抛物线 学案-2025届高三数学一轮复习（学生版）

基础课48抛物线

考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养

抛物线的定义2023年天津卷T12逻辑推理

了解★★☆

和标准方程2019年全国H卷（理）T8数学运算

2023年新高考H卷T10逻辑推理

抛物线的几何

了解2023年全国乙卷（理）T13★★★数学运算

性质

2023年全国乙卷（文）T13直观想象

从近几年高考的情况来看，抛物线一直是高考命题的热点，选择

题、填空题的复习要关注抛物线的定义、焦点弦的性质在解题中

命题分析预测的应用;解答题的复习要关注设而不求以及根与系数的关系在解

题中的应用.另外本基础课内容易设置多选题，所以在备考中，

要注意多选题的训练，做到全面高效的复习

【基础知识・诊断】

i/H夯实基础'

一、抛物线的定义

1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）的距离①相等的

点的轨迹.

2.焦点：②点F叫作抛物线的焦点.

3.准线：③直线1叫作抛物线的准线.

【提醒】定义中易忽视“1不经过点F”这一条件,当1经过点F时，动点的轨迹是

过定点且与定直线垂直的直线.

二、抛物线的标准方程和几何性质

y2=-2px（p>0

标准方程y2=2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）

b

图形

顶点O@(0,0)

对称轴⑤X轴⑥y轴

隹八'、占八、、F。。）F/，°)F（。，5）F（0,与

离心率e=©_1_

准线

X—2X=2y=-2y=2

方程

x>0,x<0,y>0,y<0,

范围

y£Ry£Rx£Rx£R

开口方向向右向左向上向下

焦半径

（其中P（xo,

|PF|=

yo）|PF|=®XO±2_|PF|=©-xp+g|PF|=@^O±2

-yo+l

为抛物线上

任一点）

•知识,一拓展・

抛物线的几个常用结论

设AB是过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则

1.以|AB|为直径的圆M与准线相切；

2.以|AF|为直径的圆C与y轴相切；

3.以|BF|为直径的圆D与y轴相切；

4.圆C与圆D外切，圆C与圆D均与圆M内切.

一AM-诊断自制心」

题组❶走出误区

L判一判.（对的打’7”,错的打“x”）

⑴平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.

⑵方程y=ax2(a/))表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是厚0),

准线方程是x=?()

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()

(4)AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F6，0)的弦，若A(xi,yi),B(x2,yi),

则xiX2=(，yiy2=-p2,弦长|AB|=xi+x2+p.()

2.(易错题)已知P为抛物线x2=12y上的一个动点，Q为圆(x-4>+y2=l上一个动

点，则点P到点Q的距离与点P到x轴的距离之和的最小值为..

【易错点】本题在将点P到x轴的距离转化为点P到抛物线焦点的距离时容易

出现错误.

题组❷走进教材

3.(多选题)(人教A版选修①P135•思考改编)过点M(2,-2@的抛物线的标准方程

为().

A.y2=4xB.x2=-4yC.x2=-V2yD.y2=-V2x

4.(苏教版选修①P104.T5改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,

则点M的纵坐标是.

题组❸走向高考

5.(2023•北京卷)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3

的距离为5,则|MF|=().

A.7B.6C.5D.4

【考点聚焦・突破】

考广一抛物线的定义及应用

L若动点M(x,y)满足方程5+(y-2,=|3x+4y+12],则点M的轨迹是().

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

2.(2023•全国乙卷)已知A(l,V5)在抛物线C：y2=2px上，则点A到抛物线C的

准线的距离为.

3.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2),则|PB|+|PF|

的最小值为

。方法总结口口口

抛物线定义应用的三种类型及解题策略

轨迹用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否为

问题抛物线

距离灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转

问题化

将抛物线上的点到焦点(准线)的距离转化为该点到准线(焦点)的距离，

最值

构造出“两点之间线段最短”或利用“与直线上所有点的连线中，垂线段

问题

最短''求解问题

【注意】利用定义时一定要验证“定点”是否在“定直线”上Q。o

考广二抛物线的标准方程

典例1求分别满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1)顶点在原点，准线方程为y=4；

(2)顶点在原点，且过点G3,2)；

(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上；

(4)顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5.

。方法总结口口口

求抛物线标准方程的两种方法

定根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦

义

法

点位置求出抛物线方程

待若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一

定

系设为y2=ax(a/)),a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程

数

法

可设为x2=ay(a/)),这样减少了不必要的讨论

。。c

针对训练

1.(2024•新疆模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线x2-y2=p的一个焦点,

则此抛物线的方程为().

A.y2=32xB.y2=16x

C.y2=8xD.y2=4x

2.（2024.浙江模拟）写出一个既与直线x+l=0相切，又和圆x2+y2-4x+3=0外切的

圆的圆心坐标：.

三抛物线的简单几何性质

考广

典例21（1）（多选题）（2023•新高考n卷）设O为坐标原点，直线y=-6（x-l）过抛物线

C：y2=2px（p>0）的焦点，且与C交于M,N两点，1为C的准线，则（）.

A.p=2

B.|MN|=|

C.以MN为直径的圆与1相切

D.Z1OMN为等腰三角形

（2）（多选题）（2022.新高考I卷）已知O为坐标原点，点A（l,1）在抛物线C：

x2=2py（p>0）±,过点B（0,-1）的直线交C于P,Q两点，则（）.

A.C的准线方程为y=-lB.直线AB与C相切

C.|OP||OQ|>|OA|2D.|BP||BQ|>|BA|2

。方法总结口口口

抛物线性质的应用技巧

1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方

程；

2.要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线

的问题，注意抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离的转化，关注图中的直角

梯形（直角三角形）.。。。