江苏省宿迁市2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案）

江苏省宿迁市2023-2024学年高一下期末考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.计算sin4（Tcosl60。-cos40°sin20°的值为

A岑B.一个C.1D.-|

2.已知复数z满足｝=-1+2i（i为虚数单位），则z的共朝复数彳对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm）,甲班的数据为169,162,150,160,159,乙班

的数据为180,160,150,150,165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高元用，元/及方差SS1的关

系为

元尹＜二乙，q2>q2仅甲＜，q2Vq2

C.D.%z‘甲入'乙

4.已知向量五=（1,1）,向量3=（-3,0）,则向量3在向量a上的投影向量为

A/3、„,3/23/2,c,33、„,3/23/2.

儿（爽）B（——）C.（-2，-2）D.

5.使记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田

忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有

上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为

6.已知点2(2,3),B(4,—1),C(—2,1),下列说法正确的是

A.CA-CB=28B.乙4cB=半

4

C.点C到直线的距离为2"D.\2AB+AC\=A/10

7.已知/,7n,71表示三条不同的直线，%/?表示不同的平面，则

A.若al/?，！£,贝〃〃a

B.若m[/n,m1a,lLn,贝“1a

C.若61u则/1n

D.若TH〃a,n〃a,7nup,nu/?,贝！Ja〃£

8.已知正四棱台ABCD-ABiCiA的上、下底面边长分别为2和4,若该正四棱台的侧面积为12，百，则侧棱

4%与底面4BCD所成的角为

A*B.^C.^D.瑞

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1,2,3,…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽

出的卡片号为1,4,7”为事件4,“抽出的卡片号小于7”为事件B,“抽出的卡片号大于7”记为事件C.

下列说法正确的是

A.事件4与事件C是互斥事件B.事件4与事件B是互斥事件

C.事件4与事件B相互独立D.事件B与事件C是对立事件

10.已知Z1,Z26C,且复平面内Z1对应的点为Z,则下面说法正确的有

A.pl=兽

B.若Z1Z2=0,则Z1，Z2中至少有1个是0

C.满足因-1+2。42的点Z形成的图形的面积为2TT

D.若|z/=l,贝Uz/+++3的最小值为1

11.如图，在正方体A8CD—48停1。1中，若P为棱BE1的中点，Q点在侧面4BB/1（包括边界）上运动，且

DQ〃平面PCQ,下面结论正确的是

A.Q点的运动轨迹为一条线段

B.直线DQ与4D所成角可以为3

C.三棱锥尸-CD1Q的体积是定值

D.若正方体的棱长为1,则平面PCD】与正方体的截面的面积为:

O

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，用X,丫，Z这3类不同的元件连接成系统N,每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元

件X正常工作且y,Z中至少有一个正常工作时，系统N正常工作.已知元件X,Y,Z正常工作的概率分别

为0.8,0.7,0.9,则系统N正常工作的概率是.

13.粽，即粽法，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋

代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们

在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子

里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6on,则其内可包裹的蛋黄的最大体积为cm3.

14.记△力8C的三个内角且48=4,"=6,若。是AZBC的外心，4。是角4的平分线，。在线段BC

上，则而•而=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

如图，D,E,F分别是AaBC的边8C,CA,4B上的点，5.AF=^AB,BD=汕,CE=^CA,AB=

Z54

3,AC—2,Z-BAC=60°.设48=m,AC—n.

c

（1）用向量沅，元表示丽；

（2）求而­~EF.

16.（本小题15分）

如图，在三棱锥A—BCD中，AB=AC,^BAC=90°,G,E分另（J是AB,BC的中点，”是4D上一点.

A

。)若平面ABC1平面ACD,求证：AB1CD；

(2)若点F在CD上，且满足DF:FC==2:3,求证：直线EF,GH,BD相交于一点.

17.(本小题15分)

已知向量记=(sinx,sin(7r—x)),n=(2V-3sinx,2cosx),设/'(x)—m-n—V-3.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若/■&_弓)=噌,%0e洋，兀卜求sin2%()的值.

18.(本小题17分)

某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标

值TH来衡量的，按质量指标值机划分产品等级的标准如图表L

图表1

250<m<300150<m<250

质量指标值税300<m<350

或350<m<400或400<m<450

等级一等品二等品三等品

现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布

直方图.

频率

A组距

0.006--------------------------------

0.005-

0.004----------------------------------------

0.003-......................

0.002-............................................................

0.001-…——

0150200250300350400450质量指标值加

图表2

(1)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间［350,400)和［400,450］内的产品中随机抽取6件，再从这6

件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间［350,400)的概率；

(2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3:

图表3

产品等级一等品二等品三等品

732

销售率

855

单件产品原售价20元15元10元

未按原价售出的产品统一按原售价的50%全吾B售出

(产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值)

已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：

①质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不低于300.

②单件产品平均利润不低于4元.

已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析

该新机器是否达到企业的购进条件.

19.(本小题17分)

在锐角A4BC中,角4,B,C的对边为a,b,c,若c=2,(b+2)(sinC—sinB)—(a—b)sinA.

