高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）基本不等式

第四节基本不等式

■他知溟工打牢

1强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

一、基本不等式4获W丁

1.基本不等式成立的条件：a〉0,力0.

2.等号成立的条件：当且仅当a=力时取等号.

二、几个重要的不等式

b之

M助（乃,6ER）；—+722（@,6同号）.

---ab~

J（&6ER）；|—^―J~--（a,6ER）.

三、算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为一］一几何平均数为盛，基本不等式可叙述为：两个正数的

算术平均数不小于它们的几何平均数.

四、利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则:

（1）如果积盯是定值R那么当且仅当x=y.时,x+y有最小值是25.（简记：积定和最小）

2

（2）如果和x+y是定值口那么当且仅当x=y时,灯有最大值是生.（简记：和定积最大）

［小题能否全取］

1.（教材习题改编）函数y=x+：（x>0）的值域为（）

A.（一8,-2］U［2,+8）B,（0,+8）

C.［2,+8）D.（2,+8）

解析：选C・.・x>0,・•.y=x+：三2,当且仅当x=l时取等号.

2.已知%>0,77>0,且即=81,贝IJ/+〃的最小值为（）

A.18B.36

C.81D.243

解析：选A・.•必〉0,〃>0,.•.0+〃22而=.18.当且仅当0=〃=9时，等号成立.

3.(教材习题改编)已知0<Xl,则H3-3x)取得最大值时x的值为()

11

3-艮2-

32

C-40-3

11931

解析：选B由x(3-3x)=yX3x(3-3x)W§X1=4，当且仅当3x=3-3x,即x=]时等号成立.

4

4.若x〉l,贝I]X+E的最小值为.

44

解析：x+--=^-1+—7+124+1=5.

X—1X—1

4

当且仅当x-l=口，即£=3时等号成立.

答案：5

25

5.已知x>0,y>0,lgjr+1gy=1,则z=]+请)最小值为.

解析：由已知条件lgx+lg7=1,可得灯=10.

则彳+%2\^=2,故住+。-2,当且仅当2尸5x时取等号.又灯=10,即x=2,尸5时等

号成立.

答案：,2

1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定一一

积或和为定值；三相等一一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.

2.对于公式a+后2衣，a氏(号今，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现

了和a+6的转化关系.

3.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如步+822数逆用就是

a+1Ja+b,—(a+

a6W—^一；一厂三，荔(a,6>0)逆用就是a6W[-y-J(a,6>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等

号成立的条件等.

树।高频考点要S3,心<、、抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

利用基本不等式求最值

典题导入

,、4

［例1］(1)已知x<0,则F(x)=2+1+x的最大值为.

⑵(・浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5盯，贝U3x+4p的最小值是()

2428

A.­B.-

55

C.5D.6

［自主解答］⑴..・£<0,A-x>0,

4「4—

F(x)=2+—x+或=2-x+-x_.

4I-4

・「丁+(-.)22皿=4,当且仅当一x==，即％=-2时等号成立.

XX

4

••小)=2-.-W2-4=-2,

的最大值为-2.

'13、

(2)•.•^>0,y>0,由x+3y=5灯得:-+—1.

ZX,

1

/.3x+4y=~(3x+4力

u

5(当且仅当x=2y时取等号)，.・.3x+4y的最小值为5.

［答案］(1)-2(2)C

»>一题多变

本例⑵条件不变，求灯的最小值.

解：y>0,则5灯=x+3y22yx•3K

12

二灯》或，当且仅当x=3y时取等号.

，盯的最小值为前.

由题悟法

用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最

值.在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后

用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等

号成立的条件.

以题试法

1.(D当x>0时，则f(x)=了笃的最大值为.

⑵(・天津高考)已知19+1密心1,则3a+成的最小值为一

(3)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若盯20-2恒成立，则实数0的最大值是

2X22

解析>OA

X--12--

-

7TX+

X

当且仅当即X=1时取等号.

(2)由log2a+log2^^l得log2(aZ?)21,

,,,a+2b”

即a622,.,.：T+9"=3"+32"22X3F—(当且仅当3,=321即a=26时取等号).

又•.•a+26N2di£24(当且仅当a=26时取等号)，

3"+9*2X3?=18.

即当a=26时，3"+9”有最小值18.

(3)由x>0,y>0,灯=x+2y\2y2灯,得盯28,于是由r-2Wxy恒成立，得勿-2W8,即RWIO.

