【浅谈高等代数在中学数学中的应用8000字（论文）】

浅谈高等代数在中学数学中的应用目录TOC\o"1-2"\h\u3978浅谈高等代数在中学数学中的应用 1178981前言 2276381.1研究背景 237151.2课题的研究意义 284452高等代数与中学数学的联系 347702.1行列式在中学数学的应用 3154032,2矩阵在中学数学中的应用 759112,3多项式在中学数学中的应用 9318154参考文献 9摘要：本文通过分析《高等代数》与中学数学的学习内容的密切联系，论述了高等代数对于中学数学的教学所起到的重要指导作用和辅助作用。通过学生运用高等代数的思想和研究方法，课程学习内容，实际发展理论与重要观点来解析中学数学文化相关的各种社会实际问题，从而可以加强中学数学的教学的理论与实际的联系，深化中学数学中的有关内容，促进高等代数在中学数学知识教育中的改革与实践。关键词；高等代数，中学数学，数学教育1前言1.1研究背景至2000年到2020年时间段，伴随着科技的进步，经济的发展，社会的变化堪称日新月异。这就造成了社会对学生综合能力素质过硬的新型人才的需求，同时我们就是发展要求初等教育为高等院校输送更多的人才，且最终培养自己成为中国社会所需要的各级各类的人才。这就对数学文化教育提问题出更多的要求，我们国家需要从教学设计思想，教学研究内容，课程设置和教学方式方法等方面都需要发展做出一系列的改革与创兴，做到与时俱进。随着课程改革的不断改革，中学教育将多科数学整合到一门数学教材中，更加注重各个学科之间的交流和内在联系，更加注重数学知识的应用。基于时代的不断发展，对于我们传统的数学课堂教学中，需体现情感态度以及价值观的要求也越来越高；科学研究价值方面也有更高的要求，对其学生的数学问题意识的着重培养有了前所未有的要求，新课程的内容有着巨大的变化，无论是内容的更新，还是形式的处理要求、内容的变化都对教师提出了新的挑战，老师需要更加仔细的理解，更加仔细的分析。在现代数学教育中，中学数学教学以现代数学思想为基础，使高等数学与中学数学的关系更加的密不可分。行列式、线性方程组和矩阵理论都是中国高等教育数学的基本信息内容，这些研究内容的发展与完善绝对离不开初等数学的有力推动社会作用。同时有许许多多的中学数学概念也很需要借助高等数学的教学内容内容才能够解释得清楚。1.2课题的研究意义近年来，随着数学知识在高考中所占比重的提高，新的数学课程标准和新的考试大纲必须对高中数学新知识进行更加认真的分析和研究。基于高等数学知识理论，来运用于中学数学课堂知识点的讲解，越来越广阔。高等代数是在中等数学的基础上不断发展结合起来的，高等教育数学与初等数学教育有着密不可分的联系。许多初等教育数学解决不了的问题，高等学校数学都给出了一个完美的解答。因此，在中学数学教育中普及高等数学的知识内容，有助于学生学会运用高等数学的思想和方法作为工具，从不同的角度去思考初等数学中的难题。借助高等教育数学的知识有利于提高学生从另外一个具有更高的思维发展角度进行重新认识初等数学中的重要概念与理论实质及其背景。综上所述，高等数学在中学数学中的应用有助于学生更深入地理解初等数学的内在本质以及高等代数与低等代数之间的内在联系。本论文在前人著述的基础之上，运用高等数学的先进观点居高临下的处理中学数学的内容与问题，对中学数学的教育指导、教学方向和教学深度具有参考和借鉴作用。2高等代数与中学数学的理论联系2.1高等代数与中学数学的地位与联系基于大数据，统计研究表明，建立在高等数学知识理论体系下来探究初等数学，更有利于学生将中学数学知识点理解透彻。了解学生数学学习知识的本质和背景，有利于从更高的角度来看待初级中数学，有利于拓展中学数学教师的视野和数学核心素养，有利于不断提高自己解决这些问题的能力，更好的把握数学的学与教。高等代数知识普及可以拓展我们中学数学教师的视野、指导中学生解决这些问题。站在中国高等学校教育学生数学的角度进行分析来看初等数学中的难题与知识，会有更深刻的理解，更全的发展认知。有关中学数学解方程组，其实就是高等代数里有关行列式的缩影等等。