2024高三数学押题预测卷1 （解析版）（新高考）

高三数学押题预测仿真卷01

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知样本数据为占、了2、鼻、乙、X5、/、X”去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据

相比，下列数字特征一定不变的是（）

A.极差B.平均数C.中位数D.方差

【答案】C

【解析】样本数据为了］、巧、“3、”4、尤5、、X］，

去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，

假设从小到大就是从西到尤7,极差可能变化，故A错；

平均数为1=%+%+B+毛+%,可能变，故B错；

中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；

方差为52=1（9-元）2+（尤3-下）2+（无4-可2+伍-元）2+（尤6-元）2］，有可能变，故D错.故选：C

2.已知机=（3,6）,n=（-3,A）,若机+〃,〃=120°,则2=（）

A.B.一2•石C.-3D.-73

【答案】D

【解析】因为根=(3,6),n=(-3,2),所以m+〃=(0,6+4),

/\(加+町力62+221

所以cos(M+〃,〃)=-------E=------>=--

、/1m+Az•n|Z+6|-V9+22

所以6%+22<。，则-6v2v0,

（6+2）241「

故（6+彳函+TE=N解得"-6（正值舍去）.故选：D

3.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”.若％5+%H0=l，则$2024=（）

A.1012B.1013C.2024D.2025

【答案】A

【解析】由等差数列的通项公式可得:al5+%0]o=2q+2023d=1,且〃i+^2024=2%+2023d=1,

2024x(q+%024)2024x1.

所以邑024----------=1012.故选：A.

22

4.设。，夕为不同的平面，a,b,。为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）

A.若e_L#,aua,acf3=c,a±c,则4，尸

B.若alip,aua,bu。,则allb

C.若a//a,bua,贝与人异面

D.若&_L/,aua,bufi,则。与b相交

【答案】A

【解析】对于A,根据面面垂直的性质定理可得A正确；

对于B,若a〃6，aua,bu0,则a//B,或。与匕异面，故B错误；

对于C,若a//a,bua,贝!］。/力，或。与人异面，故C错误；

对于D,若。_L/,aua,bu0,则a//Z>,或。与6异面，或。与人相交，故D错误.故选：A.

5.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的

能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3的点处，则小蜜蜂不同

的飞行方式有（）

A.22B.28C.26D.24

【答案】D

【解析】经过4次飞行，停在位于数轴上实数3的点处,

设向右飞行1个单位为事件A,向右飞行2个单位为事件3,

情况一，A45入满足要求，此时只需安排好民司，故不同的飞行方式为A；=12种,

情况二，出弦A满足要求，此时只需安排好瓦A,故不同的飞行方式为A：=12种,

综上，小蜜蜂不同的飞行方式有12+12=24种.故选：D

6.在AABC中，已知ZABC=2Nfi4C,3BC=2AB,BD1AC,。为垂足，CD=2>/10,则3Z)=()

A.3娓B.6^6C.2MD.4M

【答案】B

【解析】设N54C=c，可得/4BC=2a,ZACB=it-3a,

BCAB_BC

由正弦定理得即

sin(兀一3a)sinasin3asina

因为33c=2AB,所以sin3a=3sina,

又因为sin3a=sin(cr+2a)=sin2acosa+cos2asina

=2sin二cosacosa+(1-2siMa)sin。=3sin。-4sin3a,

所以2(3sina-4sii?①=3sina,整理得3sina-8sin3a=0,

IT

因为0<a<5，所以Ovsinorvl,所以3-8sin2c=0,

即sin2a=],解得sintz=Y^,贝!Jsin3tz=，^x[3-4(，^)2]=氧S,即sinNACB=」^5

844488

因为NACB为锐角，cosZACB=V1-sin2ZACB=—,

8

所以tan/ACB=^^=亚，

cosZACB5

在直角二瓦心中，tan/AC8=器，所以BD=CD.tanNACB=2Mx¥^=6#.故选：B.

7.已知cc^a—cos?/=—2,sin(。一/)=；,贝IJCOS(2Q+24)=(

)

772

A.——B.—C.--D.

9999

【答案】B

【解析】因为cos%_cos2尸=l+；s2a1+COS2;01cc小

--------....-=—(zcos2a-coszp)=-sin(a+尸)sin(a—月)=

"12?

