2024历年高考数学真题汇编：直线与圆

历年高考数学真题精编

12直线与圆

一、单选题

1.（2023•全国）过点（0,-2）与圆/+3?一以-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝l]sina=（）

V10

2.（2020•浙江）已知点。（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.设点尸满足4H尸引=2，且尸

为函数产3^^?图像上的点，则QP|=（）

3.（2018•北京）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos6»,sin。）到直线x-叼-2=0的距离,

当。、加变化时，d的最大值为

4.（2002•北京）若直线/:>=依-石与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的

倾斜角的取值范围是（）

兀兀、（兀兀、

A.B.

_637162/

（兀兀、「兀兀

U2；[32」

5.（2007•天津）“。=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=l”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2000•全国）已知两条直线4：y=x，4：ax->=0,其中a为实数，当这两条直线的夹角

在内变动时，0的取值范围是

A.(0,1)

7.(2014•四川)设meA,过定点A的动直线x+加了=0和过定点B的动直线加x-y-〃z+3=0

交于点P(x,y),则户留+|尸创的取值范围是

A.[75,275]B.[VW,2A/5]C.[710,475]D.[275,475]

8.(2014・江西)在平面直角坐标系中，43分别是x轴和V轴上的动点，若以为直径的

圆C与直线2无+了-4=0相切，则圆C面积的最小值为()

43…「5

A.-B.-C.(6—2j5)»D.一兀

54v74

9.(2013,重庆)已知圆&:(x—2)2+(y—3)2=1和圆。2：(%-3)2+(y-4)2=9,Af,N分别是

圆GG上的动点，P为无轴上的动点，则1PM+|尸N|的最小值为()

A.572-4B.V17-1C.6-272D.后

10.(2016・北京)圆(x+l)2+/=2的圆心到直线>=x+3的距离为()

A.1B.2

C.V2D.2也

二、填空题

4

11.(2019•江苏)在平面直角坐标系尤0y中，P是曲线y=x+—(x>0)上的一个动点，则点

x

P到直线x+y=0的距离的最小值是.

12.(2014・四川)没mwR,过定点A的动直线x+叼=0和过定点B的动直线

加x-了一加+3=0交于点P(x,y),则|尸斗|尸耳的最大值是.

13.(2008•重庆)直线/与圆/+y+2*-4歹+4=0("3)相交于两点A,B,弦48的中点

为(0.1),则直线/的方程为.

14.(2014・湖北)已知圆0:/+必=1和点/(一2,0),若定点3(6,0)仅力一2)和常数X满

足：对圆。上那个任意一点M,都有=,贝！

(1)b=；

(2)A=.

三、解答题

15.（2008・海南）已知aeR,直线/：mx-（比2+1”-4m=0和圆c:/+/-8x+4y+16=0.

(1)求直线/斜率的取值范围；

(2)直线/能否将圆C分割成弧长的比值为g的两段圆弧？请说明理由.

16.(2007・北京)矩形/BCD的两条对角线相交于点M(2,0),NB边所在直线的方程为

x-3y-6=0,点7(-1,1)在/。边所在直线上.

(I)求ND边所在直线的方程；

(II)求矩形/BCD外接圆的方程；

(III)若动圆P过点N(-2,0),且与矩形48CD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.

17.(2014・辽宁)圆/+丁=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三

角形面积最小时，切点为P(如图).

(1)求点P的坐标；

(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线/:y=x+百交于A,B两点，若AP4B的面

积为2,求C的标准方程.

参考答案:

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的

性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得

产+8上+1=0,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为丁+「-4-1=0,BP(X-2)2+/=5,可得圆心C(2,0),半径石，

