2024年中考数学知识 三角形(解析版)(全国版)

知识必备06三角形（公式、定理、结论图表）

|全等三角形|一

「、知识梳理;

考点一、三角形的边角关系

三角形任意两边之和大于第三边.

三角形任意两边的之差小于第三边.

三角形的内角和为180°.

典例1:（2022•毕节市）如果一个三角形的两边长分别为3,7,则第三边的长可以是（）

A.3B.4C.7D.10

【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断.

【解答】解：设第三边为x,则4cx<10,

所以符合条件的整数为7,

故选：C

【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题,

中考常考题型.

典例2：（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。.

已知：如图，△48C,求证：AA+AB+AC=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点/作。£〃BC.证明：如图，过点C作CD〃45.

A

【分析】方法一：由平行线的性质得：AB=ABAD,ZC=ACAE,再由平角的定义可得4A乙8/C+

ACAE=180°,从而可求解；

方法二：由平行线的性质得：AA=AACD,ZS+Z.5C£>=180°,从而可求解.

［解答】证明：方法一：「DE〃夕C,

AB=ABAD,ZC=ACAE,

•­-ABAD+ABAC+ACAE=\?,O°,

AB+ABAC+AC=180°；

方法二：■.-CD//AB,

AA=AACD,/LB+ABCD=ISQ°,

AB+AACB+AA=180°.

【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.

考点二、等腰三角形

1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性质：

⑴具有三角形的一切性质.

（2）两底角相等（等边对等角）

⑶顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合（三线合一）

⑷等边三角形的各角都相等，且都等于60°.

3.判定:

⑴如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）；

⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；

⑶有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

要点诠释：

⑴腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；

（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.

典例3：（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若

等腰△N3C是“倍长三角形"，底边的长为3,则腰N3的长为6.

【分析】由等腰△48C是“倍长三角形"，可知=或2C=24B,若4B=2BC=6,可得48的长

为6；若BC=3=2”，因16+1.5=3,故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案.

【解答】解：•.•等腰A/BC是“倍长三角形”，

:.AB=2BC或BC=2AB,

若4B=2BC=6,则△A8C三边分别是6,6,3,符合题意，

.,.腰的长为6；

若30=3=2/3,贝1]/3=1.5,△/2C三边分另11是1.5,1.5,3,

；16+1.5=3,

・•.此时不能构成三角形，这种情况不存在；

综上所述，腰48的长是6,

故答案为：6.

【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边

的和大于第三边.

典例4：(2022•温州)如图，3。是△NBC的角平分线，DE//BC,交48于点E.

(1)求证：乙EBD=乙EDB.

(2)当=时，请判断与的大小关系，并说明理由.

【分析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

(2)利用平行线的性质可得4AAED,则AD=/E,从而有CD=BE,由(1)得，AEBD=AEDB,

可知BE=。及等量代换即可.

【解答】(1)证明：•.•8。是△/BC的角平分线，

2CBD=乙EBD,

■.■DE//BC,

：.乙CBD=AEDB,

乙EBD=AEDB.

(2)解：CD=ED,理由如下：

■：AB=AC,

ZC=乙ABC,

-：DE//BC,

AADE=AC,AAED=AABC,

/_ADE=乙AED,

.t.AD=AE,

CD=BE,

由（1）得，乙EBD=乙EDB,

・，.BE=DE,

：,CD=ED.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握

平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键.

典例5：（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边3C、NC上的点，4D与3E相交

于点P,若BD=CE=2,贝I]△NAP的周长为_42+18/7_

—7-

【分析】根据&4s证得出乙/尸3=120。，在C2上取一点尸使。尸=CE=2,则2尸=

BC-CF=4,证△APB"BFE,根据比例关系设AP=x,则/尸=2%,作延长线于"利用勾

股定理列方程求解即可得出BP和AP的长.

【解答】解：^ABC是等边三角形，

：.AB=BC,乙ABD=AC=60°,

在和△BCE中，

'AB=BC

<ZABD=ZC

LBD=CE

△ABgdBCE（SAS）,

ABAD=乙CBE,

lAPE=AABP+zLBAD=乙ABP+乙CBE=乙ABD=60°,

AAPB=nO°,

在C3上取一点/使CF=CE=2,则5/=5C-C尸=4,

AC=60°,

.・.△CM是等边三角形，

ABFE=120°,

即44尸5=乙BFE,

XAPB—MBFE,

.APBF_4_9

BPEF2

设BP=x,贝Ij/P=2x,

作延长线于H,

VABPD=AAPE=60°,

；."BH=30°,

:.PH=上,877=叵*，

22

.AH=AP+PH=2x+—=—x,

22

在RtAASH中，AH2+BH2=AB2,

即（区）2+（）2=62,

22

解得工=旦反或-旦叵（舍去），

77

：.AP=12^,BP=^J-,

77

AABP的周长为AB+AP+BP=6+⑶'年+&万=6+jW7_=42+18行,

7777

故答案为：42+18近

7

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形

等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键.

