，过点户作圆。的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,

探究：直线办是否过定点.

单元检测(九)直线与圆的方程

1.答案：B

解析：依据题意，设点〃的坐标为(a,b'),由点〃在直线y=x+l上，可得6=a+l

6+1[a—4,

①，由直线腑的斜率为2,可得一7=2②，联立①②，解得即点〃的坐标为(4,

a—1[6=5,

5).

2.答案：A

解析：由直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a—1)y—a+7=0平行，矢口a(a-l)=2X3

且a(7—a)#3X2a,解得a=3或a=—2.所以"a=3"是"直线ax+2y+2a=0和直线

3x+(a—1)y—a+7=0平行”的充分不必要条件.

3.答案：D

解析：将直线尸A(x+3)化为一般式为Ax—y+3A=0,直线与圆f+/=4相交等价

于圆心到直线的距离小于半径，即(*<2,，5底4,[—冲，誓].

4.答案：A

解析：由题意知直线/和圆。均过原点，以为等腰三角形，且|C0|=|Q|=1,

由直线1：x—知倾斜角//公=30°,

11A(3、耳

如=N〃a=60。，所以以物=51。。•\CA\•sinZOG4=-Xl2X-^-=-^.

5.答案：B

解析：由已知得圆G：(x+a)2+(y—2)2=1的圆心G(—a,2),半径乃=1.圆G：

(x—b)2+(y-2)2=4的圆心G",2),半径g=2.:圆G与圆G相外切，

Q+房29

/.|CiCz\—ri+r2,即a+6=3.由基本不等式，得J=丁当且仅当a=6时,

等号成立.

6.答案：D

解析：圆的标准方程为(x—3)'+(y+1)2=10,则圆心。的坐标为(3,—1),半径

为四.过点£的最短弦满意£恰好为弦的中点，则|CE\K(2—3)2+[1—(T)产=

所以2一(如,=275.

7.答案：C

解析：由题意设所求圆的方程为(x—加2+y=4(加〉0),则解得m=2

或0=—7(舍去)，故所求圆的方程为(X—2)2+/=4,即4x=0.

O

8.答案：C

解析：取血中点为2(2,-3),则成+丽=2的，|眉+而|=2|的|衍|的最大值为

圆心(7(1,2)到2(2,-3)的距离d再加半径〃又一=，1+25=4,

."+r=m+2，二2|曲的最大值为2标+4.

9.答案：A

解析：设圆G关于x轴的对称圆的圆心为4(2,—3),半径为1.圆G的圆心坐标为(3,

4),半径为3.则|掰+|朋的最小值即为圆A与圆G的圆心距减去两个圆的半径，即

7(3—2)旺(4+3)2-1-3=5A/2-4.

10.答案：C

解析：

如图所示，可知/5,0),6(1,1),6,(0,小),Z?(-1,1),所以直线力6,BC,

1一Q

GZ?的方程分别为尸^―(x—也)，y=(1—^/2)x+小,y=(^2—1)x+也.整理为

一般式，即x+(,\y2—1)y—yf^=0,(1—^2)x—y+^J^=0,(>\^2—1)x—y+yf^=0,

分别对应题中的A,B,D选项.

11.答案：C

解析：依据题意，圆C：x+y—8x—8y+31=0,即(x—4)2+(y—4)2=1,其圆心

为(4,4),半径下=1.设/夕的中点为例又由点/(I一如0),8(1+必，0),则"(1,0),

\AB\=2\m\,以为直径的圆为(x—1)2-\-y=m.

若圆G£+/—8x—8p+31=0上存在一点R使得阳，如，则圆。与圆"有公共点.

又由|第=yl(1-4)2+(0-4)2=5,即有|力|—1W5且|力|+125,

解得4W㈤W6,即一6W勿W—4或4WrW6,即实数m的最大值是6.

12.答案：B

解析：依据题意，圆x+y=4的圆心为(0,0),半径r=2,设圆心到直线x+y—k

=0的距离为d.若直线x+y—A=0(A>0)与圆x+y=4交于不同的两点A,B,则d=~F==

=南〈2,则4〈2镜.设应与宓的夹角///=。，若应•应三一2,BP|(24|X\0B\Xcos

[2JI2兀2兀k

—2,变形可得cosJ2一],贝！J0<夕4飞一，当。=飞一时，d=l,若夕W飞一，贝!J

解得4》隹，则4的取值范围为[镜，2镜).

13.答案：|

XV

解析：因为"a,°)"(。,b)O,所以直线相的方程为1+%=1,过小2,2),

92111

所以-+]=1,即-+]=5

ababL

14.答案：x—p+1—24=0

解析：由题意得圆C的圆心C(1,2),半径r=2.因为(^^+1—1)2+(2—y[2—2)

2=4,所以点尸在圆。上.又短=]行=—1,所以切线的斜率A=—*=1,于是过

点户的圆。的切线的方程是y—(2—4)=ix[x—(72+1)],即X—y+1—2/=0.

