2024年新高考数学题型训练：导数及其应用-学生版

导数及其应用（新高考培优专用）

目录

【重难保分考点】

【重难保分考点一】导数的概念和几何意义

【重难保分考点二】导数与函数单调性

【重难保分考点三】导数与函数极值

【重难保分考点四】导数与函数最值

【重难保分考点五】导数的综合应用

【能力培优考点】

【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题

【能力培优考点二】导数与恒成立问题

【能力培优考点三】导数与函数的零点

【能力培优考点四】导数与不等式证明

【冲刺压轴考点】

【冲刺压轴考点一】二次求导

【冲刺压轴考点二】参变分离

【冲刺压轴考点三】函数构造

【冲刺压轴考点四】双变量

1

【重难保分考点一】导数的概念和几何意义

一、单Mi

1.(2022上•陕西咸阳•高二咸阳市实验中学校考阶段练习)已知函数/Q)在c=为处的导数为6,则lim

/(-LA①)一/(的)二

2Ax-()

A.-3B.3C.-6D.6

2.(2023上•湖南•高二邵阳市第二中学校联考阶段练习)已知直线g=3~与曲线g=ln(3c—Q)+2相切，则a

的值为()

A.B.C.2D.1

二、多选题

3.(2023上•费州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习)已知函数/Q)则所有正确的结论是()

A.函数/(c)是增函数B.函数/Q)的值域为(0,1)

C.曲线y—关于点(0,方)对称D.曲线,一/⑸有且仅有两条斜率为方的切线

4.(2023上,河南周口•高三校联考阶段练习)已知函数/3)=Y(3EN—1),则।)

A.函数/(⑼的最小值为一1

B.若函数/(c)在点(mJ(zn))处的切线与直线y=9e2a:—1平行,则f(m)=2e3

C.函数gQ)=/(x)-a(a>0)有且仅有两个零点

D./(ln(-^-))</(1)</(log23)

三、填?SB

5.(2023.陕西宝鸡•校联考模拟预测)已知曲线/(c)=c+e，在点(0J(0))处的切线与曲线y=lnQ-1)+Q

相切，则a=.

6.(2022上•山东青岛•高三山东省青岛第一中学校考期中)若曲线G：/(c)=>+Q和曲线c2：g(x)=41nx-

2c存在有公共切点的公切线,则该公切线的方程为.

【重难保分考点二】导数与函数单调性

一、单

1.(2024上•河南南阳•高三方城第一高级中学校联考期末)已知函数/Q)在R上的导函数为fQ),且f3)—

1<0,则/3)+2归-8>/(3力-8)的解集为()

A.(-co,4)B.(0,+oo)C.(-oo,0)D.(4,+8)

2.(2023・四川成都・统考一模)若a=ln(lmr),b=t4n~^,c=-->WO()

ooe

A.c<a<bB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

二、多选JR

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数/3)=4力3_6砂+3,则()

A.f(x)在［-2,2］上的极大值和最大值相等

B.直线6c+2y—7=0和函数/Q)的图象相切

C.若/(c)在区间(a,a4-1)上单调递减，则a=0

DJ岛)+'岛)+…+幡)=200

4.(2023•全国•模拟预测)已知函数/Q)和gQ)分别为R上的奇函数和偶函数，满足/Q)+g(c)=2e\f

(c),g'(c)分别为函数/(①)和g(c)的导函数，则下列结论中正确的是()

A.f(x)=er-e-x

B.当4>0时，gQ)的值域为［2,4-00)

C.当①>0时，若/Q)>3恒成立,则a的取值范围为(-oo,2］

D.当LCN*时，满足g⑴g⑵…g(n)>(en+1+2)^

三、填网

5.(2023上•陕西榆林•高三校考阶段练习)已知函数/Q)的定义域为［-1,5］,剖分对应值如表，/(c)的导函

数I/=f3)的图象如图所示，

下列关于函数/Q)的命题：

①函数/(c)的值域为［1,2］；

②如果当6W［—1,句时,/(，)的最大值为2,那么t的最大值为4；

③函数/(%)在［0,2］上是减函数；

④当1VQV2时，函数y=/Q)—。最多有4个零点.

其中正确命题的序号是.