得至！Jsin（a+尸）sin（a-£）=g,又sin（a-〃）=；,所以sin（a+Q）=g,

、97

所以cos（z2a+2月）=1—2sin2（a+月）=1—,故选：B.

2

8.已知点尸（%,为）在双曲线/一斗=10>0）上，过点尸作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为A,3,若与〉1,

b

21

PAPB=—,贝心()

32

A.6B.2C.布D.20

【答案】C

【解析】如图，直线上4的方程为:

...x+by

=4(j。)，解得.00

b2+l

由，

bx+b1y'

y=bxQ0

y=b^+1

直线PB的方程为：y-%=：(x-Xo),，

b

y=-bx

1_-一如

X--------Z-------------

b2+l-bx+b2y

解得00

2b2+l-

-bx0+by0,

y一方+i

bbx

Jyo-~o如-%]座/-蛆-匕飞心0-%

PA2

一1z?+i+i7一〔从+i'^+1

b^-b2yl!yj-b24b2-b2b-

故尸4网=记，解得：b=V7.故选：C.

gl)2,2+1)2(/+―

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/■(x)=3sinWx+°)((y>O,[a<7r)的部分图象如图所示，则()

A.8=3B.t

77rIT

c./(X)的图象关于点对称D.在-石■，-1上单调递增

【答案】ACD

【解析】设“X）的最小正周期为T,由图象可得到；T=谒-[弋）=《故7=个，

NJLNyHryJD

兀兀

因为①>0,所以」2=:2，解得口=3,故A正确；

①3

将卜：,3）代入〃x）=3sin（3x+0）,得3sin3x（_：）+0=3,

则一年+0=^+2E（左£Z），解得"=苧+2E（左eZ）,

因为烟<无，所以当上=-1时，所以"x）=3si“3x-岑）故B错误；

因为/Qf）=3sin]3x„[3sin7i=O,所以〃x）的图象关于点借对对称，故C正确；

当xe时，3x-^e,因为y=3sinx在上单调递增，

I乙乙乙乙乙

77r7T

所以〃x）在-石■，-]上单调递增，故D正确.故选：ACD

10.已知复数z,w,则下列说法正确的是（）

A.若2=卬，贝丘=w

B.若z=3+i,w=-2i,则z+w在复平面内对应的点在第二象限

C.若z?=1,则z=z

D.若卜-2|=1,复数z在复平面内对应的点为Z,则直线OZ（。为原点）斜率的取值范围为Wg

【答案】ACD

【解析】对于A,设2=々+历（a/eR）,贝！Jz=a-历，若z=w，则w=a+Z?i，

则狡=1一历，所以z=w，故A正确；

对于B,若z=3+i,vv=-2i,贝ljz+w=3-i,所以z+w在复平面内对应的点

在第四象限，故B错误；

对于C,设z=a+历（a,bwR）,由z2=l，可得（/一/）+2。历=1,

则4=±1,〃=。，即2=±1,则Z=L故C正确；

对于D,设z=x+W（a,Z?£R）,贝|Jz-2=（九一2）+yi,若|z-2|=1,

则（x-2）2+产=1,即点Z在以（2,0）为圆心，1为半径的圆上，

设过原点与圆相切的直线为V=丘，即"-y=0,

\2k\n

则圆心到切线的距离d==1，解得左=±与，

所以直线OZ(。为原点)斜率的取值范围为一冬与,故D正确.故选：ACD

11.已知定义在R上的函数/(x),g(x),其导函数分别为

f'(x),g'(x),f(1-x)^6-g'(1-x),f{y-x)-g'[y+x)^6,且g(x)+g(—x)=4,贝lj()

A.g'(x)的图象关于点(0,1)中心对称B.g'(x+4)=，(x)

c.r(6)=r(2)D./(1)+/(3)=12

【答案】BCD

【解析】由题意可得伉]_J=6+；；1+/两式相减可得g'(l+x)=-g'(I)①，

所以g'(x)的图象关于点(L0)中心对称，A错误；

由g(x)+g(f)=4②，②式两边对无求导可得g'(x)=g'(-x),可知g'(x)是偶函数，

以1+x替换①中的x可得g，(2+x)=-g，(f)=—g，(x),

可得g〈4+x)T(2+x)=g3,所以g'(x)是周期为4的周期函数,B正确；

因为y(x)=6-g'(x),可知“X)也是周期为4的周期函数，即y(x+4)=/(x),

两边求导可得求(x+4)=((x),所以广⑹=广(2),C正确；

因为短(l+x)=—g"—x),令尤=0,则gp)=—g'⑴，即g'⑴=0,

又因为g'(x)是偶函数,所以g'(—l)=g'(l)=0,

又因为g'(x)是周期为4的周期函数，则g")=g'(-l)=0,

由〃x)=6—g'(x)可得?尚=6-漏=6,所以/⑴+"3)=12,D正确.故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知集合A=卜卜=&+VT金},8=（yy=］6—卜那么4（Ac3）=

