2024届青海省西宁市大通县高三年级下册二模文数试题及答案

青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试

数学（文科）

考生注总：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作

管不学。一一.一一.一,.一.一,‘‘

4.耒底新题范围：高考范围。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合—2<2<4卜8=｛了|①（3工+8）&3｝,则AUB=

2.在复平面内，复数z=（2—5i）（—1—2i）对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

仔一厂3W。，

3.若实数2,）满足约束条件《1+2/一2>0,则z=x+^y的最大值为

A.yB.6C.13D.15

4.已知直线7M了+2»+〃2+2=0与直线4z+(〃?+2)y+2〃?+4=0平行，则的值为

A.4B.-4C.2或一4D.—2或4

5.已知，,且数列｛七｝是等比数列，则包"是的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

6.执行如图所示的程序，输出S的值为

A.0

B.-24

C.一72

D.-158

【高三第二次模拟考试•数学文科第1页（共4页）】243687Z

7.将函数y=3sin(3z+G的图象向右平移得个单位长度，得到的函数图象关于'轴对称，则

跖1的最小值为

A7CD77T117C-r->.57C

A-~6B'18C-~18D'T

nog2i,o<242,

8.已知函数“力)=、若/(a+1)—/(2a—1)>0,则实数Q的取值范围是

[21—3,彳〉2,

A.(—8,2]B.[2,+8)

C.[2,6]D.(y,2]

9.已矢口tana+tan｛3=5,cosQCOSsin(a+/9)=

1154

A.—B.-C.-7-D.—

0565

10.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对

数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数

的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知1g2^0.3010,1g3心0.4771,

设N=48X15]。，则N所在的区间为

A.(1013,1014)B.(1014,1016)C.(1015,1016)D.(1016,1017)

11.已知函数"z)=/+az—26,若都是区间[0,4]内的数，则使得/(1)20成立的概

率是

AJ-gAQJl_r)J_

c，8口。8J，8口•8

12.已知椭圆C：”Al(a〉6〉0)的左顶点、上顶点分别为A、B,右焦点为F,过F且与z

轴垂直的直线与直线AB交于点E,若直线AB的斜率小于中,。为坐标原点,则直线AB

的斜率与直线OE的斜率之比值的取值范围是

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量a,b不共线，且(7a+b)〃(a+2)，则xy的值为.

14.已知双曲线胃一£=l(a>0,6>0)的一条渐近线平行于直线/:工一2y—5=0,且双曲线的

一个焦点在直线/上,则该双曲线的方程为.

15.已知各项都是正数的等比数列｛a,,｝的前3项和为21,且恁=12,数列出｝中，仇=1,仇=0,

若+4J是等差数歹I],则仇+b2+b3+brl+b5=.

16.已知A,B,C是表面积为36兀的球。的球面上的三个点，且AC=AB=1,ZBAC=120°,则

三棱锥O-ABC的体积为.

【高三第二次模拟考试•数学文科第2页(共4页)】243687Z

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

只要骑车，都应该戴头盔.骑行头盔是骑行中生命坚实的保护屏障.骑行过程中的摔倒会对

头部造成很大的损害，即使骑行者是以较低的车速沿着坡度平稳的自行车道骑行，也同样不

可忽视安全问题.佩戴头盔的原因很简单也很重要——保护头部，减少伤害.相关数据表明，

在每年超过500例的骑车死亡事故中，有75%的死亡原因是头部受到致命伤害造成的.医

学研究发现,骑车佩戴头盔可防止85%的头部受伤,并且大大减小了损伤程度和事故死

亡率.

某市对此不断进行安全教育，下表是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到通过该路口

的骑电动车不戴头盔的人数的统计数据：

年份20192020202120222023

年份序号工12345

不戴头盔人数V1450130012001100950

（1）求不戴头盔人数？与年份序号工之间的线性回归方程；

（2）预测该路口2024年不戴头盔的人数.

参考公式：回归方程$=%+£中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为B=

18.（本小题满分12分）

在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且2煦acsinB=（6+c+a）（6+c-a）.

（1）求角A的大小；

（2）若sinC=4sinB,a=^/^,求△ABC的面积.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-AiBG中，/BAC=90°,AB=AC=2AiA=AiB=4，NAiAB=

ZAjAC.

（1）求证:平面A比。，平面ABC；

（2）求四棱锥A-GBjBC的体积.