考点三、直角三角形

L直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性质:

⑴直角三角形中两锐角互余.

⑵直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.

⑶在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.

⑷勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

⑸勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

⑹直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

3.判定：

⑴有两内角互余的三角形是直角三角形.

⑵一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.

⑶如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.

典例6:（2022•绍兴）如图，把一块三角板/5C的直角顶点3放在直线所上，ZC=30°,AC//EF,则4

1=（）

A.30°B.45°C.60°D,75°

【分析】根据平行线的性质，可以得到乙匿尸的度数，再根据aN2C=90°,可以得到乙1的度数.

【解答】解：.••/C〃跖，ZC=30°,

ZC=Z.C5F=30°,

AABC=9Q°,

...41=180°-AABC-ZC5F=180°-90°-30°=60°,

故选：C.

【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质

解答.

典例7：（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB=AD,乙2+乙。=180°,点E,尸分别在

BC,CD±,若乙BAD=2LE4F,贝U昉=8£+。尸.

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形/Ben已知c〃=C3=io（）〃?，

AD=60°,AABC=120°,乙BCD=150°,道路4D,上分别有景点M,N,且。〃=100加，BN

=50（我-1）加，若在N之间修一条直路，则路线〃—N的长比路线*N-N的长少370m

（结果取整数，参考数据：V3=1.7）.

图①图②

【分析】解法一：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明4G=90°,分

别计算4D,CG,AG,3G的长，由线段的和与差可得和ZN的长，最后由勾股定理可得的长,

计算AM+AN-A/N可得答案.

解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得的长，从而得结论.

【解答】解：解法一：如图，延长。C45交于点G,过点N作于

...乙。=60。,AABC=120°,ABCD=150°,

AAA=360°-60°-120°-150°=30°,

'.AG=90°,

..AD=2DG,

RtZ\CG5中，ABCG=180°-150°=30°,

:.BG=^BC=50,CG=50«,

：.DG=CD+CG=100+50煦，

：.AD=IDG=200+100VS-NG=«DG=150+100我,

•:DM=100,

：.AM=AD-DM=200+100V3-100=100+100愿,

■.-BG=50,BN=50（正-1）,

：.AN=AG-BG-BN=150+1OO-v/S-50-50(A/3-1)=150+50遍

RtA4NH中，AA=30°,

:.NH=^AN=15+2542,/〃=%A7/=75愿+75,

由勾股定理得：MN=VNH2+MH2=V(75+25V3)2+(25V3+25)2=50(^3+1),

：.AM+AN-MN=1OO+1OOV3+15O+5OVS-50(«+l)=200+100^3^370(m).

答：路线M—N的长比路线M—A—N的长少370m.

解法二：如图，延长。C,A8交于点G,连接CN,CM,则Z.G=90°,

：CD=DM,乙。=60°,

.•.△8CM■是等边三角形，

ADCM=60°,

由解法一可知：CG=50«,GN=BG+BN=50+50(Vs-1)=50我，

ACGN是等腰直角三角形，

AGCN=45°,

:.乙BCN=45°-30°=15°,

AMCN=150°-60°-15°=75°=工乙BCD,

2

由【阅读材料】的结论得：MN=DM+BN=100+50(禽-1)=50爪+50,

■：AM+AN-MN=100+100A/3+150+50V3-50(Vs+l)=200+100%#370(m).

答：路线M—N的长比路线MH的长少370m.

故答案为：370.

【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识与方法,

解题的关键是作出所需要的辅助线，构造含30°的直角三角形，再利用线段的和与差进行计算即可.

典例8：(2022•杭州)如图，在RtA4C3中，乙NC3=90。，点"为边的中点，点£在线段/四上,

斯_L/C于点尸，连接CM,CE.已知4/=50。,乙ACE=30：

(1)求证：CE=CM.

(2)若42=4,求线段FC的长.