【答案】{外刊

【解析】要使得y=JI+FI有意义，贝U：；：：>0，解得0WX41，即集合A={MO4X41},

1fl_J］-X土0

若丁1k有意义,则7,XVI且XW0,

l-yjl-xl-x>0

而Vi二且Vnwi,所以］_行=］且］

所以3={y|y<0或yWl},从而Ac3={l},々（Ac8）={x|xwl}.

13.1/+>+：+（］展开式中的常数项为.

【答案】630

【解析】p+y+1+|j表示7个卜+y+：+；|相乘，

则常数项，应为1个/,2个工，2个y,2个上相乘,

xy

所以卜+了+^+；|展开式中的常数项为C；C；C：C；=630.

14.已知点/在抛物线「：/=分上运动，过点加的两直线44与圆C：Y+（y-3）2=4相切，切点分别为

A,B,当|4即|环?|取最小值时，直线A3的方程为.

［答案］±x-y+l=0

【解析】如图，设叫孙才,设AB与MC交于〃，

由题意知A8AMC,AC=2,

RtACM中，|AH|-|MC|=|AC|-|M4|=2\MA\=2,CM。-4,

［fn\AB\=2\AH\,贝ij|阴.|的=2网.|MC|=4y1CM2-4,

当|CN|最小时，|旗卜即。取最小值.

\2

当且仅当其=4时，'（其-4『+8取得最小值，此时Af（±2,l）,|C0|=20,|阿=2,

则以M为圆心，|肱4|为半径的圆的方程为：（x.2y+（y-lf=4,

与圆C:/+（y-3）2=4的方程相减，可得A3的直线方程为：y=±x+l,即土x-y+l=O,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知函数=+or-lnx,aeR.

（1）若函数y=〃x）-在（0,2］上单调递减，求a的取值范围:

（2）若直线丫=前与〃x）的图象相切，求a的值.

【答案】⑴卜8,2亚］;（2）e-1

【解析】(1)记>=〃*)-2%2=ar-lnx-x2=g(x),g(x)在(0,2］上单调递减,

/（力=〃—:—2x（。对\/%£（0,可恒成立，

<2<f2x+—j,而2%+工22、2x。=2加,

IX）minXXX

当且仅当2x=’即％=也时，等号成立，

x2

所以当x=YZ时，2x+^取得最小值为20.

2%

a<2A/2，所以a的取值范围为20］.

（2）设直线>与〃尤）的图象相切于P伍,片+6o-lnxo）,

17c1

/'(%)=2x+a-一,k=2XQ+〃---

x

2%+ci-----—e,(J)1

由题意可知XQa=eH------2XQ

xQ

+ax0-Inx0=ex0，②

代入②=>x；+e+-----2x0x0-lnx0=ex0,

l尤。)

/.l-Xg-lnx0=0,左边式子关于％单调递减且%=1时，左边=。,「./=1

Q=e+1—2=e—1.

16.(15分)

如图，已知ABCD为等腰梯形，点E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面ABCD上平面BCE,M为CE的

中点，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

My

----------/

(1)求证：£>"//平面ABE;

(2)求平面ABE与平面DCE所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；⑵晅.

65

【解析】(1)取BE的中点N,连接AN,MN,则MN〃3c且MN=」BC,

2

又:ADIIBC豆AD=gBC,:.MN//AD且MN=AD.

ANDM为平行四边形，:.DMIIAN.

又DM<z平面ABE,4Vu平面ABE,二£)/0〃平面ABE.

(2)取AD中点为尸，连接OF,因为ASCD为等腰梯形，所以OWJ_3C,

又平面ABCD2平面8CE,平面ABCDc平面3CE=3C,Obu平面ABCD,

所以OF，平面BCE,

过点。作直线BC的垂线交BC于点G,

分别以。G,OC,。尸所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

BC为直径，：.BEM^BC,:.ZBCE=30°,NBOE=60°,ZEOG=30°.