6.(2023・全国•高三专题练习)若对于不等式矶2-1)-恒成立，则参数。的取值范围为

【篁难保分考点三】导数与函数极值

一、单

1.(2024•全国•模拟预测)记函数g=/(①)的导函数为"的导函数为靖,则曲线g=f(%)的曲率K=

—叨则曲线g=lnc的曲率的极值点为()

［i+(y)2］2

A返B垃C短D返

A-2区3。9口3

2.(2023上•山西临汾•高三山西省临汾市第三中学校校联考期中)已知函数/3)=/—ac—inc+2(aER)

在区间（0,1）上单调递减,在区间（1,+8）上单调递增，则/（⑼的极小值为I：）

A.2B.1C.0D.-1

二、多选题

3.（2023上•河北衡水•高三校考阶段练习）若函数/（c）=a\nx+立+等,（。W0）既有极大值也有极小值,则

xx

（）

A.beVOB.ab<0C.b2+8ac>0D.ac<0

4.（2023上•湖北武汉・高三华中师大一附中校考期中）已知函数/（⑼及其导函数/（⑼的部分图象如图所示,

设函数gQ）=绰，则gQ）（）

A.在区间（a,b）上是减函数B.在区间3,6）上是增函数

C.在n=a时取极小值D.在c=b时取极小值

三、填珈

5.（2023•陕西宝鸡・统考二模）若函数/3）=1—€一工+4/3一（1£无极值点,则实数。的取值范围是.

O

6.（2023上•山西临汾•高三校考阶段练习）已知曲线/Q）=d+m2+6①+1在点处的切线斜率为3,

且①=4■是g=/（c）的极值点，则函数的另一个极值点为

【重难保分考点四】导数与函数最值

一、单iM!

1.（2022.福建福州.统考三模）己知函数/3）=弩星,以下结论中错误的是（）

A./（x）是偶函数B./（x）有无数个零点

C.f（x）的最小值为—卷D./（x）的最大值为1

2.（2023•陕西商洛・统考一模）已知函数/（乃=23—1）/一/一2在R上单调递增，则。的最大值是（）

A.OB.4-C.eD.3

6

二、多

3.（2023下•福建厦门•高二厦门一中校考期中）已知函数一号二一3,则函数/⑸在［1,2］上的最

小值可能为（）

A.e-47nB.--C.2e2—4mD.e2—2m

乙

4.（2023上•广西河池•高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知函数八±）=■，则下列结论正确的

e

是（）

A.函数/（①）存在三个不同的零点

B.函数/（2）既存在极大值又存在极小值

C.若CW[玄+8）时，/（初3=互，则力的最大值为1

e

D.当—e2VkV0时,方程fQ）=k有且只有两个实根

三、填珈

5.（2023上•宁夏银川•高三校考阶段练习）函数/⑺=x\nx,g（x）=+Q,若对任意的为6[Ll],x2^

[1,2],使得/（与）〉g（g）成立,则实数Q的范围是.

6.（2023•全国•高三专题练习）⑴已知函数，3）=女工一03+111£+1）,若/（c），0恒成立,则正数0的取值

范围是；

（2）已知不等式//一。3+1）》1114对任意正数力恒成立,则实数0的取值范围是；

（3）已知函数/（c）=aex-\nx-L若/（①）＞0恒成立,则实数a的取值范围是;

（4）已知不等式e，-l＞乩+Inc,对Vrr€（0,+8）恒成立，则k的最大值为.

【重难保分考点五】导数的综合应用

一、单iM

1.（2023上•江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末）若点不在函数八0=3口的图像上，

且过点P有三条直线与八约的图像相切,则实数m的取值范围为（）

A.（哈）B.（0»j）U（py）

C（-00*j]U伶,+8）D.（一8,十）U伶,+8）

2.（2023上•江苏常州•高三校联考阶段练习）设函数/3）=^X2-4X+alnc,若函数y=/（力存在两个极值点

◎，出,且不等式731）+/（22）》2i+g+2恒成立，则£的取值范围为（）

A.（-00,-1]B.（-co,-16-81n2]C.（一oo,5-4e]D.（-00,-13]

二、多选题

3.（2023下•甘肃庆阳•高二校考阶段练习）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面为面积是

16cm2的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置•个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说

法中正确的有（）

A.冰块最大体积为嘿呢小3B.冰块的最大体积为舞cm3

NdNd

C.冰块体积达到最大时，冰块的高度为4~cmD.冰块体积达到最大时，冰块的高度为2cm

4.（2024上辽宁丹东・高三统考期末）已知函数/（~）=也3一2一1,则（）

AJQ）有一个零点B.f（x）的极小值为一看

O

C./（x）的对称中心为（0,-1）D.直线y=-x-1是曲线y=f（x）的切线

三、填期

5.（2023上•江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考期末）已知不等式。z;2—加皿＞0（。＞0）恒成立，则Q的

取值范围是.

