江苏苏州市2024年高一年级下册期中调研数学试题 答案

高一期中调研试卷

数学

2024.04

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题

卡的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须

用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠

笔.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.i是虚数单位，则复数（3-i）（4-i）在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2兀

2.已知单位向量石的夹角为手，则『―q=

A.1B."C.#D.3

1

3.i是虚数单位，则Z=「的共轨复数是

1-1

11.11.।.

A.-+-1B.---1C.1-1D.1+i

2222

b+c

4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=l,M135°,则一二一）7的值为

sinn+sinC

B,昱7

c.yj2D.25yz

2

5.已知向量点（3,-4）,石=（2,0）,贝而在B上的投影向量为

A.（3,0）C.3D.6

6.下列命题正确的是

A.AB-AC=BC

B.若向量Z=（2023,2024）,把Z向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（2025,2024）

C.在△ABC中，丽•天心〉0是△ABC为锐角三角形的充要条件

D.在△ABC中，若入为任意实数，且有X^Cfi|-G4+|G4|-Cfi）则尸点的轨迹经过△ABC的内心

7.苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球

高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤

鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主

塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点。）一直线上位于。同侧两点A,8分别测得金融中心

顶部点P的仰角依次为30°,45°,已知A3的长度为330米，则金融中心的高度约为

A.350米B.400米C.450米D.500米

8.在平行四边形ABC。中，E为CD的中点，BF=^BC,AF与BE交于点G,若丽=鼠BC=b,

贝ijBG=

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在△ABC中，下列说法正确的是

A.若A〉5>C,贝"sinA>sin5>sinCB.若A〉3>C,则sin2A>sin2B>sin2c

C.若A>B>C,则cosA<cosB<cosCD.若A>B>C,贝！Jcos2A<cos25<cos2c

10.z,z是复数，下列说法正确的是

12

A.若Z2<0,则Z是纯虚数

11

B.若日卜闻，则Z；=Z；

C.若Z,Z互为共朝虚数，则Z,Z在复平面内对应的点关于实轴对称

1212

D.若Z2—Z2>0,则Z2>Z2

1212

11.已知尸是边长为1的正六边形厂内一点(含边界)，且通AB+XAF,九eR,则下列正确

的是

A.△PCD的面积为定值B.m九使得1Aq>|中|

C./CPO的取值范围是卷,£D.四的取值范围是［1，7可

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知分为两个不共线的非零向量，若左Z+B与£—2石共线，则左的值为.

13.ZvlgC中，若sin|A+：3则sin人-J

5

14.已知△ABC的外接圆半径为1,则福•就的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知复数Z在复平面上对应点在第一象限，且同="，Z2的虚部为2.

(1)求复数Z；

(2)设复数z、Z2、Z-Z2在复平面上对应点分别为A、B、C,求福的值.

16.(15分)

已知向量砺，砺不共线，点尸满足砺xOA+yOB,x,yeR.证明：

1

(1)若注产则点尸是线段的中点;

(2)%+丁=1是4、B、P三点共线的充要条件.

17.(15分)

在平面直角坐标系尤Oy中，点A、2、C满足:A在x轴的正半轴上,C的横坐标是一等，|函||逝||亚|匕

OAOB=^-.记NA05=a,ZAOC=ft,a是锐角，P是钝角.

(1)求cos(a-B)的值;

(2)求P—2a的值.

18.（17分）

如图，在平面四边形ABC。中，已知AQ=1,CD=2,AABC为等边三角形，记NADC=a.

（2）若ae],兀，求△A3。的面积的取值范围.

19.（17分）

某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形4BCO某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用

高中所学知识解决或验证下列有趣的现象.

若尸,。分别为边AB,ZM上的动点，当△AP。的周长为2时，尸。有最小值（图1）、/PCQ为定值（图

2）、C到尸0的距离为定值（图3）.请你分别解以上问题.

（1）如图1,求尸。的最小值；

图1

（2）如图2,证明：/PC。为定值;

图2

（3）如图3,证明：C到尸。的距离为定值.

