2024年分式知识点及典型例题

分式知识點和經典例习題【知识网络】【思想措施】1．转化思想转化是一种重要的数學思想措施，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的問題转化為简朴問題，把生疏的問題转化為熟悉問題，本章诸多地方都体現了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加減运算的基本思想：异分母的分式加減法、同分母的分式加減法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化為整式方程，從而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数學措施有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数學知识处理实际問題時，首先要构建一种简朴的数學模型，通過数學模型去处理实际問題，經历“实际問題———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数學化過程，体會分式方程的模型思想，對培养通過数學建模思想处理实际問題具有重要意义．3．类比法本章突出了类比的措施，從分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，從分数的某些运算技巧类比引出了分式的某些运算技巧，無一不体現了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要點】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【重要公式】1.同分母加減法则:2.异分母加減法则:;3.分式的乘法与除法:,4.同底数幂的加減运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.负指数幂:a-p=a0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关題型題型一：考察分式的定义【例1】下列代数式中：，是分式的有： .題型二：考察分式故意义的条件【例2】當有何值時，下列分式故意义（1） （2） （3） （4） （5）題型三：考察分式的值為0的条件【例3】當取何值時，下列分式的值為0.（1） （2） （3）題型四：考察分式的值為正、负的条件【例4】（1）當為何值時，分式為正；（2）當為何值時，分式為负；（3）當為何值時，分式為非负数.练习：1．當取何值時，下列分式故意义：（1） （2） （3）2．當為何值時，下列分式的值為零：（1） （2）3．解下列不等式（1） （2）（二）分式的基本性质及有关題型1．分式的基本性质：2．分式的变号法则：題型一：化分数系数、小数系数為整数系数【例1】不变化分式的值，把分子、分母的系数化為整数.（1） （2）題型二：分数的系数变号【例2】不变化分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变為正号.（1） （2） （3）題型三：化简求值題【例3】已知：，求的值.提醒：整体代入，①，②转化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.练习：1．不变化分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化為整数.（1） （2）2．已知：，求的值.3．已知：，求的值.4．若，求的值.5．假如，试化简.（三）分式的运算1．确定最简公分母的措施：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的措施：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相似的字母因式的最低次幂.題型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）；（2）；（3）；（4）題型二：约分【例2】约分：（1）；（3）；（3）.題型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）題型四：化简求值題【例4】先化简後求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，试求的值.題型五：求待定字母的值【例5】若，试求的值.练习：1．计算（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）.2．先化简後求值（1），其中满足.（2）已知，求的值.3．已知：，试求、的值.4．當為何整数時，代数式的值是整数，并求出這個整数值.（四）、整数指数幂与科學记数法題型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1） （2）（3） （4）題型二：化简求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學记数法的计算【例3】计算：（1）；（2）.练习：1．计算：（1）（2）（3）（4）2．已知，求（1），（2）的值.第二讲分式方程【知识要點】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用題【重要措施】1.分式方程重要是看分母与否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程為整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用題关健是精确地找出等量关系,恰當地设末知数.（一）分式方程題型分析題型一：用常规措施解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提醒易出錯的几种問題：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相似因式至使漏根；④忘掉验根.題型二：特殊措施解分式方程【例2】解下列方程（1）；（2）提醒：（1）换元法，设；（2）裂项法，.【例3】解下列方程组題型三：求待定字母的值【例4】若有关的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.提醒：且，且.題型四：解具有字母系数的方程【例6】解有关的方程提醒：（1）是已知数；（2）.題型五：列分式方程解应用題练习：1．解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）（5） （6）（7）2．解有关的方程：（1）；（2）.3．假如解有关的方程會产生增根，求的值.4．當為何值時，有关的方程的解為非负数.5．已知有关的分式方程無解，试求的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，重要是把分式方程转化為整式方程，一般的措施是去分母，并且要检查，但對某些特殊的分式方程，可根据其特性，采用灵活的措施求解，現举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：二、化归法例2．解方程：三、左边通分法例3：解方程：四、分子對等