6.（2023上•江苏镇江•高三校考阶段练习）如图,正方形48GA与正方形ABCD的中心重合,边长分别为3

和分别为AR,A8,3G，GR的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿40，

45,用7,。。折起,使小外，2，^重合于2点,则四棱锥「一488的高为__，若直四棱柱4282c2

ZVAsftGA内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四标赢面ABC。内，则该

直四棱柱4262c2。2—4333。3。3体积的最大值为.

4尸2Bl

【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题

一、解答题

1.(2023上•湖南衡阳•高三衡阳市八中校考阶段练习)设/Q)=QG-(a+l)lmr-L.

x

(1)讨论/(c)的单调性；

(2)设g(x)=，若关于x的不等式gQ)>QC+(a+3)lnc4--+1恒成立,求实数a的取值范

x

围.

2.(2023上•广东深圳・高三珠海市第一中学校联考阶段练习)已知函数/Q)=Q-l)e“Q/,aeR.

(1)讨论/3)的单调性；

(2)当a<-1时，若/3)的极小值点为环,证明：f(x)存在唯一的零点为，且。一①°〉ln2.

3.(2023上•重庆永川•高三重庆市永川北山中学校校考期中)已知函数=

(1)当a—1■时,求在曲线y-f(x)上的点(1,/(1))处的切线方程；

(2)讨论函数/3)的单调性；

⑶若fQ)有两个极值点电g，证明：<2-f.

"词X\—一X"2⑸2.

iI

4.(2024•广东佛山•统考一模)已知/(①)=e—ax-lig(x)=。力仁,—1),其中R

(1)求/Q)的单调区间；

(2)若a>2,证明：当时,/(c)>g(x).

8

5.(2023上•江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末)已知函数/3)=加-21ng

(1)试讨论函数/(/)的单调性；

(2)a>0时，求/(/)在［l,e］上的最大值；

(3)当1时,不等式/(c)<(X—2)lna;+2x-t-a—1恒成立，求整数a的最大值.

6.(2023上•山西吕梁・高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=-^-x2+ax-lnx(aER).

(i)求函数/3)的单调区间；

(2)若函数/Q)有两个极值点X1,办231VX2)，求当Q为何值时，4/3J-2/fe)取得最大值.

9

【能力培优考点二】导数与恒成立问题

一、解答题

1.(2023・四川内江・统考一模)已知函数=9/_］皿

(1)当。=1时，求/3)的极值；

(2)若不等式/(⑼>x恒成立，求实数。的取值范围.

2.(2024.全国.模拟预测)已知函数/(2)=lmr+Q%36R).

(1)若函数/Q)有两个不同的零点,求实数a的取值范围；

(2)若/3)<73"-1对任意的4€(0,+8)恒成立，其中e为自然对数的底数,求实数。的最大值.

3.(2024上.黑龙江牡丹江•高三牡丹江市第二高级中学校联考期末)己知函数+

(1)求/3)单调区间；

(2)已知m为整数，关于x的不等式/(①)—1)在］>1时恒成立，求m的最大值.

4.(2024•全国•模拟预测)己知函数/(t)=(a;4-a)ln®—e(x—1)(a6R).

(1)当a=0时，讨论函数/3)的单调性；

(2)若/3)>0在(l,+oo)上恒成立，求a的取值范围.

5.(2024上•山西•高三期末)已知函数/(c)=rn(c-1)2-2%+21nc,zn>2.

(1)求证:函数f3)存在单调递减区间,并求出该函数单调递减区间(a,6)的长度b-a的取值范围;

(2)当c21时，/(⑼&2xex-l-4x恒成立,求实数m的取值范围.

6.(2024上•甘肃武威・高三统考期末)已知函数/(⑼="+a\n(x+1).

(1)当Q=0时，求/Q)的最大值：

⑵若f(x)<0在0£[0,+00)上恒成立,求实数a的取值范围.

