2021年九年级数学中考复习分类：勾股定理实际应用(一)

2021年九年级数学中考复习分类专题:

勾股定理实际应用（一）

一.选择题

1.如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时/O为4米，若竹竿的顶端/沿

墙下滑2米至C处，则竹竿底端6外移的距离BD（）

B.等于2米C.大于2米D.以上都不对

2.在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为4s7和167

的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为（）

AV34160乐

-cirR-T-cnJ———orun--z-cn

zbIfz

3.如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高

出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇

的长度为（）尺.

A.10B.12C.13D.14

4.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题："今有开门去闹（kun）一尺,

不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（/。和6C）,门边缘。，。两

点到门槛片6的距离为1尺（1尺=10寸），双门间的缝隙8为2寸，那么门的宽度

（两扇门的和）58为（）

A.103寸B.102寸C.101寸D.100寸

5.如图，一棵大树在离地面3m，5力两处折成三段，中间一段"8恰好与地面平行，大树

顶部落在离大树底部6力处，则大树折断前的高度是（）

A.9/77B.14/77C.11/77D.10/77

6.将一根长度为16cm自然伸直的弹性皮筋45两端固定在水平的桌面上，然后把中点C

竖直向上拉升6c777至。点（如图），则该弹性皮筋被拉长了（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

7.如图，高速公路上有46两点相距10幼?，C、。为两村庄，已知。/=4切?，CB=

6km.1，片6于力，于民现要在上建一个服务站已使得C、。两村庄

到E站的距离相等，则昆的长是（）km

A---7E^---B

4km.J''、、

\6km

D\

C

A.4B.5C.6D.^/20

8.某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽

都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是

（）（参考数据：&=1.41,«=1.73,巡=2.24）

9.如图，公路/。、6c互相垂直，公路的中点用与点C被湖隔开，若测得/C=IGkm,

BC=24km,则从、C两点之间的距离为（）

A

Af

A.13kmB.12kmC.11kmD.1Okm

10.如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台“上，利用旗杆。及顶部的绳

索，划过90。到达与高台“水平距离为17米，高为3米的矮台8那么小明在荡绳索

的过程中离地面的最低点的高度"/V是（）

A.2米B,2.2米C.2.5米D.2.7米

二.填空题

11.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：

"今有垣高一丈.倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？”其

内容可以表述为："有一面墙，高1丈.将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的

上端对齐，下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，

则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺？"（说明：1丈=10尺）

设木杆长x尺，依题意，列方程是.

12.一个矩形的抽斗长为12s?,宽为5s,在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以

是cm.

13.如图，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多

出了一段.同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1力，然后将这根绳子拉直，当绳子

的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为5m,利用勾股定理求出旗杆的高

度约为m.

14.我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在

离竹子底端3尺处，1丈=10尺，那么折断处离地面的高度是尺.

15.图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图.已知O,户两点固定，连

PA=PC=140C/77,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm,O,尸两点间距与

OQ长度相等.当OQ绕点。转动时，点力，B,C的位置随之改变，点8恰好在线段

上来回运动.当点6运动至点"或/V时，点AC重合，点尺6?,A6在同一

直线上(如图3).

(1)点尸到的距离为cm.

(2)当点只O,/在同一直线上时，点Q到例AZ的距离为cm.

16.如图，池塘边一棵垂直于水面6例的笔直大树在点C处折断，/C部分倒下，点/

与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点”与水中的点尸重合，C尸交水面于点。，

DF=2m,ZCEB=3Q°,ZCDB=45°,求C6部分的高度为m.

F

17.将折叠书架画出侧面示意图，48为面板架，C。为支撑架，炉为锁定杆，尸可在C。

上移动或固定.已知8C=CE=8c”如图甲，将面板竖直固定时，点

厂恰为8的中点.如图乙，当C尸=17cm时，EFA.AB,则支撑架8的长度为

cm.