图3

高一期中调研试卷

数学参考答案

2024.04

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

题号12345678

答案DCBCADCB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分

题号91011

答案ACDACAC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

四、解答题：本题共5小题，共77分

15.解：

（1）设2=a+bi,贝牛|,z2=（4+历）=。2—加）+2（1历，

因为&2+核,Z2的虚部为2,

。2+拉=2

所以《

lab=2

a=1fa=-1

解得：］,［或。，

b=l［b=-1

又复数z在复平面上对应点在第一象限，

所以<71，故［=1+1

b=l

(2)因为z=l+i,所以z2=(l+i>=2i,z-z2=l+i-2i=l-i,

所以A（l/），5（0,2）,C（l,-1）

ABAC=(-1,1)•(0,-2)=-2

16.证明:

(1)因为有产:的，所头。P}_OA-\-^-OB,即2apOA+OB,

所以丽—风=砺—而，所以衣=而

所以尸是线段AB的中点

（2）充分性：

若x+y=1,则y=1-x,

所以ORxOA+(1-x)0B,

所以加—赤=》丽—x砺

AOB

所以而xG-)xBA,

所以A、B、P三点共线

必要性：

因为A、B、尸三点共线,

所以存在实数x满足：BP=xBA

叱彷）,

所以砺—旅x即OP-OB=xOA-xOB

所以ORxOA+(1-x)0B,

所以x+y=1

综上所述，%+丁=1是4、8、P三点共线的充要条件

17.解:

（1）因为|©A||0B|1,点5(cosa,sina),

所以OA-OB==COSOC

5

所以cosa=~^~

又a为锐角，所以sina=Jl—cos2a=弓§,

因为钝角P的终边与单位圆O的交点C的横坐标是一1二,

所以cosP=-Z^,sin(3=J1—COS2B=)

所以cos(a-P)=cosacosP+sincesinp亭+芷x旦—巫

51010

2小sin「=*cos…邛

(2)由(1)知sinacosa=

5

至x至J

所以sin2a=2sinacosa=>2

555)

3

cos2a=2COS2a-1-1

5

所以sin(p-2a)sinpcos2a-cosPsin2g与

10I5j10J52

因为a为锐角,

八兀

所以0<a<,,

所以0<2a<兀，

又cos2a<0,

所以2ae1爹,兀

又眦如

所以2a—Pe

所以B-2ag

18.解:

(1)在八4。中，由余弦定理，AC2=AZ)2+CD2-2AD-CD-cosa=-2x2xcos—=3,

3

所以AC=J5;所以ND4C=90。，

又因为△ABC为等边三角形，

所以MAC6,且/84。=/34。+/£>4。=150。，

所以S—AB•AD-sinNBAD=

AABD2

(2)不妨设ZDAC=0.

在△AC。中，由余弦定理，

AC2=AD2+CD?-2ADCD-cosa=l+4-2x2xcosa=5-4cosa,

AC^+AD^一DC25-4cosa+1-4l-2coscc

COSP

2ACAD2ACAC

ACCDAC2

在△AC。中，由正弦定理,'即敬=而百

sinZADCsinZDAC

2sina

所以sinP=

AC

IsinP+^EcosP

所以工£—AB-AD-sinZBAD=—AC-sin-AC-

222"2J

—sina+且Xl-2cosa)sina/

+4,

24I34

、(711

又因为a£—，

12y

71

所以a—可w

所以sin|a-

即△AB。的面积的取值范围为

19.解:

(1)设,

因为AA尸。的周长为2

所以PQsin®+PQcos。+PQ=2

_22

=所以p。

sin0+cos0+1

Wsin0+扑1

因为°e

0+；<1,

所以<sin

所以l<0>sin|e

<J2,

2

所以物272-2

V2+1

即尸。的最小值为2淄-2

图1

(2)设NPC5=a,NQC£)=[3,则尸5=tana,DQ=tanP,

所以AP=1—tana,AQ=1-tanP,PQ=J(1-tana)2+(1-tanP)2

因为△4尸。的周长为2,

所以2=]—tana+1-tanP+J(l-tana)2+(l-tanP)2

tana+tanP=J(l-tana)2+(1-tan0»

所以tana+tanP=1-tana.tanP

即tan(a+P)=l,

717U