【能力培优考点三】导数与函数的零点

一、单Mi

ax,c&0

L(2023上•山东•高三校联考阶段练习)已知函数/⑸八，则函数gQ)=2何(，Q))-1的零点

-z***-»®>0

个数为()

A.0或38.0或1C.1或2D.2或3.

二、多海■

2.(2024上,湖北武汉・高三统考期末)已知函数/3)=6—人力，93)=⑶。1一如上>0,则()

A.当k>e时，函数八①)有两个零点

B.存在某个kW(0,+8),使得函数/(乃与gQ)零点个数不相同

C.存在k>e,使得/(c)与g(x)有相同的零点

D.若函数/(/)有两个零点61，①2(61〈工2)»9(X)有两个零点13,血(13〈/)，一定有XiXt=X2X3

三、解钥■

3.(2024上•江苏•高三统考期末)已知函数_fQ)=ein-上空(mWR).

x

(1)当m=1时,求函数/(⑼的单调区间；

(2)若函数/(c)的图象与c轴相切，求记：1+ln2<m<2+ln6.

4.(2023上・山东•高三校联考阶段练习)定义函数%(〜)=1-c+与一冬+…+(-11乙(neN。.

ZJ72*

(1)求曲线V=/n(①)在力=一2处的切线斜率；

(2)若人(①)一2二机”对任意①GR恒成立，求k的取值范围；

(3)讨论函数63)的零点个数,并判断fnQ)是否有最小值.若人Q)有最小值m,证明：m>l-ln2；若

九3)没有最小值，说明理由.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

5.(2023上•广西柳州•高三柳州高级中学校考阶段练习)已知函数/(⑼一号+1,

x

(1)当Q=1时，求〃切在区间［5,2］上的值域：

(2)若/(M有两个不同的零点为，g,求Q的取值范围，并证明：e+e>2.

x\xia

6.(2024上•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)已知函数/(⑼=a1nx—c+工(°WR).

x

(1)是否存在实数a，使得入=1为函数/(⑼的极小值点.若存在，求a的值;若不存在,请说明理由;

(2)若/Q)图象上总存在关于点(1,0)对称的两点，求Q的取值范围.

【能力培优考点四】导数与不等式证明

一、解答题

1.(2023上河北石家庄•高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习)已知函数

(1)若/(0在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；

(2)求证:当Q>0且①£(0,2)时,/(□?)>-1.

2.(2024•陕西宝鸡・统考一模)已知函数/(力=InQ+1)-巨抖(MGR)

(1)当初=—1时，求/3)的单调区间；

(2)已知G>0,求证:当1时,f3)<0恒成立；

(3)设m>0,求证:当函数/(①)恰有一个零点时,该零点一定不是函数g=£抖的极值点.

工十1

3.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(c)=lmr-Qe%Q>0),其中e为自然对数的底数.

(1)若。=工，求/(⑼的单调区间；

e

(2)证明：/Q)<-2-Ina.

4.(2024上•辽宁丹东•高三统考期末)已知定义在(0,+8)上的函数/(c)=ln(/+1)和g(1)=

(1)求证：/Q)<g(x);

（2）设93）=-就y+4/(⑼在(0,+8)存在极值点,求实数t的取值范围.

5.(2023•全国•模拟预测)己知函数/(c)=c-mlnc(m£R).

(1)讨论/(⑼的单调性；

(2)若存在不相等的实数为，g，使得f(@)=fM，证明：0VmV电+g・

6.(2023上•河北沧州・高三泊头市第一中学校联考阶段练习)己知函数/⑶)=alnx-x,a€R

(1)讨论/(①)的单调性；

(2)若存在不相等的实数如央，使得人为)=/(办2)，证明：0V2aV电+g・

17

【冲剌压轴考点一】二次求导

一、解答题

1.(2023・广东・统考二模)已知aEL,函数/(①)=(①一l)ln(l—x)—x—acosx,f(x)为/(c)的导函数.

(1)当Q=0时,求函数/Q)的单调区间；

(2)讨论〃⑼在区间(0,1)上的零点个数；

(3)比较*cos去与In号的大小，并说明理由.

•LU

2.(2023上•河南•高三校联考阶段练习)已知函数f(⑼=xln(l+ax)-o;2(a>0),

(1)若。=1,求人⑼的单调区间；

(2)若①=0是/(⑼的极小值点,求实数a的取值范围.