三.解答题

18.如图，在笔直的高速路旁边有48两个村庄，/村庄到公路的距离8切7,8村

庄到公路的距离6。=14w，测得C、。两点的距离为20的?，现要在C。之间建一个

服务区B使得/、6两村庄到厂服务区的距离相等，求的长.

cED

A'、、

B

19.如图，学校有一块长方形花圃ABCD,有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃

内走出了一条“路”.若假设2步为1米，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草？

20.有一条笔直公路/上有4、8两个停靠站，公路旁有一块山地C正在开发，现在C处

时常需要爆破作业.如图，已知力、6两站相距2初7,且N46C=30°,Z^C=60°,

为了安全起见，爆破点。周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公

路工6段是否需要暂时封锁？请说明理由.(遮=1.73)

21.如图，某港口。位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.远洋号、长峰号两艘轮船同

时离开港O,各自沿固定方向航行，远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航

行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达8两个位置，且"6=20海里，已知

“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由.

北

22.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点B,其中

=/IC,由于某种原因，由C到”的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边

新建一个取水点〃(/、H、6在同一条直线上)，并新修一条路测得6=1.5千

米，C7/=1.2千米，〃8=0.9千米.

(1)问C〃是否为从村庄。到河边的最近路？请通过计算加以说明；

(2)求新路C3比原路CX少多少千米？

参考答案

选择题

1.解：由题意得：在中，O/=4米，/8=5米,

'-OB=而2_皿2=3米,

在Rt^C。。中，OC=2米，。。=5米，

-'-OD=7CD2-0C2=亚米，

:.BD=OD-OB=(A/21-3)=L58(米).

故选：4

2.解：如图所示：

△国是直角三角形，2CEF=90°,CE=A,EF=},

/_AEF^/_CED=^°,

1,四边形是正方形，

.■.//1=ZZ;=90°,AD=CD,

二.NO8/Ca=90°,

AAEF=ADCE,

AAEF^△DCE,

,AE=EF=1

"DC"CE

设AE-xcm,贝ijAD-CD=4xcm,

DE=AD-AE=3xcm,

在Rt^CAE中，由勾股定理得：(3%)2+(4%)2=42,

解得：x=3

D

:.AD=4^—=—.

55

故选：B.

AE

BC

3.解：设水深为x尺，则芦苇长为（叶1）尺，

根据勾股定理得：V+（¥）2=（X+1）2,

解得:X=12,

芦苇的长度=刈1=12+1=13（尺），

答：芦苇长13尺.

故选：C.

4.解：设OA=OB=AD=BC=r,过。作。£1力5于£

贝1JDE=10,OE=看CD=1,AE=f-1.

在RtA/OE中，

A^+D^=A^,即（r-1）2+102=3,

解得2r=101.

故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸.

故选：C.

5.解：如图，作82LOC于点。，

由题意得：AO-BD-3/77,AB—OD=2/77,

OC=6/77,

/.DC-4m,

22

..•由勾股定理得：BC=7BD+DC=732+42=5（力）

二大树的高度为5+5=10（力）

故选：D.

ODC

6.解：连接8,

...中点c竖直向上拉升6s至。点，

...8是的垂直平分线，

二./48=90°,AC=BC=^AB=8cm,AD=BD,

在中，由勾股定理得：

AD=VAC2<D2=V82+62=1°(cm),

:.BD-10C/77,

.,.AaBD=20cm,

'：AB-1bcm,

,该弹性皮筋被拉长了：20-16=4(cm),

故选：B.

D

7.解：设BE=x,贝iJ/E=(10-x)km,

由勾股定理得：

在白△/。/中，

=AD^+A^=42+(10-x)2,

在RtaSCE中，

C^=8(^+8^=62+^,

由题意可知：DE=CE,

所以：62+^=42+(10-x)2,

解得：x=4km.

所以，所的长是4痴.

故选：4

8.解：,车宽2米，

..•卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高.