故加的最大值为10.

答案：(1)1(2)18(3)10

基本不等式的实际应用

典题导入

［例2］(•江苏高考)如图，建立平面直角坐标系x轴在〃千米地平面上，y

轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮/、弹发射后的

o\二千米

轨迹在方程/=公-白(1+"2)/(">0)表示的曲线上，其中k与发

射方向有

关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物C忽略其大小),其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少

时，炮弹可以击中它？请说明理由.

［自主解答］⑴令y=0,得府」(1+#"=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,

s20k20—20,,,，代广

故才=丁升=-^y=io,当且仅当4=1时取等号.

"+Z

所以炮的最大射程为10千米.

(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标Q存在Q0,使3.2二松-5(1+"2)/成立

o关于"的方程31C—20a«+a"+64=0有正根

=判另IJ式/=(-20a)2-4a2(a2+64)20

=aW6.

所以当a不超过6千米时，可击中目标.

由题悟法

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，

解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解,

此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法

2.(-福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

(D据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应戒少2000件，要使销售的总收入不低于原收入,

该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略

改革，并提高定价到x元.公司拟投入，(*-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投

入gx万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销

O

售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

解：⑴设每件定价为2元，

(t-25、

依题意，有［80.2卜225X8,

整理得d-65£+1000W0,解得25W6W40.

因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

⑵依题意，x>25时，

不等式ax225X8+50+1(/-600)+9有解.，

O0

_...、15011,.

寺价于x>25时，@》下+分才+匚有解.

1501、/1501,,,、

.•.丁+［万22'/丁•10（z当且仅z当30时，寺节成乂），10.2.

因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总

投入之和，此时该商品的每件定价为30元.

福解题训练要高效

抓速度I抓规范I拒绝眼高手低I掌握程度

A级全员必做题

1.已知/'（x）=x+：-2（x<0）,则/<x）有（）

A.最大值为0B,最小值为0

C.最大值为-4D.最小值为-4

-111

解析：选C•,•^<0,f{x）=--x+_-2^-2-2=-4,当且仅当-x=—,即x

-xyJ-X

=-1时取等号.

2.（,太原模拟）设a、6E.R,已知命题P：a+少/2@力；命题0：1—-—JW-,贝。是q成立的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D..既不充分也不必要条件

解析：选B命题。：（a-6）W0=a=6；命题］：（a-6），0.显然，由。可得1成立，但由q不能推

出。成立，故。是1的充分不必要条件.

x+2

3.函数y=7（x>D的最小值是（）

X~1

A.273+2B.273-2

C.2事D.2

解析：选A.•.x-l〉0.

x"+2x~+2x+2x~2x+1+2x—1+3

“=』=-Tn=7^1

\2Yx-l-^+2=2y/3+2.

3

当且仅当x-l=E，即x=l+4时取等号.

4.（-陕西高考）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和6（水6）,其全程的平均时速为匕则（）

A.a<v<yTabB.v=yl~ab

।-bb

C.qaKr<-~-D.v

2

ss

解析：选A设甲、乙两地的距离为s,则从甲地到乙地所需时间为一，从乙地到甲地所需时间为7

aU

2s2ab2ab1—

又因为水6,所以全程的平均速度为v=------

ss=R<也心

Jb

2ab2ab/~~；

f〉/=a,即a<Za6.

若存在两项a%a〃使得=则［+［的最小值为

5.已知正项等比数列｛&｝满足：&二戊+2念,

)

35

A.—B-3

25

C-~6D.不存在

解析：选A设正项等比数列｛a｝的公比为4由国二%+2〃5,得/一q—2=0,解得q=2.

I---7Z7+77—2.

由底以二4皿即2---=4,得2研"Q2=2\即/+77=6.

故阜=脑+〃）14'5\(4/zzn34/n

-+—=+当且仅当了=潮寸等号成立.

66Co662,

设a>0,b>Q,且不等式）+；+告NO恒成立,

6.则实数A的最小值等于（

aUa^U

A.0B.4

C.-4D.-2

11

选

解

由

析c-+z+ka+bbba

af川得心一而「^=』+7+2》4心j时取等号），所以

a+ba+b

---W-4,因此要使A2—-~7一恒成立，应有彳2-4,即实数4的最小值等于-4.

auaU

7.已知x,y为正实数，且满足4x+3y=12,则灯的最大值为.

