2025版高考数学一轮总复习课后限时集训30正弦定理余弦定理含解析

课后限时集训(三十)正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1．(2024·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝()A．eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(6),3)C．－eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(6),3)D[由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(2×sin60°,3)＝eq\f(\r(3),3).又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(\r(6),3).故选D.]2．(2024·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝eq\f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq\r(3)，则c＝()A．2eq\r(7) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．eq\r(7)B[由S＝eq\f(1,2)absinC＝2a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2eq\r(3).]3．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是()A．若a＞b＞c，则sinA＞sinB＞sinCB．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinCC．acosB＋bcosA＝cD．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形ABC[对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得sinA＞sinB＞sinC，故A正确；对于B，A＞B＞C，由大边对大角可知，a＞b＞c，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得sinA＞sinB＞sinC，故B正确；对于C，依据正弦定理可得acosB＋bcosA＝2R(sinAcosB＋sinBcosA)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2RsinC＝c(其中R为△ABC的外接圆半径)，故C正确；对于D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＞0，由C∈(0，π)，可得C是锐角，但A或B可能为钝角，故D错误．]4．(2024·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cosB＝()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝16＋9－2×4×3×eq\f(2,3)＝9，AB＝3，所以cosB＝eq\f(9＋9－16,2×9)＝eq\f(1,9)，故选A.]5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则()A．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，则C＝eq\f(π,3)B．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，则C＝eq\f(π,6)C．若边BC的高为eq\f(\r(3),6)a，则当eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值时，A＝eq\f(π,3)D．若边BC的高为eq\f(\r(3),6)a，则当eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值时，A＝eq\f(π,6)AC[因为在△ABC中，0＜C＜π，所以sinC≠0.对于A，B，利用正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，整理得2cosCsin(A＋B)＝sinC，即2cosCsin[π－(A＋B)]＝sinC，即2cosCsinC＝sinC，又sinC≠0，所以cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3)，故A正确，B错误．对于C，D，由等面积法得eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),6)a2＝eq\f(1,2)bcsinA，所以a2＝2eq\r(3)bcsinA，又b2＋c2＝a2＋2bccosA＝2eq\r(3)bcsinA＋2bccosA，则eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2,bc)＝2eq\r(3)sinA＋2cosA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤4，当且仅当A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即A＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z时，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值4，又0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).故C正确，D错误．]6．(多选)(2024·山东烟台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是()A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为eq\f(8\r(7),7)ACD[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝9x，,a＋c＝10x，,b＋c＝11x))(其中x＞0)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4x，,b＝5x，,c＝6x，))所以由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，所以A正确．由上可知边a最短，边c最长，所以角A最小，角C最大．又cosA＝eq\f(c2＋b2－a2,2cb)＝eq\f(6x2＋5x2－4x2,2×6x×5x)＝eq\f(3,4)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4x2＋5x2－6x2,2×4x×5x)＝eq\f(1,8)，所以cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,8)，所以cos2A＝cosC，由三角形中角C最大且角C为锐角，可得△ABC是锐角三角形，且2A∈(0，π)，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2A＝C，所以B错误，C正确．设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R＝eq\f(c,sinC)，又sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(3\r(7),8)，所以2R＝eq\f(6,\f(3\r(7),8))，解得R＝eq\f(8\r(7),7)，所以D正确．故选ACD.]二、填空题7．在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，则eq\f(b,c)＝________.1[由a＝eq\r(3)c得sinA＝eq\r(3)sinC，即sineq\f(2π,3)＝eq\r(3)sinC，∴sinC＝eq\f(1,2)，又0＜C＜eq\f(π,3)，∴C＝eq\f(π,6)，从而B＝eq\f(π,6)，∴b＝c，因此eq\f(b,c)＝1.]8．(2024·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________.eq\f(3π,4)[∵bsinA＋acosB＝0，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,－cosB).由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝eq\f(3π,4).]9．(2024·北京高考适应性考核)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝________，△ABC的面积为________．eq\f(3,4)eq\f(15\r(7),4)[依题意得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,4)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(15\r(7),4).]三、解答题10．[结构不良试题](2024·北京西城区统一测试)已知△ABC满意________，且b＝eq\r(6)，A＝eq\f(2π,3)，求sinC的值及△ABC的面积．从①B＝eq\f(π,4)，②a＝eq\r(3)，③a＝3eq\r(2)sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．[解]当选择条件①时，∵B＝eq\f(π,4)，A＝eq\f(2π,3)，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),\f(\r(2),2))，解得a＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(9－3\r(3),4).当选择条件②时，∵a＜b，∴A＜B，又A为钝角，∴无解．当选择条件③时，由题意得B为锐角．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(3\r(2)sinB,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),sinB)，得sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝3，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(9－3\r(3),4).11．(2024·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＋cosA＝eq\f(5,4).(1)求A；(2)若b－c＝eq\f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．[解](1)由已知得sin2A＋cosA＝eq\f(5,4)，即cos2A－cosA＋eq\f(1,4)＝0.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(1,2)))2＝0，cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝eq\f(\r(3),3)sinA.由(1)知B＋C＝eq\f(2π,3)，所以sinB－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝eq\f(\r(3),3)sineq\f(π,3).即eq\f(1,2)sinB－eq\f(\r(3),2)cosB＝eq\f(1,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,3)))＝eq\f(1,2).由于0<B<eq\f(2π,3)，故B＝eq\f(π,2).从而△ABC是直角三角形．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋eq\r(3)sinAsinC，则△ABC的最大边长为()A．2 B．3C．eq\r(3) D．2eq\r(3)C[由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋eq\r(3)sinAsinC得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋eq\r(3)sinAsinC，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝eq\r(3)sinAsinC，由正弦定理得b2－a2－c2＝eq\r(3)ac，即c2＋a2－b2＝－eq\r(3)ac，则cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(－\r(3)ac,2ac)＝－eq\f(\r(3),2)，则B＝150°，即最大值的边为b，∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝eq\r(3)，则eq\f(b,sinB)＝2R＝2eq\r(3)，即b＝2eq\r(3)sinB＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，故选C.]2．(2024·广西桂林模拟)在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，则△ABC的形态是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形D[由已知eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)＝eq\f(2cos2C,2cos2B)＝eq\f(cos2C,cos2B)＝eq\f(bcosC,ccosB)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)或eq\f(cosC,cosB)＝0，即C＝90°或eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)，由正弦定理，得sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq\r(7).(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解](1)由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,6).由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1＋cosC,2)，即sinB＝1＋cosC，则cosC＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝eq\f(5π,6)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－C))＝1＋cosC，化简得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＝－1，解得C＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,6).(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－2b·eq\f(a,2)·cosC＝b2＋eq\f(b2,4)＋eq\f(b2,2)＝(eq\r(7))2，解得b＝2，故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满意cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，且sinA＋sinC＝1，则△A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形D[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsin∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sinAsinC，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sinAsinC，∴依据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(－ac,2ac)＝－eq\f(1,2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sinAsinC.∴变形得eq\f(3,4)＝(sinA＋sinC)2－sinAsinC，又∵sinA＋sinC＝1，得sinAsinC＝eq\f(1,4)，∴上述两式联立得sinA＝sinC＝eq\f(1,2)，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D.]2．[结构不良试题](2024·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；条件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16).[解]选条件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)，且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b