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20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系了。》中，已知点P（2,1）是抛物线C^=2py{p>0）上的一点，直线,交

C于两点.

（1）若直线/过C的焦点，求示•荏的值；

（2）若直线PA,PB分别与？轴相交于M,N两点，且。宓•水=1,试判断直线Z是否过定

点？若是,求出该定点的坐标;若不是，请说明理由.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(丁)=/+(2—2a)x—2aln丁(aGR).

(1)若a=2,求/(z)的极值；

(2)若g(H)=f(x)-\-2a2—27+1112%,求证：8(Z)>2.

（二）选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

/JQ2—|—2coscc

在直角坐标系7。》中，曲线C的参数方程为_’（a为参数），以O为极点,7轴

1）=1十3sina

的正半轴为极轴建立极坐标，直线I的极坐标方程为尸立,+于）=271.

（1）求C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（2）若点P的直角坐标为（2,2）,直线I与C交于A,B两点，求育•前的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数/（/）=|23一4|+|J;—1|.

（1）求不等式/（力）18的解集；

〃2L22

（2）若函数/O）的最小值为相，且正数a,b,c满足。+6+c=a，求证:石>1.

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青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试・数学（文科）

参考答案、提示及评分细则

1.A由题意知｛了|久（3i+8）43｝=|（]+3）（31一1）&0｝=〔-3,]~],所以AUB=[—

故选A.

2.B因为复数之=（2—5i）（―1—2i）=—12+i,所以之对应的点为（—12,1）,位于第二象限.故选B.

（1一丁一3W0,

3.C实数-y满足约束条件<1+2）一2>0,表示的可行域如图阴影部分所示.当直线之=1+4»经过点A

时**取得最大值.由『一：—3=°'解得z=5,y=2,所以Zmax=5+4X2=13.故选C.

1）=2

4.B因为直线mjr+2j/+m+2=0与直线4x+（m+2）j/+2m+4=0平行，所以（加+2）加一2X4=0,解得

根=2或机=—4.当m=2时，直线2%+2丁+4=0与直线以+4了+8=0重合,不符合题意；当m=—4时，直

线一4%+2y—2=0与直线4工一2）—4=0平行，符合题意.综上，相=—4.故选B.

5.B设等比数列｛&｝的公比为qi.若3=1,当根=1,%=2,2=3均=4时，即%=的牝，但是机+舞片/+9,所

以不是“加+〃=p+q”的充分条件；

若加+〃=p+q,则a=曷比一1+〃-1=曷抬+"T,a/q=a：q1T+qT=^q#+g-2,所以即册=%%,所以

=。…”是“帆+〃=2+/'的必要条件综上,“。利”是"a+〃=p+q"的必要不充分条件故选B.

6.C执行程序框图：S=18,N=3,S=18—2X3=12,不满足z〉20；%=6,S=12—2X6=0,不满足1〉20；%=

12,S=0—2X12=—24,不满足力〉20；%=24,S=—24—2义24=—72,满足力>20,循环结束，输出S,故输

出S的值为一72.故选C.

7.A将函数v=3sin（3z+。的图象向右平移e个单位长度得j/=3sin[3（rc—1J=3$亩（31一号十?），又

y=3sin（3%—氤+中）的图象关于y轴对称，所以—年+9=£■十九兀（氏GZ），解得分=果十%兀（狂2）,当£=

—1时，|g|取得最小值故选A.

8.D画出/(1)的图象如图所示，由图可知/(I)在(0,+8)上单调递增，又+

/(2a—1),所以a+l>2a—1>0,解得a<a<2.故选D.

c小巾土，.巾c_

9.C因为tana।十tanc—Bs-in---a-c--o-s-8"-+--c-o--s-a--s-i-n-吐3一_5l,又cosacosB—百1m，所”以smacos/n?十।

广cosacosB6「

..5、

cosasin0=sin(a+S)=5cosacosB=飞.故选C.

10.D因为N=48X15i0,所以1gN=lg48+lg1510=lg216+10(lg3+lg5>=161g2+

101g3+10(l-lg2)=61g2+101g3+10^6X0.3010+10X0.4771+10=16.577,所以

N=10-577e（1016,1017）.故选D.