在国△08中，由勾股定理可得：

CD=VOC2-OD2=722-12=1-73（米）

CH=CD^DH=1.73+1.6=3.33,

.•・两辆卡车都能通过此门，

9.解：在白△/8。中，AB^=AC^+C^

'：AC-10X777,BC=24km,

:.AB=26km,

点是中点

MC=—AB—12）km,

2

故选：4

10.解：作4E1OW于£BF1OM于F,如图所示:

则/。勿=/8尸0=90°,

•：AAOB-ABOF=Z80丹/OBF=90°

：.（AOE=/_OBF

'Z0EA=ZBF0

在△/O汇和aOB厂中，〈NAOE=NOBF,

OA=OB

:AAO匹XOBF〈AAS],

OE=BF,AE=OF,

OB-OF=AB-BF=CD=17（米）

-：EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7（米）,

,：O®OF=2E8EF=17米,

.-.20^=17-7=10（米）,

:.BF=OE=5米,。尸=12米，

CM=CD-DM=CD-17-5=12（米），。例=Oa的=12+3=15（米）

22=22=13

由勾股定理得：ON=OA=yAE-K）E/12+5（米），

/.MN=OM-ON=15-13=2（米）

故选：4

二.填空题（共7小题）

11.解：如图，设木杆长为x尺，则木杆底端8离墙的距离即6c的长有（x-l）尺,

在Rtz\/46C中,

-：AC^+BC^=A^,

.-.102+（x-1）2=落，

故答案为：1。2+（x-l）2=f.

A

12.解：在直角△/SC中，根据勾股定理可得：/IC=7AB2+BC2=V122+52=13（cm）.

即铁条最长可以是13s.

故答案是：13.

13.解：设旗杆的高度/C为x米，则绳子的长度为（x+1）米,

在白△/I6。中，根据勾股定理可得：A52=（叶1）2,

解得，x=12.

答：旗杆的高度为12米.

14.解：1丈=10尺，

设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，

根据勾股定理得：A32=（10-x）2

解得：x=4.55.

答：折断处离地面的高度为4.55尺.

故答案为：4.55.

15.解：（1）如图3中，延长尸。交"A/于T,过点。作尸Q于“

图3

由题意：OP=OQ=50cm,PQ=PA-AQ=140-60=80(cm),PM=PA+BC=

140+60=200(cm),PTYMN,

■：OH1PQ,

:.PH=HQ=4G(cm),

,40=PT

"50"200'

PT=160(cm),

二点尸到例/V的距离为160s?,

故答案为160.

OQ=50cm,AQ=6Qcm,

■：QH1OA,

:.Q^=AG-A伴=od-。仔，

.-.602-^=502-(90-x)2,

解得x=等，

y

.-.HT=AH+AT=^-(C777),

.•.点Q到例A/的距离为粤cm.

9

故答案为粤■.

9

16.解：设C8部分的高度为M77.

'：ABDC=ABCD=45°,

BC—BD-xm.

在RtZkBC。中，CD=.%。=."=&x(m)

sin45sin45

在中，'：ABEC=30°,

CE=2BC=2%(/77)

■/CE=CF=CD^DF,

，2x=&x+2,

解得：X=2+，R.

.BC=（2+01/2）（力）.

答：C6部分的高度约为（2+亚）m,

故答案为：（2+加）

CF=17cmBC-CE-8cm

过尸作尸G148,

-：AB1_BD,

:.FG\\BD,

・点尸恰为”的中点，

.b.CG——BC=Acm,

2

EG=8+4=12cm,

,/EF=15s7,

-'-FG=VEF2-EG2=9CZ77,

BD=2厂G=18c777,

CD=VcB^+BD^=2标，

故答案为：2国.

三.解答题(共5小题)

18.解：设CE-X,贝ijDE-20—x,

由勾股定理得：

222

在口△/CE中，/4^=/IC+C^=8+A>

在口△50F中，=B^+DE1-=