(1)求角C的大小；

(2)若E为48的中点，且求AABC的面积S；

(3)如图，过4点在AZBC所在平面内作2。148,且满足乙4DC=等求线段4。+DC的最大值.

答案

l.B

2.B

3.D

4.C

5.71

6.C

7.C

8.B

9.AC

10.ABD

ll.ACD

12.0.776

13.-/67T

14.12

15.解：(1)因为CE=)C4所以及4=JC4

44

又因为力F=

所以前=丽+方=-1ZC+^AB,

4Z

因为荏=m,~AC=n,

所以方=-^n;

Z4

⑵因为BO=gBC,所以而=|才豆+彳刀=|话+界

由(1)得前=2沆—［元，

所以而•前=(|m+1n)-(im-jn)

33Z4

1一21一一J一1一2

32o4

1—>21—>—>1—>2

—~7n—~7YL,71—~TL，

334

因为4B=3,CA=2,NBAC=60。，

所以同|=3,|宿=2,向量记与向量元的夹角为60。，

_>_111

AD-EF=-^\m\2—^-|m||n|cos60°--r|n|2

DD4

1111

=^x9-3x3x2x[-；x4=L

33Z4

16.证明：(1)因为ABAC=90。，

所以4B14C,

又因为平面ABC1平面amABu平面ABC,平面ABCC平面4CD=AC,

所以4B1平面AC。，

又因为CDu平面4CD,

所以AB1CD.

(2)连接GE,HF,因为G,E分别是4B,BC的中点，

所以GE〃4C,GE=^AC,

因为OF:FC=DH-.HA=2:3,

所以HF//",HFAC,

所以GE〃HF,

所以GE,HF确定一个平面，即G,E,F,H四点共面，

因为GE〃HF,GE=^HF,

所以四边形GEF”是梯形，GH、EF的延长线必相交于一点，

设GHCEF=。，所以。CGH,

因为GHu平面力BD,所以。€平面ABD,

同理可证。6平面BCD,

所以。是平面4BD与平面BCD的公共点，

又因为平面ABDC平面BCD=BD,

所以。GBD,

所以直线EF,GH,BD相交于一点.

17.解：(1)/(%)=m-n-y[3

—2V-3sin2x+2sinx-cosx—

=A/-3(1—cos2x)+sin2x—V-3

=sin2x—V_3cos2x=2sin(2x--),

故最小正周期为T=3=TT；

7171H

(2)/(x0-g)=2sin[2(x0一百)一£

=2sin(2x0-y)=!|>

则sin(2%o_,)=亲

因为学《久o4兀，所以称W2x°-与工当，

4ODO

2

所以cos(2xo—•=-J1-sin(2x0-y)=一看

故sin2%()=sin[2x0-y)+y]

2TT2TT27r27r

-

=sin(2x0——2)cos空-+cos(2x0——爰)sin《-

7,1、24/3_7+24V3

=25X(-2)-25X-F-sb-

18.解:（1）设“所取2件产品都取自区间［350,400）”为事件力，

因为区间［350,400）和［400,450］上的频数之比为2:1,

所以应从区间［400,450）上抽取2件，记为的,a2,

从区间［350,400］上抽取4件，记为瓦，b2,b3,b4,

则从中任取两件的情况有（%,a2）,瓦）,（。1也），（的也），（的也），（。2,瓦），（。2也），@也），

（。2也），

（瓦也）,（瓦也），（瓦也），（历为3），①也），（为”4）共15种，即样本空间中样本点的总数为15,

事件力所含的基本事件共有（瓦前2），（瓦也）,（瓦也）,（①也），（①也）电也）6种;

所以所求事件概率为「（4）=^=|.

（2）①先分析该产品质量标准值的平均数，

由题意得元=175x0.05+225x0.15+275x0.2+325x0.3+375x0.2+425x0.1=312.5

故满足认购条件①，

②再分析该产品的单价平均利润值：

由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.3,0.4,0.3,

故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值为：600,800,600件，

设一、二、三等品利润分别为明，加2，电，

71

%=600x(10xg+0xe=5250%,

Q9

I¥2=800x(5x|-2.5x|)=1600元,

9Q

W3=600x(0x|-5xI)=—1800兀，

则2000件产品的总利润为：W=W1+W2+W3^=5250+1600-1800=5050元,

故2000件产品的单件品平均利润估计值为5050+2000=2.525<4,

故不满足认购条件②，

综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件.

19解:(1)因为(b+2)(sinC—sinB)—(a—b)sin4

由正弦定理肃7=9=肃可得S+2)(c-6)=(a-b)a，

即a?+b2=be+ab+2c—2b,

因为c=2,所以+按=必+4,

「a2+b2—c2a2+Z)2—4ab1

C0SC=2ab=下丁=元=2'

因为ce(0,今，所以c

(2)由(1)得炉+口2-ab=4①，

因为E为4B的中点，所以屈=口方+而),

贝!||屈『=卜|刀『+|CB|2+2|CX||CB|cos60"),

4

化简得块+a2+ab-12②，

由①②解得ab=4,所以S=gabsinC=|x4X=，百;

⑶设皿1C=0,

当DC与AABC外接圆相切时，可得8="，贝MeW),

贝此。。4=六一凡LABC=e+y,