这些高等数学与初等数学的异曲同工之妙，是数学独特的魅力，我们从幼儿园就开始接触，它从幼儿园，小学，中学直到大学都有着一套完整的知识理论及教学教研的体系，其中简单的一部分留在了中学数学的教学内容里面了，较难的放在了高等数学里。中学数学里的分析主体，与大学数学的分析主体，有着极高的相似程度，堪称大学数学是中学数学里知识的拓展与递进.在下面的文章论述里，我们共同来探究不同的研究对象和不同对象的特点以及在他们在定义方法上的不同.关于研究对象，在我们中学的时代里，了解到的通常是常见的几何体，以及其中的数量关系，而我们大学数学里学习到的知识大多是中学数学里的延伸与拓展，比如中学时代里我们最多研究到了三维领域，以及常见几何图形，然而大学便进行了进一步拓展到了n维空间，再比如我们中学数学里最多了解到了三元一次方程组的求解，然而在我们大学的高等代数研究里，不仅仅只限于三二个方程的求解，更多的是对于多个方程联合而成的方程组的求解，再比如，我们中学时代里仅限于四则运算的求解，而高等代数里更是拓展到了行列式的求解，固然我们的研究领域更为宽广，研究对象更加丰富，传统的运算法则必将满足不了我们对大学知识领域的研究。比如数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用于向量空间、欧氏空间等等。充分认识这些观念的转变，有助于指导中学数学的教学工作。大学数学相对于当代中学生而言，具有不同于中学数学，抽象、逻辑强和应用性广泛的特点，这些大学数学所具备的独具特色的特点，深刻的蕴含在教研的各个领域中。下面，我们将从三个方面分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系。首先，中学数学通过把数字和表达式抽象化成字母，大大简化计算量，这是抽象化带给我们的第一个“甜头”。显然，中学数学中的这种抽象程度并不能帮助我们理解抽象化真正的意义和作用。由于我国高等代数处于一个具有更高的研究水平,所以它更能帮助学生，我们可以更加直观的理解抽象化的本质。例如，通过一个向量的加法与数乘的共性，将平面向量进行抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象表现出了欧氏空间。可见，抽象促进了数学的发展，不断提高抽象性，让我们更容易触及到问题的本质。基于目前中学生的理解能力与知识领域受限的因素，我们很少对某些知识点做出严格的定义。因此在很多层面上我们的同学能领会到的都只是停留在知识点的表层，当我们遇到真正的问题时能灵活的运用，才谈得上理解。比如在几何知识领域，我们在证明某些关系时需要我们能做到不仅知其然，而且知其所以然，同时还需要依靠空间理解力。显然，在数学上这还是不够严谨。这在高等代数中就不会出现，所有的证明都需要严格的定义和推里的，可以得到相关结论，最终形成理论体系。最后，中学数学主要用于教育，可以解决少一些简单的问题，比如，面积、体积和行程计算，但不能用于更复杂的问题。相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学教学内容。随着您了解的更多，您就会发现高等代数应用范围会增大。以实现中学式思维发展方式向大学式思维教学方式的过度与转变为目标，引导学生在二者相互之间建立一座桥梁.从教师的方面来看，有利于帮助中学教师整合中学数学教学的相关内容,有利于中学教师运用高等数学的相关理论、方法和观点解决来中学数学的相关问题，从学生的角度来看，有利于激发学生的学习兴趣，提高他们的高等数学知识，深化高等代数知识与中学数学的关系，在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学数学教师也能更好地展开研究相关技术教学管理工作，学生也能更好的完成自己学习目标任务。2.2高等代数对中学数学的拓展集合:有关于集合，我们都知道他是我们中学数学乃至大学数学领域里相对基础的一个知识点，而且有关集合也没有一个特别明确的定义，通常情况下是将具有某类共同特征的有机体组合在了一起，而我们的集合却又贯穿于我们的整个学习生涯。比如在我们小学的学习领域里，我们就开始学习分类，把具有相同特征的个体组合到一起。