过点P(0,-2)作圆C的切线，切点为48,

因为忸C|=12?+(-2)=2逝,则忸止』尸C|；2=G，

可得sinZAPC=埠=―,cosZAPC=£=—,

2&42/4

贝UsinN/P8=sin2//尸C=2sin//尸Ccos//PC=2x返—,

444

，笈、2zI——\2

cosZAPB=coslZAPC=co^ZAPC-sir?ZAPC=—--=-<(,

<47k474

即NAPB为钝角，

所以sina=sin(兀-乙4尸8)=sinZAPB=

法二：圆X?-4x-l=0的圆心C(2,0),半径r=右，

过点P(0,-2)作圆。的切线，切点为48,连接48,

可得忸。|=^22+(-2)2=2逐，则归旬=\PB\=yj\PC[-r2=6,

因为|尸/「+\PBf_2PH-「8|cos乙4尸8=便j+a]-2c4|您^osZACB

且NACB=7t-ZAPB,贝！J3+3—6cosNAPB=5+5-10cos(兀-NAPB),

BP3-cosZAPB=5+5cosZAPB,cosZAPB<0,

即/4P5为钝角，则cosa

且a为锐角，所以sine=Jl-cos2c=---

方法三：圆/+丁-4x-l=0的圆心C(2,0),半径厂=石

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为>=丘-2,即辰-y-2=0,

\2k-2\

则'/==(r5,整理得上2+8左+1=0,且△=64-4=60>0

a+i

设两切线斜率分别为配色，贝!I勺+《=-8,k\k1=1,

可得比一周=J(耳+&J-曲七=2屈,

所以tang」，即型3=可得cosa=?詈,

1+kxk2cosa715

rn【i,22•2smcc

叫Usina+cosa=sina+-----=1，

15

且ce(0,7t),则sine>0,解得sina=m5.

故选：B.

【分析】根据题意可知，点?既在双曲线的一支上，又在函数y=3在二了的图象上，即可

求出点尸的坐标，得到|。尸|的值.

【详解】因为|尸图一|四|=2<4,所以点P在以43为焦点，实轴长为2,焦距为4的双曲

2

线的右支上，由c=2,"=l可得，加=/_/=4-1=3,即双曲线的右支方程为尤2一a=1々>0),

而点尸还在函数y=的图象上，所以,

V13

y=3d4-X。X二---

2

由，,v2，解得“

x2--=l(x>0)3月

故选：D.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学

生的数学运算能力，属于基础题.

3.C

【分析】尸为单位圆上一点，而直线x-my-2=0过点/（2刀），则根据几何意义得d的最大

值为。/+1.

【详解】•.■32。+5m2。=1,二.尸为单位圆上一点，而直线x-叼-2=0过点/（2,0）,

所以d的最大值为。2+1=2+1=3,选C.

【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距

离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题

转化.

4.B

【分析】直线/:>=丘-拓恒过点（0,-6），结合图象以及交点所在象限可得答案.

【详解】因为直线=-世恒过点尸（0,-6），直线2x+3y-6=0与坐标轴的交点分别

为/（3,0）,8（0,2）；

直线AP的斜率2旦,此时倾斜角为7；

AP36

直线5P的斜率不存在，此时倾斜角为，；

2

所以直线/的倾斜角的取值范围是W）

故选：B.

5.C

【详解】试题分析：直线。x+2y=0平行于直线x+y=ln==-ln4=2,因此正确答案

2

应是充分必要条件，故选C.

考点：充要条件.

6.C

【详解】试题分析：由直线方程4：y=x,可得直线的倾斜角为a=45°,又因为这两条直

线的夹角在(。,看)，所以直线4：公-y=0的倾斜角的取值范围是30°<a<60°且cw45°,

所以直线的斜率为tan30"<a<tan60°且erHtan45°,即]8<a<1或1<a<G,故选C.

3

考点：直线的倾斜角与斜率.

7.B

【详解】试题分析：易得40,0),8(1,3).设尸(XJ),则消去加得：x2+/-x-3y=0,所以

点P在以AB为直径的圆上，PA1PB,所以|尸川2+阿『=|/刃2=10,令

|夫/卜丽sin。,"卜而'cos®,贝!]

忸/|+|尸2|=可$吊0+加30=27^皿0+?).因为|刃|20,|尸8|20,所以0484所以

日Vsin(e+>1,9#H+|尸昨2瓦选B.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以P/，尸5,点P的轨迹是以AB为直径的圆.

以下同法一.

【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.

8.A

【详解】试题分析：设直线/：2x+y-4=0因为|OC|=g|/8|=dj，表示点C到直线/的

距离，所以圆心。的轨迹为以。为焦点，/为准线的抛物线，圆C的半径最小值为

H喂=手，圆。面积的最小值为乃手=y.故本题的正确选项为A.

考点：抛物线定义.

9.A

【分析】求出圆q关于X轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径，然后求解圆A与圆。2的圆

心距减去两个圆的半径和，即可求出I9I+IPNI的最小值.

【详解】圆£关于X轴的对称圆的圆心坐标4(2,-3),半径为1,圆C2的圆心坐标为(3,4),

半径为3,

...若“与M关于x轴对称，贝=即1PMi+|PN|=|PM'|+|尸N],

由图易知，当尸,N,M'三点共线时1PM'|+1尸N|取得最小值，

|9|+1PN|的最小值为圆A与圆C?的圆心距减去两个圆的半径和，

22

.•­|^C21-3-1=^(3-2)+(-3-4)-4=5亚-4.

故选：A.

