2024年中考数学复习：“将军饮马”模型最值问题讲义

“将军饮马”模型最值问题讲义

“将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题，往往通过对称进行等量代换，转化成两

点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值。解决

这类问题要用到两个基本知识点：“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.

【类型一两定一动基本型】

1.同侧、异侧两线段之和最小

问题:在直线1上求一点P,使PA+PB值最小.

做法:连接AB,与1交点即为P,PA+PB的最小值为AB.

问题:在直线1上求一点R使PA+PB值最小.

做法:作A关于1的对称点A1,连A'B,与1交点即为P,PA+PB的最小值为A'B.

2.同侧、异侧两线段之差最大、最小

问题:在直线1上求一点P,使IPA-PB的值最小.

做法：连接AB，作AB的中垂线，与直线1的交点即为P,此时\PA-P8|=0.

问题：在直线1上求一点P,使I|P4-P5的值最大.

做法：作直线AB,与直线1的交点即为P.根据三角形任意两边之差小于第三边，||PA-PB|WAB,\PA-PB\

的最大值=八区

B

A.

问题:在直线1上求一点P,使IPA-PB出勺值最大.

做法:作B关于1的对称点B',作直线AB1与1交点即为PP.\PA-PB\<AB',\PA-PB|的最大值=千：

B

,・B

【例1】已知锐角aABC中,BC=4V2,"BC=45。，点D在BC边上,且8。=2,BE是N28C的角平分线,点

P为BE上的一个动点,则PC+PD的最小值为.

【简答】作点C关于BE的对称点C「；BE是/ABC的角平分线,；.C落在AB上，连接CD,CP,则

PC+PD=PC'+PD>C'D,当P,C,D三点共线时,PC+PD取得最小值，

过C'作C'H_LBC于H,：BC=BC=4V^,/ABC=45。，，BH=CH=4,：BD=2,；.DH=2,在RTACDH中,由勾股

定理可求得CD=2V5,PC+PD的最小值为2低

［例2］如图,在RTAABC中,NACB=90。,"=BC=4,,点D是边BC的中点,点E是AC上的点,且满足

黑=1点P为边AB上的动点，当点P在AB上移动时，四边形PDCE周长的最小值为

EC3

【简答】作点D关于AB的对称点D1,连接D'E,则D'H=1,EH=4,D'E=V17,vPD+PE=PD'+PE>

D'E=CD=2,CE=3,,.•.四边形PDCE周长的最小值为V17+5.

【例3】如图,在矩形ABCD中,.48=3,4。=4,,连接AC,O是AC的中点,M是AD上一点，且MD=1,P是

BC上一动点,则PM-PO的最大值为

【解答】：在矩形ABCD中,AD=4,MD=1,■.AM=3,

连接MO并延长交BC于P,则此时,PM-PO的值最大,且PM-PO的最大值:=0M,

VAM/7CP,ZMAO=ZPCO,VZAOM=ZCOP,AO=CO,

.•.△AOM乌△COP(ASA),；.AM=CP=3,OM=OP,.\PB=1,

过M作MN±BC于N,四边形MNCD是矩形，;MN=CD,CN=DM,

PN=4-1-1=2,MP=732+22=V13,/.OM=亨

［例4］如图,在菱形ABCD中,AB=6,ZA=135°,点P是菱形内部一点,且满足SPCD=白阎―”，则PC+PD

6圜小ABCD

的最小值是.

【解答】如图，在BC上取一点E，使得EC=1BC=2,作EF〃AB,交AD于F,则P在线段EF上运动，作点C

关于EF的对称点C,CC交EF于G,连接DC交EF于P,连接PC,此时S=.PC+PD的值最小，

PCD6彼锥ABCD

最小值为DC的长，：四边形ABCD是菱形，ZA=135°,AZCEG=ZB=45°,

VZCGE=90°,.,.ZECG=45°,VZBCD=135°,AZC'CD=90°,

：EC=2,，C'C=2V^,：CD=6,；.DC'=2VIL；.PC+PD的最小值是2VH.

【针对练习11

1.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线相交于点O,M为CO的中点,N在边BC上,且CN=1,点P为BD

上的一个动点，则PM+PN的最小值是—.

2.已知如图,一次函数y=-2x+4与y轴、x轴分别交于A、B两点点C是AB的中点，点P是直线x=-l上的一

个动点，则PC+PB取得最小值时，点P的坐标为—.