11.C设a为“a,匕在区间匚0,41内”，则。要满足的条件为设事件A为

（0WaW4,

V<1>>0成立”，即a—26+l>0,所以A要满足的条件为<0<6<4,作出

1（2—26+1）0,

各自可行域即可得到P〈A）=f^=1■.故选C.

OV127O

【高三第二次模拟考试•数学文科参考答案第1页（共4页）】243687Z

12.D由已知得，直线AB的方程为仇设椭圆的焦距为2c(c>0),由题意设点ECc9y0)，则=,

全+6_________

+6,即E(c,—+6)，所以k(jE=----=，又6AB=互<々^,所以e=-^=l2—(―^〉即

b

《VeVl,设直线AB的斜率与直线OE的斜率之比值为机，则一=壬=备=1一去，又

ac

《VeVl,所以］■〈加〈方.故选D.

13.1因为a,b不共线，所以可设a.b为一组基向量，因为(m+b)//(a+yb)，所以三aGR,使得加+匕=

；l(a+jb),所以所以消去入，得iy=L

14.嘉一/=1由题意可知，双曲线的其中一条渐近线产/与直线，：1—2-5=°平行，所以立=得，又

4u。CLCLLi

双曲线的一个焦点在直线/上，所以c=5,又/=/+〃，解得。=2",6=同，所以该双曲线的方程为

武=1

205,

15.—33设数列｛源)的公比为q(q>0),贝!J学+放+。3=21.，即12)=21,化简得3Q2—4g—4=

0,解得q=2(日舍去)，所以=恁,(f°—12X2"-3=3义2W-1.于是。1=3,。1+优=4,%+63=12,所以

等差数列+/｝的公差为+/\—,1+0)=4,所以为+儿=4+4(??—1)=4小包=4"一猥=4"一3X

2”-1,所以仇+62+63+64+65=4(1+2+3+4+5)—3(1+2+22+23+24)=60—3(25—1)=—33.

16.■设球O的半径为R,AABC外接圆的半径为r,在AABC中,AC=AB=1,/BAC=120°,则由余弦定

理得BC2=AC?+AB2—2AC-ABcosZBAC=1+1-2X1X1X(--^)=3,即BC=^，所以2r=

=2,所以r=l.因为球。的表面积为367，则4忐2=367(,解得R=3,所以球心O到平面ABC的

si.n/凫.p犷/mr

距离d=JR2T=29，即三棱锥O-ABC的高为2形■，又SAABc=yAB-AC-sin/BAC=，，所以三

棱锥。-ABC的体积V°ABc=q_X半><2我=V.

17.解：⑴由题意知了=1+2+朴4+5=3,k1450+1BOO+qoo+l100+950=]200,...1分

55

2

所以与(办一元)2=(1—3)2+(2—3)2+(3—3)2+(4—3)2+(5-3)=10,S(办一了)(y一夕)=

(1-3)X(1450-1200)+(2-3)X(1300-1200)+(3-3)X(1200-1200)+(4-3)X

(1100-1200)+(5-3)54(950-1200)--1200,......................................3分

5

SCyi—y)

2r)n5分

所以------------=：产-120,....................................:•:

经力一三)210

7分

所以a=y~lx=\200+120X3=1560,.........................................:•：

9分

所以不戴头盔人数)与年份序号]之间的线性回归方程为&=—120i+l560..........二•：

2分

(2)当i=6时J=-120X6+1560=840,即预测该路口2024年不戴头盔的人数为840.••3

十

2她

18.解：(1)因为2y^acsinB=(6+C+Q)(6+c—a)，所以2^acsinB=(6+c)2—a2=b2+c2—

2分

由余弦定理得2yjtzcsinB=26ccosA+26c,所以偌asinB=bcosA+6,.................：•：

由正弦定理得后sinAsinB=sinBcosA+sinB,又_66(0,江)，

所以sinB>0,所以乃sinA=cosA+l,...........................................分

所以esinA—cosA=2sin(A—^)=1,所以sin(A—)=~^~-.....................分

分

因为OVAVTT,所以—5-<CA■〈普，所以A—能=专，所以A=£~................