3.(2023下•湖北•高二十堰一中校联考期中)已知函数f(⑼=sini-V%V1),g(x)=coso:-l+

♦

2

(1)证明：当时，gQ)20；

(2)若f(x)>0,求a的取值范围；

⑶证明《-古〈琴口［舟7kL

4.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(a;)=(a;-l)lna;—aa;-l(a>0).

(1)若/(c)的最小值为一e—1,求Q的值：

(2)若Q=1,证明：函数/(c)存在两个零点刈，啊,且fQi)+/(①2)<-2.

19

5.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(c)=mx-x\nxtmE

(1)若函数/Q)的图象在c=l处的切线方程为g=6+b,求b的值;

(2)若m=2,/(g)=/(rr2)且求证：

2

6.(2022•全国•模拟预测)已知函数/(①)=——+7ix—axtg(x)=2cosx.

(1)当①20时，求证：gQ)》2-

(2)令尸(土)=/3)-g(c),若RQ)的两个极值点分别为m,n(m<n).

①当Q=0时，求曲线^=尸(切在2=m，修=九处的切线方程(尸(力)为F(z)的导函数);

尸\,(Q—2)兀一2兀

②求证：n—m^--------；----.

1-7T

20

【冲剌压轴考点二】参变分离

一、解答题

l+o

1.(2023上•河南•高三校联考开学考试才⑸=ln(e+l)一与+亨+b有两个零点如的⑶Vx2).

⑴口=0时，求6的范围；

(2)5=—1且QV—时，求证：x—x<2V5—4a.

42x

2.(2023・云南昆明・昆明一中校考模拟预测)已知函数/(①)=Q+1)(1—e-)

(1)证明

(2)若/3)>1+宜工土笠二攵，求实数。的取值范围.

3.（2022上•江苏泰州•高三江苏省泰兴中学校考阶段练习）已知函数/（£）=1+（2-。）cos%.

（1）若/3）在［0,+oo）单调递增，求Q的取值范围；

（2）当z>0时—1）+3，求。的取值范围.

4.（2022上•河南•高三校联考开学考试）已知函数/也）=（x2-a）e\

（1）若f（x）存在两个极值点为，电,求冠+后的取值范围；

⑵若2e-032>o.923,证明：当0.25VQV0.26时，函数RQ）=/（~）-Q/在（一8。）上有2个零点•（参

考数据：0.923=0.778688）

5.(2022下.江西赣州.高二统考期末)已知，(⑼=3eL-b21nre-2ax-Q,曲线g=/(rr)在c=1处切线过点

(-T0)-

(1)求b的值；

(2)当力W[/,+8)时，/Q)>0,求Q的取值范围.

6.(2022・广东广州・华南师大附中校考三模)己知函数/⑺=clmr+尹2一5存在两个极值点如电(gVg).

(1)求实数Q的取值范围；

(2)判断《弩1)的符号，并说明理由.

23

【冲剌压轴考点三】函数构造

一、解答题

1.(2023上•湖南衡阳•高三衡阳市八中校联考阶段练习)已知函数/(c)=(版+l)ln2—版

(1)若函数/(乃在(0,+8)上单调递增，求实数k的取值范围；

(2)讨论函数/Q)的零点个数.

2.(2023•浙江金华•校联考模拟预测)已知/(/)=m2_*一J_—]mr+e~(Q>0).

X

(1)若当2=1时函数/(%)取到极值，求Q的值：

(2)讨论函数/(①)在区间(1,+8)上的零点个数.

3.(2023上•河北邢台•高三校联考阶段练习)己知函数/(/)="二+e(ln，-:r),aWR.

x

(1)若/Q)在(1,Ioo)上单调递增,求a的取值范围；

(2)当■时，证明：f(x)4-(e—1)%-Inx)+e\nx.

4.(2023上•天津和平•高三天津一中校考阶段练习)已知函数”①)=x\lnx一职)，a为实数.

⑴当a=4■时，求函数在。=1处的切线方程；

(2)求函数/3)的单调区间；

⑶若函数/3在c=c处取得极值，/⑸是函数/(⑼的导函数，且/(电)=/3)，为V如证明：2〈电

+x2<e.

25

5.(2023上•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习)已知函数/3)=邮”.

(1)求fQ)过原点的切线方程；

(2)已知对任意的①>0,都有不等式/(①)-ex-ax+1>2sinx恒成立，求实数a的取值范围.

6.(2023•湖南永州铳考一