3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4/BCD=15。,,P为CD上的动点,则|P4-PB|曲最大

值是_.

A

4.如图,在AABC中,AB=AC,BC=4,面积是16,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E.F点，若点D为BC

边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值为一.

5.如图,在矩形ABCD中,AB-AD=4,动点P满足SPAB=”矩形ABCD令AD=%,△P4B面积为y,贝卜与x的

函数关系式为当x=6时点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为.

6.如图，在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交BC于点N,交AB于点M,A"N的周长为19,BC=12,若点P

在直线MN上,则||PC-P用的最大值为.

【类型二两次对称型】

问题：在直线£b上分别求点M、N,使△PMN的周长最小.

做法:分别作点P关于两直线的对称点P'和P",连接P'P”,与两直线交点即为M,N.PM+MN+PN的最小值为线段

P'P〃的长.

问题:在直线11、的上分别求点M、N,使四边形PQNM的周长最小.

做法：分别作点P、Q关于直线kb的对称点P和Q',连Q'P',与两直线交点即为M,N.四边形PQNM周长的

最小值为P'Q'+PQ的值.

&

【例1】如图，乙4。3=30。,乙40B内有一定点P,且OP=10,在OA上有一点Q,OB上有一点R,则△PQR周长

得最小值为一.

【解答】分别作P关于OA、OB的对称点E、F,交OA、OB于M、N两点.连接EF与OA相交于Q,与OB

相交于R.再连接PQ,PR,则.△PQR即为周长最短的三角形.

VOA是PE的垂直平分线.EQ=QP;同理OB是PF的垂直平分线，FR=RP..,.APQR的周长=EF.

,.,OE=OF=OP=10,且NEOF=NEOP+NPOF=2/AOB=60。，.'.△EOF是正三角形，.•.EF=10,即在保持OP=10的

条件下APQR的最小周长为10.

［例2］如图，在四边形ABCD中,NBAD=110。,NB=ND=90。.在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN周

长最小，贝毗时.乙4MN+乙4NM的度数为一.

【解答】如图，作点A关于BC的对称点A1.关于CD的对称点A；连接.44八与BC、CD的交点即为所求的点

M、N,VZBAD=110o,ZB=ZD=90°,/A'+/A'=180。-：!10。=70。,由轴对称的性质得：ZA'=ZA'AM,ZA'=Z

A'AN,ZAMN+ZANM=2(ZA'+ZA')=2x70o=140°.

D

【例3】如图，已知矩形ABCD中"B。=70。,4。=4,E、F是对角线BD上的两个动点，G是BC上的动点,

连接CE、EG、GF,贝CE+EG+GF的最小值是___.

【简答】作C关于BD的对称点C,作线段BD关于BC的对称线段BD1.F关于BC的对称点F,则CE=C'E,

GF=GF',•?ZABD=70°,ZCBD=20°,ZC'BH=60°,

vCB=CB=AD=4,CH=CB-sin60°=4Xf=2y[3.

过C'作C'H±BD'TH,贝!j(CE+EG+GF=CE+EG+GF'>CH=2旧，故CE+EG+GF的最小值是28.

【针对练习2]

1.如图.乙MON=40°,P为NMON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△P4B的周长取最小值时：

(1)找至[|A、B点，保留作图痕迹；

⑵求此时.乙4PB等于多少度；如果NM0N=仇乙4PB又等于多少度？

M

2.如图，在x轴上找一点C,在y轴上找一点D,使4D+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D

的坐标。

■y

-•A(1.3)

•«B(3,1)

3.如图,NMON=20。,A、B分别为射线OM、ON上两定点,且（OA=2,OB=4,,点P、Q分别为射线OM、

ON两动点,当P、Q运动时,线段.AQ+PQ+PB的最小值是

4.如图，在RTA4BC中,NB4C=90=3,4B=2同,点D、E在BC边上,=CE=1,,点G、F分别是

边AB、AC上的两个动点，则四边形DEFG周长的最小值是____.

5.如图，乙4OB=20。,点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记NMPQ=

a/PQN=优当MP+PQ+QN最小时，则£—a的值为.

6.如图,已知矩形ABCD中,AB=12,AD=3,,E、F分别为AB、DC上的两个动点,贝！J.4F+FE+EC的最小值

为—.