到了高中我们开始慢慢的学会了用集合语言来探究问题，经过高中学习生涯的认真研修，我们学会了有关集合的一些基本知识，比如我们能对集合进行简单的基本运算，映射，以及基本的表示法，同时还加深了我们对其他知识领域的深层次理解。有关集合的定义，描述，以及研究将在大学的高等代数里得到进一步的升华，同时将不断学习集合的有关其他的知识，同时还将领会无限领域里大小的比较，同时让原本我们了解过的知识结合上集合这种特殊的数学架构(如代数结构、测度结构、拓扑)，探索不同的数学架构与集合之间的双向联系。例如，抽象代数主要通过研究代数的结构，进一步探索具有映射效应的集合关系，如同态、同构、群、环、域等，而实变函数领域主要研究通过具有映射效应的集合来探究勒贝格测度，如可测函数。函数及其性质:函数是数学里面的一个基本而重要的概念。从中学数学到高等数学，函数概念逐步从直观发展到抽象。变量说、对应说(映射说)、关系说是三种质，因而常成为研究抽象函数的例子、模型。微积分中函数的主体是初等函数，由基本初等函数到初等函数，衔接是比较紧密的。数列、极限与级数:中学数学中讲到数列的定义，等差、等比数列以及它们的前n项的和与数列极限，这是数学分析中级数论的基础。极限法是数学分析的一个主要方法，贯穿于数学分析的始终。中学数学中再给极限精确的定量定义。级数论中将研究无穷数列与函数列的和(级数)的收敛与发散，部分数列和的求法，以及函数级数的和函数的分析性质，把函数展成级数。复数与复变函数论:中学数学中讲了复数的概念、表示法(代数形式、向量形式、三角形式)、运算。复数的引进，完满的证明了高等代数的基本定理及多元二次型的分解等。另外，复变函数论研究的一类重要函数解析函数(包括初等函数),只有在复数域中来讨论才能彻底弄清楚。因此，中学数学中的复数是复变函数论的一个重要基础，它们之间最好是按“螺旋式”上升方式来衔接。排列、组合、二项式定理与概率论:中学数学中排列、组合、二项式定理及概率是高等数学中概率论与数理统计的基础。由于这部分内容与其它内容联系较少，学生普遍感到难学，有的教师也可能降低要求。但大部分概率与统计的教材，都是在中学的基础.上来编写的，它们是对随机现象演绎的研究与对随机现象统计规律归纳研究。因此，中学排列、组合、二项式定理的内容--点都不能削弱。方程与方程组:中学数学中重要讲了一元一-次、二元、三次方程及简单高次方程的解的情况，并没有对一-般高次方程作深入讨论，方程组也大多是二元线性或三元线性方程组.高等数学中将对中学数学中的方程与方程组作推广，高等代数对高次方程的解(根)的情况将作全面讨论，明确五次(含五次)以上的方程无公式解，复系数一元二次方程必有2个根。用行列式和矩阵理论来讨论-元线性方程的解(存在性、解法、结构)，用微积分研究微分方程与方程组的解等。3高等代数在中学数学的应用我们知道，高等数学与初等数学不仅在知识难度上有很大的不同，而且在知识观点上也有着很大的不同。有的人觉得:中学生不需要增加负担，不需要学习这些难学的数学知识，老师讲课就按教科书照本宣科就行了。我认为我们这是一种方法错误的观点，在课堂上不把高等教育数学的知识传授给学生，教师所授课的内容不能仅仅停留在课本范围内，这很明显是不够的，教师通过自己有时候都觉得很费解的一些研究题目对于提高学生发展来说就很有难度了。一方面，高等数学是初等数学的推广和续集，一方面，有很多初中数学里面的难题是必须在高等数学中才能解答清楚，因此，高等代数在初等数学中的作用是不可小觑的，接下来我们浅谈一下高等代数在中学数学中的作用。3.1行列式在中学数学的应用随着中学数学新课程的实施，行列式在中学数学中的应用和渗透越来越受到重视。行列式是在求线性方程组公式的过程中诞生的。行列式是线性代数的最基本工具之一，有着许许多多的应用范围。这里我们结合中学数学课堂教学内容来着重的探讨一下行列式的应用。本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用。3.1.1用行列式证明等式例题3.1.1若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证:z+x=2y。