15.答案：邓

解析：由题意知线段的的中点为(2,1),服=；,所以线段处的垂直平分线所在直线

[2x~\~y—5=0,

的方程为y—1=—2(x—2),即2>+y—5=0,圆心。在此直线上.由｛解得

[x+2y—1=0,

fx=3，|3+2|

所以圆心。所以圆心到弦的：了一的距离小=乖r.

j__1(3,-1),C2-0d=

16.答案：2

解析：

由题意得，圆G与圆G外离，如图.因为尸。为切线，所以AHG0,由勾股定理，得

囹=4%「―1,要使|图最小，则需|尸G|最小.

明显当点尸为GG与圆a的交点时，|2G|最小，

此时，|—|=|GC|T,所以当|GC|最小时，|尸G|就最小,

CiCi=yjk~(—^+4)2=y]2(A—2)"+8is2^2,

当A=2时，［GG|取最小值,即|尸0|最小.

17.解析：过点〃且与x轴垂直的直线是x=0,它和直线心的交点分别是10,y

(0,8),明显不符合题意，故可设所求直线方程为y=Ax+l,又设该直线与直线小七分

YA=kxA~\~1,YB=kxB~\~1，

别交于46两点，则有①②，

为-3%+10=0,2旗+外一8=0.

7

由①解得片

7

=

由②解得XB/IO-

攵十2

因为点〃平分线段28

所以XB~2A#,

771

即赤i+r=°'解得"=—1

故所求的直线方程为y=-1^+L

即x+4p—4=0.

18.解析：(1)设圆的方程为

*.*圆心卜日，一§在直线2x—p—3=0上，

：.-D+-~3=0①.

又点/(5,2),点8(3,2)在圆上，

・・・25+4+5〃+2£+尸=0②，

9+4+3〃+2£+分=0③.

由①②③得，〃=—8,£=—10,/=31,止匕时4+后一4Q0,

二.圆的方程为殳+y—8x—10y+31=0.

(2)设圆的方程为(x—a)2+(y—6)2=r.

由题意知圆心(a,b)在直线x+2y=0上，

・・・a+26=0④.

•・,点C(2,3)在圆上，・•・(2—a)2+(3—力2=r⑤.

又直线x—y+1=0被圆截得的弦长为人但，圆心(a,b)到直线x—y+l=0的距离d

|己一6+11

|己一6+11

V2

由④⑤⑥得，a=6,b——3,d=52或a=14,b——7,r—244,

.,.所求圆的方程为(x—6)°+(y+3)2=52或(x—14)2+(y+7)~=244.

19.解析：(1)证明：直线J：y+2—m=0可化为r(x—1)—y+2—O,

可知恒过点，(1,2).

将2(1,2)代入圆的方程可得V+(y-1)2=T+(2-1)2=2<5,

即D(1,2)在圆C,/+(y-1)=5的内部，

故对mGR,直线，与圆C总有两个不同的交点4B.

(2)因为//四=120°,圆。的半径长为小，

所以圆心C(0,1)到I直线勿x—y+2—0=O的距离为坐，

故一百加=卓解得加=—4土机.

71n十1乙

(3)由(1)可得当弦段到最短时，直线，的斜率为一1,即〃=—1,

故此时直线，的方程为一x—y+3=0,即x+y—3=0.

20.解析：(1)设直线，与圆C交于48两点.

.直线1：y=x+2被圆C：(x—3)2+(y—2)2=r(r>0)截得的弦长等于该圆的半

径，

△西为边长为r的正三角形，

.••△。6的高为今？，

圆心，到直线1的距离为乎r.

•..直线)的方程为x—y+2=0,圆心。的坐标为(3,2),

圆心。到直线1的距离d=।।=乎=吟，:「乖,

・••圆。的方程为(x—3)2+(y—2)2=6.

(2)

设圆心。到直线山的距离为力(力>0),〃为龙的中点，连接纽

在△建中，DE\=2、|叫「一|纺「=2=6一片

.••△窃片的面积为丛瞰=，庞|•\CH\=y276T-h=h•.6—4.

...一建=«>（6一疗）J+：T=3,

当且仅当斤=6一万，即/?=/时等号成立，的面积取得最大值.

・"方1普•—=低

.*.|n+11=/，/.n=土十一1.

故存在n=土#—1,使得△。应的面积最大,最大值为3,此时直线力的方程为尸x土乖

-1.

21.解析：（1）不能出现力入理的状况，理由如下：

设Z（xi,0）,8（期0）,则荀，至满意/+腔一2=0,所以荀£2=—2,

—1—11

又。的坐标为（0,1）,故出7的斜率与8c的斜率之积为--------=--^-1,所以不

x\Xi2

能出现笈的状况.

（2）证明：8c的中点坐标为甘，

可得8c的垂直平分线方程为了一；=x（x—f}

由⑴可得到+%一处所以熊的垂直平分线方程为户一宗