10.C

【详解】试题分析：圆心坐标为(-1,0),由点到直线的距离公式可知4=土以=0,

V2

故选C.

【考点】直线与圆的位置关系

【名师点睛】点＜二.；「到直线1=H+b(即j-H-b=0)的距离公式

诏」,二^二也记忆容易,对于知d求k，b很方便.

11.4.

【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距

离

【详解】当直线x+y=o平移到与曲线y=x+42相切位置时，切点。即为点尸到直线x+y=o

的距离最小.

由V=1—F=-1，得x=6(-柩舍),y=3A/2,

x

即切点。(后,3亚)，

则切点。到直线X+y=0的距离为悴+3码=4,

故答案为4.

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.

采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

12.5

【详解】试题分析：易得/(0,0)/(1,3).设尸(x,y),则消去"7得：X2+/-X-3J=0,所以

点P在以AB为直径的圆上，P/1P8,所以同产+忸为2=|一为2=10,忸/3依/号£=5.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以P/，尸5,点P的轨迹是以AB为直径的圆.

以下同法一.

【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.

13.%->+1=0.

【详解】设圆心。，直线/的斜率为左，弦42的中点为尸，尸。的斜率为幺，，左出=与)则

-1-0

ILPO,所以八==l由点斜式得kX+1.

14.—/-0.5—/0.5

22

【分析】按照题意，求两点距离，解方程即可.

【详解】试题分析：设M(x,P),因为|儿回=川上例，./>0,

所以(X-6)2+/=4(X+2)2+「］,

-1)X2+(A2-1)/+(422+2b)x-b2+422=0,

22

雨士汨2，4分+乃42-b八

酉己方得x?+V+_------x+-5——=0，

因为对圆。上那个任意一点M,都有|九班卜力儿⑷成立,

4万+26=0b=--

所以14万一/2

解得(舍去),

2

故故答案为：-万，y.

15.(1)[-1,1];

(2)不能，理由见解析.

【分析】(1)由题设可得直线/斜率左=YT，则而2-加+左=0,讨论心0、左W0求其范

m+1

围即可；

(2)由(1)及圆的标准方程可得圆心C(4,-2),半径r=2且直线/为>=左。-4),其中

0<|^|<|,应用点线距离求C到直线/的距离并与5比较大小，讨论直线/与圆C的位置关

系，即可判断结论.

【详解】⑴由题设，直线/:片子m：工―4子7777,止匕时斜率左二fTY1v，

m+\m+1m+1

：-km2-m+k=0,当仁0时，加=0符合要求；当左W0,则A=l—4左220,可得

k£[-；,0)u(0。；

所以，斜率左的取值范围是u

(2)不能.由(1)知：直线/可写为>=左。-4),其中04|左区；；

22222

而C:、2+y-8x+4y+16=(x-4)+(y+2)-4=0,即(x-4)+(y+2)=4,

,2

所以圆心。(4,-2),半径r=2；圆心C到直线/的距离。=/

J1+后2

1AF

由0左区,,得d>>1,即

若/与圆C相交，显然圆。截直线/所得弦的圆心角小于胃,

所以/不能将圆c分割成弧长的比值为3的两段弧.

16.(I)4。边所在直线的方程为3%+》+2=0

(II)矩形458外接圆的方程为(x-2)2+J/=8

22

(III)动圆尸的圆心的轨迹方程为：-三=1(>4-伪

【详解】解：(I)因为边所在直线的方程为x-3y-6=0,且/。与垂直，所以直线

的斜率为-3.

又因为点7(-1』)在直线上，

所以边所在直线的方程为y-i=-3(x+1).

3%+>+2=0.

x—3y—6=0,

(II)由C。解得点A的坐标为(0,-2),

因为矩形两条对角线的交点为M(2,0).

所以M为矩形48CD外接圆的圆心.

又\AM\=J(2-Op+(0+2)2=2近.

从而矩形/BCD外接圆的方程为(x-2>+/=8.

(III)因为动圆尸过点N,所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以1PMl=|尸川+2近,

即1PM-|尸'|=2百.

故点P的轨迹是以M,N为焦点，实轴长为2血的双曲线的左支.

因为实半轴长a=也，半焦距c=2.

所以虚半轴长6=&2-a2=y/2•

从而动圆P的圆心的轨迹方程为q=1(x4-隹)

17.(1)(V2,V2)；(2)E+5=l

o3

【详解】试题分析：(1)首先设切点？(%,%)(/〉0,,为>0),由圆的切线的性质，根据半

径。。的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为/x+%>=4,建立目标函数

1448

s=

~-----------.故要求面积最小值，只需确定与%的最大值，由/2+