证明

:(z

-x)2-4(x

-y)(y

-z)=z−x=z+x−2y=(z+x-2y)1=z又由已知可得(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z=0所以

z即z证毕例题3.1.2已知a+b+c=0，求证a3+b3+c3=3abc.证明：令D=a3+b3+c3-3abc,则D=a=a+b+c=0=0即a3+b3+c3-3abc=0例题3.1.3在三角形ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC.证明：由于cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC-1=−1=1=1=0所以在三角形ABC中，cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC成立。3.1.2行列式在几何中的应用定理1REF_Ref24906\r\h[1]在同一平面内三点，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),以这三点为顶点所组成的三角形，其面积为S=1/2x1y11x2y21x3y31的绝对值，例题3.1.4求过点（4,5）和点（5,6）的直线方程。解由xy可得直线的方程式为x-y+1=0.（2）平面内的三条直线L1:A1X+B1Y+C1=0;L2:A2X+B2Y+C2=0,L3:A3X+B3Y+C3=0,相交一点或者互相平行的充要条件是：A1推论1经过平面上的三点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)的圆的方程为X23.1.3行列式证明因式分解此外行列式可运用到学习因式分解里面，众所周知对于一个研究行列式与一个等式都有着一一对应的关系。因式分解就是等式的某一种操作，因此在一般的计算中我们可以构立一个或者几个相应的行列式，然后根据行列式的基本性质进行求解REF_Ref24962\r\h[6]。例题3.1.5对a3+b3+c3-3abc因式分解.解D=abccabbcD=a+b+c=(a+b+c)11依第一行展开的，D=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).3.2矩阵在中学数学中的应用矩阵作为高等代数的主要的研究对象和最重要的工具，矩阵的运算充分的体现了解决抽象内容问题通的重要思想和方法。许许多多的数学模型都可以用矩阵的方法来表示，矩阵是研究图形变换和向量变换的重要工具，有着非常重要且广泛的应用。在中学数学的新教学研究内容中，“矩阵与变换”是选修的重要工作内容之一REF_Ref25119\r\h[2]，它通过运用平面图形的变换来探讨二阶矩阵的乘法与特征向量、还有逆矩阵和矩阵的性质等概念与定义，初步的展示了矩阵的应用具有广泛性。因为几何图形的变换包含了相似变换、反演变换和合同变换等等，所以几何变换与矩阵密切相关，矩阵是表示变换的重要形式。矩阵的乘积可以用来表示变换的组成。此外矩阵在圆锥曲线和二次曲线的分类和化简，以及学生计算数列的通项公式中都是一个有巨大作用的计算计算工具。3.2.1利用正定和半正定矩阵证明不等式对于实二次型fX1,X2,X3,…,Xn=XAA’来说，其中X=(X1,X2,X3,...,Xn),A=a11a12…a1na21a22…a2n⋮an1⋮⋮a例题5设X1,X2,X3,..,Xn≥0,证明对于任意的n≥4(n∈N),有：（X1+X2+X3++Xn)2≥4(X1X2+X2X3+X3X4++XnX1).证明：设f(X1,X2,X3,..,Xn)=(X1+X2+X3+,,,+Xn)2-4(X1X2+X2X3++XnX1)=(X1,X2,X3,...,Xn)1−1⋯1计算可得，矩阵A=1−1⋯1−11⋯1⋯1⋯1⋯⋯⋯1的一切K级子式都大于或者等于0，从而矩阵A半正定，所以就有F(X1,X2,X3,..,Xn)=(X1+X2+X3+...+Xn)2-4(X1X2+X2X3+X3X4+...+XnX1)，为半正定二次型，所以（X1+X2+X3+...+X例题3.2.1请问H取何值的时候不等式x2+y2+5z2>2xz-Hxy-4yz总能成立。解：设f(x,y,z)=(x2+y2+5z2)-(2xz-Hxy-4yz)=xyz1H要使上面等式成立，只需要A=112−11212.2.2中学数学中的矩阵与变换在中学数学中，由矩阵建立的变换本质上就是平面上的坐标变换，其中矩阵具有、有着“对应法则”的功能，用二阶矩阵A=abcd来确定的变换，就是映射的构造，将平面上的点xy变换成点XY=a3.3线性变换面积定理定理1REF_Ref25324\r\h[5]线性变换将平面上的所有图形的面积放大或者缩小相同的倍数，这就是变换行列式的绝对值。例题3.2.2在平面直角坐标系xoy里面，已知平面区域A={（x,y）|x+y≤1且x≥0,y解由题意可得，平面区域A是用O（0,1）、C(1,0）、D(0,1)所围成的三角形，其面积S是12,平面区域A变换成平面区域B其对应的变换矩阵是111−13.4多项式在中学数学中的应用多项式是中学代数的重要研究内容问题之一，在中学学生数学的教学工作内容中它主要的侧重点在于多项式的运算。多项式是高等代数的重要教学内容之一，相对来说比较独立且完备，但它也为高等代数的基本教学内容提供了理论依据。它能够解决许许多多初等数学关于多项式所留下的难题，例如多因式的根及因式分解理论，对于中学数学中的难题有着简化的作用。例题2.4.1将一元多项式f(x)=x5解显然f(1)≠0,f(−1)≠0,从而由余数定理REF_Ref24962\r\h[6]，f(x)无一次因式，那么f(x)可约，则f(x)可约，则f(x)必有二次因式。设；f(x)=x5+x4+1=(x2+ax+b)例题2.4.2已知a,b,c为整数，且满足ab+b证明；设fx=就有fx由已知条件可得f(x)是首项系数为1的整系数多项式，且ab，bc，在现行的中学数学教材中都对于因式分解进行了一定的特殊化，简便化，讲授了一些因式分解的运算技巧与方法，但是都不涉及因式分解的理论问题。高等代数在最大公因式的理论和解法、不可约多项式的类型判别、以及因式分解的存在唯一性和可行性等问题都进行了理论的探讨，所以高等代数在中学数学的教学中有着重要的理论指导作用。3.5欧式空间理论在中学数学中的应用中学数学通过坐标系建立了点的坐标。高等代数则通过公理化方