【类型三平移型】

问题:在直线1上求两点M、N（M在左），使MN=a,并使AM+MN+NB的值最小.

做法:将点A向右平移a个长度单位得A；作A，关于1的对称点A",连接A”B,交直线1于点N,将N点向左平移a

个单位得M.AM+MN+BN的最小值为A"B+MN.

【例1】如图，某中学教学区与住宿区被公路隔开，为了保障师生安全，学校准备在公路上建设一座过街天

桥CD（公路两边互相平行，且要求天桥与公路垂直）.已知该校教学楼A到公路一边的距离AE=20m,宿舍楼B

到公路一边的距离BF=25m,公路宽度为35m,教学楼A与宿舍楼B的直线距离AB=100m,则修建的天桥

CD若保证从教学楼A与宿舍楼B的距离（即AC+CD+DB）最短，则这个最短距离是_m.

【解答】如图，将点A竖直向下平移到点A，,使AA，等于公路的宽度，连接AB,与公路b交于点D,过点

D作CD公路a于于C,连接AC、BD.

则天桥建在CD处能使由A经过天桥走到B的路程最短，最短路线的长：AC+CD+DB=A,B+CD,在RtAABH

中,由题意,AB=100,AH=80,•••BH=V1002-802=60,

在RtABHA，中,BA'=yjBH2+HA'2=V802+452=5百5,.,•这个最短距离为35+5V337m.

［例2］如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A(l,3),B(m,0),C(m+2,0),D(5,1),当四边形ABCD的周

长最小时,m的值为—.

【解答】将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位至I」D1(3,1),作D关于x轴的对称点］D"„

则点D"(3,-l),

设直线AD”的解析式为y=kx+b,带入A、D”两点坐标,解得k=-2,b=5.

，直线AD”的解析式为y=-2x+5,当y=0时,x=*即B6，0),m=j.

【针对练习3］

L如图，长为1的线段AB在x轴上移动C(0,l)、D(0,2),则AC+BD的最小值是当AC+BD取得最小值时A

点坐标为___,B点坐标为____.

2.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点。在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,A(3,0),

B(0,4),D为边OB的中点。

⑴若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

3.如图,AABC中,.AC=BC=2,^ACB=90°,线段MN在边AB上运动,MN=a,D是BC的中点,则

4.如图,已知A（3,l）与B（l,0）,PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=a（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时,

Q点坐标为（）

D.(l,l)

5.已知某护城河拐角如图所示,ACB是护城河外的一条小路,ACWUW^BCWUWh,^ACB=90°,AC=852米,

BC=652米，护城河宽52米，从A到B需经过MM，和NN两座桥（桥的方向均与河岸垂直）,那么应该将桥造

在何处，才能使从A到B的路程最短?在备用图中画出MM，和NN的位置,并求出A到B的最短路程。

h

备用图

【类型四点到直线垂线段最短】

问题：点P在锐角ZAOB内部，在OB边上求作一点D,在0A边上求作一点C,使PD+CD最小.

做法：作点P关于直线0B的对称点P1,向直线0A作垂线，与0B的交点为所求点D,垂足即为点C根据

“垂线段最短”，可知PD+CD的最小值为PC的长度.

【例1】如图在菱形ABCD中.AB=6,/B=60。,点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动

【解答】如图作DHXAC垂足为H与AG交于点E,：四边形ABCD是菱形,：AB=AD=CD=BC=6,：/B=60。,

.,.NADC=/B=60。，.二△ADC是等边三角形，：AG是中线，...NGAD=NGAC,...点H关于AG的对称点F在

AD上，此时EF+ED最小=DH,；.EF+DE的最小值=DH=3耳.

［例2］如图，矩形ABCD中,AD=5,AB=12点M在AC上.点N在AB上，则BM+MN的最小值为一.

【例3］如图，已知NAOB=30。,点M在/AOB的角平分线上（0M=6,,点E在射线0B上,点F在射线0A

上,则ME+EF的最小值是_____

【简答】作M关于OB的对称点M',过M作OA的垂线,交OB于E,交OA于F,此时ME+EF最小，：

OM'=OM=6,/M'OF=45°,.*.M'F=3V2.