2

在等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=2,BC=4,所以。尸=卡2_[三=73,

E(V3,-1,O),C(0,2,0),0(0,1,A/3),B(0-2,0),A(0,T,®

:.CE=(>/3,-3,0),CD=(O,-1,6),BE=(>/3,1,0),84=(0,1,6).

设平面DCE的法向量为％=(X,NZ),

m-CE=0f\f3x-3y=0

则，二厂，

m-CD=0[-y+j3z=0

令》=豆贝!Jx=3,z=l.m=(3,^3,1),

设平面ME的法向量为〃=(a,仇c),

n-BE=A/3G+b=0r-

则r,取”=(1,—百,1),

n-BA=v3c+b=0

设平面ABE与平面CDE所成的角为a,

-765

贝ijcosa=

•••平面ABE与平面CDE所成角的余弦值为遐

65

17.(15分)

在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送。和1中的某个数字，由于随机

因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为a（0<«<1）,

1-a；发送信号1时，接收为1和。的概率分别为尸（0<尸<1）」-£.假设每次信号的传输相互独立.

（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为了（«）,求的最

小值；

（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为大,々，三，七，记其中连续出现

2

相同数字的次数的最大值为随机变量X（再，尤2,不，匕中任意相邻的数字均不相同时，令X=1）,若£=4，

求x的分布列和数学期望.

1OAQ

【答案】⑴"⑵分布列见解析；期望为的

【解析】（1）由题可知/（夕）="+（1一々）3=3夕2一3夕+1=3［々一（［4-1,

因为0<a<l,所以当&=1■时，的最小值为;.

（2）由题设知，X的可能取值为1,2,3,4.

①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010.

mD/v212112128

因止匕，P（X=1）=—X一X—X----1----X—X—X—=—,

,,3333333381

②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为

0010,或0100,或1101,或1011,或1001,或0110,或1100,或0011.

因此,（）（|1212c1i2212

PX=2=x—x—x2+x—x—x2+

I333।3303

③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110,或0H1,或0001,或1000.

因此，P（X=3）=&i32.12

x—x2H—x

333

④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000,或1111.

4

17

因此，P（X=4）=（1+

81

所以X的分布列为

X1234

842017

P

8198181

QOOf）17OHQ

因止匕，X的数学期望E（X）=lx2+2xJ+3x券+4x"=答.

olo818181

18.（17分）

已知椭圆C:5■+r=：l（a>b>0）的离心率为¥，直线/过C的上顶点与右顶点且与圆O：V+y2=g相切.

（1）求C的方程.

（2）过C上一点4（%,%）作圆。的两条切线心（均不与坐标轴垂直），乙，6与C的另一个交点分别为

N®,%）.证明:

①直线AM,AN的斜率之积为定值;

②&+x2=0.

丫2

【答案】(1)?+>2=1；(2)①证明见解析；②证明见解析

设椭圆的半焦距为c(c>0).依题意，离心率e=£、仁耳=虫，则。=劝，c=®①.

【解析】(1)

aN/2

XV,,ab2

直线/：—+；=1,W^bx+ay-ab=O,由题可知个~广―②.

abyja+b75

联立①②，解得。=2,b=l,故C的方程为三+y2=i.

4

(2)(i)设过点A且与圆。相切的直线的方程为了一%=左(%-%)/WO),

贝IJ号措=京，整理得(5x；-4/一10七为八5y；-4=0,

记直线A",AN的斜率分别为《，k2,

则…汩J_,为定值.

12-5x^-45年-44

(ii)由⑴的过程可知直线4W：y-%=A(x-%),

y-y=K（x-x）,

联立方程得00

x2+4y2-4=0,

则有（1+4忏）/+8,（％—勺%）X+4（%_勺毛）2_4=0,故与+/=瓯£；J。）

直线⑷V:y-%=&(x-x0),同理可得马+%=地，：。；为)

1+4^2

1

瓯（左玉）-%）।8%（&玉,-%）=瓯（也-%）砺…

故X[+%+x2+x=2

01+%—一1+4收1+4将

1+4

_8%；%-8勺为2x0+8勺为_2x0+8左；/

―1+4^+1+44―1+%