3

,------f4x=3y,

解析：:123+3/2k“凌当且仅当33y=12,即°,时xy取得最

J=2

大值3.

答案：3

8.已知函数/U)=x+*①为常数，且。>0)若F(x)在(1,+8)上的最小值为4,则实数。的值

X—1

为.

解析：由题意得X-1>0,f(x)=x-1+言y+1》25+1,当且仅当x=W>+1时取等号，因为f(x)

I-9

在(1,+8)上的最小值为4,所以25+1=4,解得°=了

答案：|

9.(•・朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润

y(单位万元)与机器运转时间X(单位年)的关系为7=-/+18^-25(xEN*)则当每台机器运转

年时，年平均利润最大，最大值是万元.

解析：每台机器运转x年的年平均利润为1=18-1x+中，而x>0,故((18-24=8,当且仅当x

=5时，年平均利润最大，最大值为8万元.

答案：58

10.已知x>0,a为大于2x的常数，

(1)求函数P=x(a-2x)的最大值；

⑵求的最小值

dLX•

解：(1),.,^>0,a>2x,

y-x{a-2x)=~X2x(a-2x)

12x+a—2x。才司a

W5X-------------2=~当且仅当x时取等号，故函数的最大值为Q.

/、1a—2xa、[1ar-a

⑵片K+丁一/2Qi-丁木y

a-\[2

当且仅当时取等号.

故y=~a^x~X的最小值为、门

19

11.正数工y满足：+";=1.

xy

⑴求盯的最小值；

⑵求x+2y的最小值.

19/I919

解：⑴由22------得以236,当且仅当：二一，即广9x=18时取等号，故灯的最小值

xyxyxy

为36.

（19、2v9x]2y~9xj—2P9x

⑵由题意可得x+2%（x+2y）|j+/=19+：+亍219+2A/-^•—=19+6^/2,当且仅当[=7,

即9x2=2炉时取等号，故了+2旷的最小值为19+6吊1

12.为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用100万元购得一块土地,

该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，

整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元.

（1）若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）

的表达式；

（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米

多少元？

解：（1）由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，

建筑第1层楼房建筑费用为720X1000=720000（元）=72（万元），

楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20义1000=20000（元）=2（万元），

建筑第x层楼房的建筑费用为72+（x-1）X2=2x+70（万元），

建筑第x层楼时，该楼房综合费用为

xx—1

y=f（x）=72x+-------------X2+100=/+7U+100,

综上可知y=f（x）=f+71x+100（x21,xEZ）.

fx义10000_10fx

⑵设该.楼房每平方米的平均综合费用为g（x）,则g（x）Foool=7

10V+71X+1001000、/1000

=10x+--------+71022A/10x・--------+710=910.

Xx\x

当且仅当10才=上詈，即x=10时等号成立.

综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元.

B级重点选做题

1.（•浙江联考）已知正数X,y满足x+2^，W4（x+y）恒成立，则实数A的最小值为（）

A.1B.2

C.3D,4

।----x+2\l2xy

解析选B依题意得x+2，丽Wx+（x+2y）=2（x+力，即丑2（当且仅当x=2y时取等号）,

x+2x12xyx+2\l2xy

即v1“一的最大值是2；又儿》;，因此有4N2,即4的最小值是2.

*'y'y

V2

2.设x,y,z为正实数，满足x-2y+3z=0,则七的最小值是

XZ

x+3z

解析：由已知条件可得

y2/+9z2+&xz

所以不=

xz\xz

9z

宁一+一+6

&zx

x9z

刃2-X一+6=3,

zx

y2

当且仅当X=y=3z时，会取得最小值3.

答案：3

3.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管

等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否

考虑利用此优惠条件？请说明理由.

解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为

3[6x+6(x-1)+6(x-2)+,,•+6X1]=9x(x+1),

设平均每天所支付的总费用为力元，

[9xx+1+900]

贝%=-----------------+1800X6

900

=---+9x+10809

x

、/900

22\—•9x+10809=10989,

900

当且仅当9^=—即x=10时取等号.

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.

(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉.

设该厂利用此优惠条件后，每隔x(xN35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为K元，

贝U及=：[9x(x+l)+900]+6X1800X0.90

900/、、

二一+9x+9729(x235).

x

令f(x)=x+[x》35),…235,

,/、,、（