【针对练习4]

L如图,在RtAABC中，NACB=90。,AC=6,BC=8,AD是/BAC的平分线。若P,Q分别是AD和AC上的动点,

贝!]PC+PQ的最小值是___.

2.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC边的中点,F是CD边上的一点,且DF=L若M、N分别是线段AD、

AE上的动点，则MN+MF的最小值为.

3.如图,菱形ABCD中,AB=2,乙4=120。,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK+QK最小值

为.

4.如图,在AABC中,AB=AC=6,ZA=120°,D为BC上一动点,E为AC上一动点,则AD+DE的最小值为.

A

5.如图,在矩形ABCD中,4B=2,BC=2百，点E是对角线AC上一点,过点E作EF〃BC,交AB于点F,则

BE+BF的最小值为一.

6.如图，边长为2月的等边AABC面积是2百,点D,E,F分别是边AC,AB,BC上的一个动点,则DE+DF的最小

值是一.

【类型五三动点将军饮马"问题】

【例1】已知如图，乙4=30o,BC=4,S"c=16,点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点则ADEF

的周长的最小值是—.

【简答】分别作E点关于AB、AC的对称点E；E”,连接EE”,分别交AB、AC于D、F两点,易得/

E'AE"=60o,AE'=AE'=AE=E'E",此时ADEF的周长=EE”=AE,

，当AE最小时,ADEF的周长最小。

过A作AHLBC于H,•..BC=4,SAABC=16,；.AH=8,是BC上的动点,.•.当AEJ_BC时,AE取得最小值，此

时AE=AH=8,ADEF的周长的最小值是8.

【例2］已知如图，AB=6,AC=3V2,ZX=45。,就所对的圆心角为90。,分别在能线段AB和AC上选取

点P、E、F,求PE+EF+FP的最小值.

【简答】设元所在圆的圆心为0,连接AP,0P,分别作出P关于AB的对称点为Pi,P关于AC的对称点为

P2,连接PiP2„交AB于点E,交AC于点F,连接PE、PF,

:易得NP1AP2=90°,•••PrP2=V2AP.

PE=P]E,PF=P2F,

：.PE+EF+PF=P1E+EF+P2F=PrP2=V2AP,

，当AP最小时,PrE+EF+P2尸可取得最小值，

vAP+OP>OA,

AP>OA-OP„即点P在OA上时,AP可取得最小值，

过点C作(CM14B于M,连接BC,易证.乙4BC=45°,乙4cB=90°,

易得/-ABO=90°,AO=y/AB2+BO2=V62+32=3V5

VC)P=0B=3,AP=OA-OP=345-3,PE+EF+PF=PrP2-<2AP=3V10-3a

/.PE+EF+PF的最小值为3V10-3V2.

【针对练习5]

1.在ATIBC中,AD是BC边上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分别是BC、AC边上的动点，则APQR周长

的最小值为—.

2.如图，已知AD//BC,Z.B=90。,"=60°,BC=2AD=4,点M为边BC的中点,点E、F在边AB、CD上运动,

点P在线段MC上运动，连接EF、EP、PF,则AEFP的周长最小值为一.

3.如图,扇形花坛AOB的半径为20m,"OB=45。.根据工程需要.现想在AB上选点P,在边OA上选点E,

在边OB上选点F,用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF,,使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心

悦目.为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE+EF+FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△

PE尸为等腰三角形.试求PE+EF+FP的值最小时的等腰△PEF的面积.（安装损耗忽略不计）

【类型六相对运动思想的运用】

【例1】直线1外有一点D,点D到直线1的距离为5,AABC中4ABe=90。,AB=6,tan^CAB=1，边AB在

直线1上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为一.

【简答】要使四边形ABCD周长最小，只需AD+CD最小，将△ABC看做不动，点D相对于AC在直线m上

运动，作C关于m的对称点C,连接AC,则AD+CD的最小值为AC'=10,则四边形ABCD周长的最小值为

AC'+AB+BC=18.

［例2］如图,在RT△ACB^p,/.BCA=90。，乙4=30°,AC=遮，点D在线段AB上运动，点E在线段AB

的延长线上,且1BE=AD,则CE+CD的最小值是___.