【分析】(1)根据直角三角形的性质可得“C=M4=M2,根据外角的性质可得乙腔。=AA+AACE,

AEMC=AB+AMCB,根据等角对等边即可得证；

(2)根据C£=CN先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长.

【解答】(1)证明：,.2/C8=90°,点”为边的中点，

：.MC=MA=MB,

AMCA=乙A,乙MCB=乙B,

,.24=50。，

/.AMCA=50°,AMCB=AB=40°,

:.乙EMC=LMCB+乙B=80°,

••,乙ACE=30°,

/.AMEC=AA+AACE=80°,

乙MEC=乙EMC,

：.CE=CM；

(2)解：-.-AB=4,

：.CE=CM=^-AB=2,

2

■.■EFLAC,AACE=30°,

.-.FC=C£«cos30°=VS.

【点评】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运

用直角三角形的性质是解题的关键.

考点四、全等三角形基本概念

1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2.全等三角形的性质

(1)全等三角形对应边相等；

(2)全等三角形对应角相等.

要点诠释：

全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.

3.全等三角形的判定方法

(1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).

典例9:(2022•铜仁市)如图，点。在AD上，ABLBD,ED1BD,ACLCE,AB=CD.求证：NABg\

【分析】根据一线三垂直模型利用445证明即可.

【解答】证明：-.-ABLBD,EDVBD,AC1,CE,

AB=AD=/LACE=90°,

:.乙DCE+乙DEC=90°,乙BCA+乙DCE=9Q°,

乙BCA=2DEC,

在和△COE中，

，ZBCA=ZDEC

-ZB=ZD,

,AB=CD

•••AABC^/XCDE(AAS).

【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键.

考点五、灵活运用三角形全等定理

三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的

角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来.

应用三角形全等的判别方法注意以下几点：

1.条件充足时直接应用判定定理

要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情

况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条

件即可证明两个三角形全等.

2.条件不足，会增加条件用判定定理

要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三

角形全等的条件.解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论

成立的条件，从而得出答案.

3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理

要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或

角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.

常见的几种辅助线添加：

①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；

②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变

换中的“旋转”；

③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的

“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；

④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转

折叠”；

⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之

与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、

分之类的题目.

典例10：(2022•黄石)如图，在△N3C和△/£>£中，AB=AC,AD=AE,2BAC=2DAE=90°,且点。

在线段上，连CE.

(1)求证：△ABD*ACE；

(2)若乙区4c=60°,求乙CEO的度数.

C

D

A

【分析】(1)可利用SNS证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得44CE=4/AD,利用等腰直角三角形的性质可求得乙NCE=乙

AED=45°,再根据三角形的内角和定理可求解4/£C的度数，进而可求可求解

【解答】(1)证明：［,△A4c=乙八4£=90°,

ABAC-ACAD=/.DAE-ACAD,即乙

在△48。和△/(?£1中，

，AB=AC

•NBAD=/CAE，

,AD=AE

/\ABD"4ACE(SAS\

(2)解：•••/XABD^/XACE,

/_ACE=乙ABD,

•••△NBC和都是等腰直角三角形，

AACE=AABD=AAED=45°,

VAEAC=60°,

AAEC=180°-AACE-AEAC=180°-45°-60°=75°,

ZCED=AAEC-AAED=75°-45°=30°.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握

全等三角形的判定条件是解题的关键.

典例11:(2022•百色)校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型

画如图的四边形48cD,其中N2=CD=2米，4D=2C=3米，乙2=30。.

(1)求证：

(2)求草坪造型的面积.

【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；

（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得

出答案.

［解答］（1）证明：在△45C和△CD/中，

'AB=DC

,■,<AC=AC.

BC=DA

•••AABC^/XCDA（SSS）；

(2)解：过点/作AEL5C于点£,

,•・48=2米，43=30°,

：.AE=1米，

・•・S»BC=L3X1=色(平方米)，

22

则S^CDA=春（平方米）,

草坪造型的面积为：2x3=3（平方米）.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定

方法是解题关键.

考点六、角的平分线定理

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分心ADB,点P是CD上一点，且PELAD于点E,PFLBD于点F,贝UPE=PF.

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,PE=PF,则PD平分心ADB

典例12：已知，如图，CE±AB,BD±ACXB=AC,BF=CF.求证：AF为ZBAC的平分线.

【答案与解析】

证明：•.•CE1AB,BD1AC（已