666663

【高三第二次模拟考试•数学文科参考答案第2页(共4页)】243687Z

（2）因为sinC=4sinB,由正弦定理得c=438分

由余弦定理得/=〃十J—26ccosA,所以13=加+（4犷-2b•46cos+，解得6=1*所以c=4b=4,

...................................................................................10分

所以△ABC的面积S=：6csinA=：~X]X4sin痣......................................12分

19.⑴证明：如图，取BC的中点M,连接

因为AB=AC=2虑\/BAC=90°,所以BC=4,AM=2,

因为NAAB=/AiAC,AB=AC,所以△ABAiWZWCAi，所以A1B=A1C=4.V/

所以AIMXBC,AIM=271/*''/

在△AjAM中,AiA=4,AjM=2痣,AM=2,所以AjAZuAA^+AiM2./JA\/

所以AiMXAM,.................................................2分/二f冽/

又AIM_LBC,BCAAM=M,BCAMU平面ABC,AB

所以A】MX平面ABC,.................................................................4分

又AiMU平面ABC,所以平面AiBC_L平面ABC..........................................6分

(2)解：由(1)可知AiM_L平面ABCVA]-ABC=《VABC-A1B1C]，

=

所以四棱锥Ai-GBiBC的体积与比=VABC-A]%C]—VAX-ABC^VA1-ABC

=2XyXyX272X2V2X2V3=i^-..12分

20.解：（1）因为点P（2,l）是抛物线CN=20y（Q>0）上的一点,

所以22=2"解得力=2,所以C的方程为一=4”...........................................2分

所以C的焦点为（0,1）.显然直线I的斜率存在,设直线I的方程为y=£i+l,A（乃，2），北），

卜：1'得I?—4后1—4=0,所以久1+12=43久112=—4,

由3分

f=4)

所以：yi、2=1•号=1,..............4分

所以。A•OB=xia：2~\~yi.y2=-4+1=—3.5分

7]2]

⑵设A（zD,B（色,北）,显然直线PA的斜率存在,且斜率为汜=三二卡

所以直线PA的方程为y—1=色/做一2〉，.............................................6分

所以，44=1+^^•〈：一2)=-,即OM=(0,—^"71)，...............................7分

同理可得，加=（0,一1&）,...........................................................8分

所以曲.加=（一4阳）•（一。&）=1,所以4&=4,即©=1,①.......................9分

逑—就

显然直线I的斜率存在，且斜率为匚_£=互二，

JC2~X\JC2—J714

所以直线/的方程为y—苧=包产（工一工1）电.........................................10分

将①式代人②式,整理得(乃+：)z—4，―4=0,

所以直线/恒过定点〈0,一1)..........................................................12分

21.(1)解:若a=2,则f<z〉=z2—2z—41nz,

er-pr、°42/-2久一42(]+1)(]—2)人

所以f(1)=21—29----=----------=---------------,..................................1分

xxx

令/（力）=0,解得％=2,当0<%<2时当心>2时所以/（]）在（0,2）上单调递

减，在（2,+8）上单调递增，.............................................................2分

又/（2）=22—2X2—41n2=—41n2,所以/（了）的极小值为一41n2,无极大值..................4分

(2)证明：由题意知g(z)=f(x)+2<i2—2jr+ln2j：2—2al—2aln1+山—+2a?

=2]/—

【高三第二次模拟考试•数学文科参考答案第3页（共4页）】243687Z

12+山2力

令尸(Q)=a21(z)a+

2

min/、(jr+lnJ:\2/jr+lnJ:\2,3?+In2x(rr+lnJC\2.(尤一

贝IJP(Q)=(Q----2一)~\---2-)----2----=(Q-----2—/+4©4

..........................................................................................9分

令Q（z）=z—Inz,则Q'（z）=l—-^=口，令Q'（H〉VO,解得0<0<1,令Q'〈z）〉O,解得工>1,所以

XX

Q（z）在（0,1）上单调递减，在口，+8）上单调递增，

所以Q(l)min=Q(l)=l,.................................................................11分

所以P(a)》+，所以g(1)32＞＜卷=+................................................12分

22.解:⑴因为曲线C的参数方程为广二二管a，Q为参数），

\y=1十3sma

所以（JC—2）2+（6一1）2=（3cosa/+（3sina）?=9,

即C的普通方程为（/一2）2+（y—1）2=9...................................................3分

直线I的极坐标方程为psin（0H~~殊）=242,，所以彳psin9+#pcos6=272,

将z=pcosd,y=psinJ代入，得彳,即oc~\~y—4=0,

所以直线/的直角坐标方程为1+了