空间向量基本定理 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理2.平面向量的正交分解

1.平面向量的基本定理不共线任一有且只有一对

{e1，e2}基底MNO

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.复习导入OQP

三个不共面的向量用两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？用三个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？先考虑三个不共面的向量两两互相垂直的特殊情况：新知探究

先考虑三个向量两两互相垂直的特殊情况：xyzOQP【结论】

新知探究思考2：你能证明唯一性吗？新知探究

又由思考1的方法可证明唯一性新知探究

都叫做基向量

叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.所有空间向量组成的集合为新知探究1.空间向量基本定理辨析1：零向量可以作为基向量吗？×辨析2：构成空间向量的基底唯一吗？×

像这样，把一个空间向量分解为三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.新知探究2.单位正交基底3.正交分解

练习巩固课本P12题型一：基底的判断

若三个向量中存在一个向量可用另外两个表示，则三向量共面，不能做基底.C练习巩固课本P15

共线【共面向量定理】由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，i＋2j－k＝x(－3i＋j＋2k)＋y(i＋j－k)＝(－3x＋y)i＋(x＋y)j＋(2x－y)k.因为{i，j，k}是空间的一个基底，所以i，j，k不共面，解：练习巩固假设三向量共面，建立x,y的方程组，若有解，则不可作基底；若无解，则可作基底.

方法总结练习巩固课本P12题型二：用基底表示空间向量

BCABʹAʹCʹMN解：练习巩固题型二：用基底表示空间向量

练习巩固题型三：空间向量基本定理的应用1——求线段长度

ACDBC1D1B1A1NM练习巩固课本P13题型三：空间向量基本定理的应用2——证明垂直、平行

BDCA′B′C′D′AGFE练习巩固课本P13题型三：空间向量基本定理的应用3——求余弦值

BDCA′B′C′D′AGFE

练习巩固课本P13题型三：空间向量基本定理的应用3——求余弦值

×注意：异面直线所成角范围与向量所成角范围不同

练习巩固课本P15T6

BCABʹAʹCʹED解：练习巩固

练习巩固BCABʹAʹCʹED

例6：已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。

练习巩固课本P15T8

②四面体中的3组对棱中有2组两两垂直，则另一组对棱也互相垂直.③四面体中3组对棱的中点间的距离相等，则这3组对棱两两垂直.①正四面体的3组对棱两两垂直.例6：已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体的相对的棱两两垂直。

练习巩固课本P15T8空间向量基本定理平面向量基本定理向量共线充要条件如果三个向量

a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使

向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使{a，b，c}{e1，e2}二维三维一维{a}b＝λa.a＝λ1e1＋λ2e2．

p＝xa＋yb＋zc．课堂小结

基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六