【简答】：；.乙4=30°,AC=V3,.-.AB=2,BE=AD,DE=AB=2,将DE看做不动，点C相对于DE在

直线1上运动，作E关于1的对称点E',连接DE,则CE+CD的最小值为DE，的长度,易求得EE'=

当DE=2,：.DE'=苧；.CE+CD)的最小值是乎，

【针对练习6]

1.如图，在A4BC中,AB=AC=5,BC=6,点D为BC的中点,E、F分别为BC边上两个动点,且DE=FC,则

AAEF周长的最小值为.AAEF

2.如图，已知sin/MON=刍点A在边OM上,OA=5,B、C为边ON上的两个动点，且BC=2,则△力BC周长的最

小值为.

3.已知菱形ABCD中，NABC=60。,对角线AC、BD相较于点O,点E、F是对角线BD上的两个动点，且满足

BE=OF,连接CE、CF,若CE+CF的值为7,则AC长的最大值为.

4.如图,在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),B(0,1),C(0,4),将线段AB左右平移.在平移过程中|4C-的

最大值是—,最小值是一

y

Aox

5.在平面直角坐标系中，直线1：y=-x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，在直线上方作RT△2BC,使得

乙4cB=90。,且第=今现将△4BC沿着直线1滑动，贝！］(OB+OC的最小值为.

【思维拓展提升】

其实上面的这种思维方法适用于大多数多动点联动问题，对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们都可

以采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样就减少了动点的个数，使得问题简单

化。(原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息)如下面这道天津中考题的最后一问。

【例1】在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形，点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(5,0),点B的坐标为

(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.

(1)如图1,当点D落在BC边上时,求点D的坐标.

⑵如图2,当点D落在线段BE上时,连接AB,AD与BC交于点H.

①求证:AADB四/XACIB;

②求点H的坐标.

(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为AKDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可).

【简答】(1)VA(5,0),B(0,3),.-.OA=5,OB=3,

:四边形AOBC是矩形，；.AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=ZC=90°,

:矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得至U,，AD=AO=5,

在RtAADC中CD=YAD2+AC2=4,，BD=BC-CD=1,；.D(1,3).

⑵①由四边形ADEF是矩形.得到NADE=90。，：点D在线段BE上，ZADB=90°,

由(1)可知,AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,

/.RtAADB^RtAAOB.

②如图b中，由△ADBgZXAOB,得至[]NBAD=NBAO,

又在矩形AOBC中,OA/7BC,/.ZCBA=ZOAB,ZBAD=ZCBA,

；.BH=AH,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m,

22

在RtAAHC中，「力"2=HC2+...m2=3+(5-m),

m=y,•1.BH=y,H(£’3)

⑶要求AKDE面积的取值范围，我们只要考虑K、D、E三个点的运动情况即可，由于D、E两个点都在运

动，AKDE面积的取值范围不好确定。

因此我们用相对运动的思想，固定D、E两点不动，让它们在初始位置，即0、B处，让K点绕着A点运动

起来，运动轨迹为圆A如图，当K位于冷处时，AKBO,也就是△KDE的面积最小，位于七处时面积最大。

易求得已空wsw任巨场，

44

【类型七先找“河”,再“饮马”】

为了总结的完整性，这部分内容放在了这里，建议大家先学习后面的压轴模型“主从联动模型”，学习完以后再

来看这一类型，会更容易理解。

【例1】如图，已知正方形ABCD的边长为3,点E是AB边上的一动点,连接ED,将ED绕点E顺时针旋

转90。到EF,连接DF、CF,则DF+CF的最小值是____.

【简答】由主从联动思想可知：点E和点F分别为主动点和从动点，点F可看作是点E绕着点D逆时针旋转

45。再放大鱼倍得到的，点E的轨迹为线段AB,将其绕着点D逆时针旋转45。再放大四倍就得到了F的轨

迹，如图，点F的轨迹就是线段BG.

这就转化为基本的两定一动将军饮马问题，作点C关于BG的对称点C,DF+CF的最小值就是DC的长，易

得DC=3V5.

【例2]如图，AABC是边长为4的等边三角形，点D在BC边上，以AD为边作等边三角形ADE,F为AC

的中点，则AE+FE的最小值为

【简答】将线段BC绕点A逆时针旋转60。得到线段CG,则点E在CG上运动，作A关于CG的对称点A1,

连接A'F,则AE+FE=A'E+FE>4凡过F作FH_LBC于H,则FH=W,AH=5,二AF=2V7,AE+FE的