专题02代数方程（考题猜想常考易错6个考点40题专练）解析版

专题02代数方程（考题猜想，常考易错6个考点40题专练）一元二次方程的应用高次方程（二项方程、二元二次方程组等）无理方程解分式方程分式方程的增根分式方程的应用一．一元二次方程的应用（共2小题）1．（2023秋•闵行区期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？【分析】设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据面积为90平方米列出方程求解即可．【解答】解：设垂直于墙的一边为米，根据题意得：，整理得：，即，分解因式得：，解得：，，当时，平行于墙的一边为米米，故米不符合题意，舍去；当时，平行于墙的一边为米米，答：仓库的长是15米，宽是6米．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．2．某商场销售一种商品，商品销售数（个与销售单价（元个）之间的关系如图所示．（1）求关于的函数关系式和自变量的取值范围；（2）如果商品的销售额为1250元，那么这件商品的销售单价为多少元个？【分析】（1）观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法即可求出关于的函数关系式，再观察函数图象找出自变量的取值范围；（2）利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设关于的函数关系式为．将，代入得：，解得：，关于的函数关系式为．（2）依题意得：，整理得：，解得：．答：这种商品的销售单价为25元个．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．二．高次方程（共10小题）3．（2022春•杨浦区校级期中）下列方程中，是二项方程的是A． B． C． D．【分析】根据二项方程的定义判断即可．【解答】解：方程的右边不是零，该方程不是二项方程．不合题意．的左边没有非零常数项，该方程不是二项方程．不合题意．方程的左边没有非零的常数项，该方程不是二项方程，不合题意．方程的右边为零，左边含有非零常数项，是二项方程．符合题意．故选：．【点评】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的特征是求解本题的关键．4．（2022春•徐汇区校级期中）对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么一定A． B． C． D．【分析】根据偶数次方的非负性求解．【解答】解：，，为偶数时，已知方程有两个实数根，，．故选．【点评】本题考查高次方程的解，注意偶数次方的非负性是求解本题的关键．5．（2022春•杨浦区校级期中）下列方程中，是二元二次方程的为A． B． C． D．【分析】根据二元二次方程依次判断即可．【解答】解：含两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，故符合题意．未知数在分母上，是分式方程，不合题意．的未知数次数是1，不是二元二次方程，不合题意．含1个未知数，不是二元二次方程，不合题意．故选：．【点评】本题考查二元二次方程的定义，理解二元二次方程的条件是求解本题的关键．6．（2022春•浦东新区校级期中）方程组的解只有一组，则的取值范围是．【分析】根据条件表示方程组的解，再求的范围．【解答】解：，由①，得或，，．当时，代入②得：，原方程组的一组解为：，当时，代入②得：，原方程只有一组解，无解，．．故答案为：．【点评】本题考查高次方程组的解，正确表示原方程组的解是求解本题的关键．7．（2022春•闵行区校级月考）解方程组：．【分析】把原方程组中的两个方程都转化为二元一次方程，再重新组成新的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：，由①得：，③或④，由②得：，，，⑤或⑥，由③⑤，③⑥，④⑤，④⑥组成方程组，得，，，，，，，，所以原方程组的解为：，，，．【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，把二元二次方程组转化为二元一次方程组是解决本题的关键．8．（2022春•闵行区校级期末）解方程组：．【分析】由得：①，把①代入中可得的值，代入①中可求出解．【解答】解：由得：①，把①代入中得：，解得：，，当时，，当时，，方程组的解为：，．【点评】本题考查了解二元二次方程组，降次消元是解本题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期末）解方程组：．【分析】先降次，再消元．【解答】解：，①②得：，③．将③代入①得：，，，或．【点评】本题考查二元二次方程组的解法，选择合理的消元方法是求解本题的关键．10．（2022春•奉贤区校级期末）解方程组：．【分析】由方程②得出③，将③代入①得出，求出方程的解，，将，代入③即可求出．【解答】解：由方程②得：③，将③代入①得：，化简得：解得：，，将，代入③得：，，原方程组的解是：，．【点评】本题考查了解一元二次方程和解高次方程组，解此题的关键是把方程组转化成一元一次方程或一元二次方程．11．（2022春•长宁区校级期末）解方程组：【分析】由（1）求出，，这样把二元二次方程组转化成二元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由（1）得：，，，即原方程组化为：，，解得：，，所以原方程组的解是：，．【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．12．（2022春•徐汇区期末）解方程组．【分析】由（1）求出或③，由（2）求出④，由③和④组成四个二元一次方程组，再求出四个方程组的解即可．【解答】解：，由（1）得：，即或③，由（2）得：，即④，由③和④组成四个二元一次方程组：，，，，解得：，，，，即原方程组的解是，，，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．三．无理方程（共9小题）13．（2022春•杨浦区校级期中）下列方程中，有实数解的是A． B． C． D．【分析】根据任何数的偶次方，以及算术平方根一定是非负数即可判断式子中的等号是否成立，即方程是否有实数解．【解答】解：、，故，则方程一定没有实数解，选项错误；、两边同时乘以得：，解得：，故选项正确；、，则一定成立，故选项错误；、，故选项一定错误．故选：．【点评】本题主要考查了任何数的偶次方，以及算术平方根一定是非负数，理解非负数的性质是关键．14．（2022春•奉贤区校级期中）下列方程中，有实数根的方程是A． B． C． D．【分析】根据分式方程和无理方程的解法如果能求得方程的解说明方程有实数解，一元二次方程有实数根只需得到其根的判别式为非负数．【解答】解：、即，因为实数的平方，故本选项错误；、即，有解，故本选项正确；、分式分母不为0，所以本题无解，故本选项错误；、即，实数的算术平方根为大于0，故本选项错误；故选：．【点评】本题考查了无理方程，涉及到了实数的平方，负数由立方根，注意区别．15．（2022•徐汇区模拟）方程的解是．【分析】将方程两边平方后求解，注意检验．【解答】解：将方程两边平方得，移项得：，代入原方程得，原方程成立，故方程的解是．故本题答案为：．【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．16．（2023春•静安区期末）方程的根是1．【分析】或，并要求（即，直接解答即可．【解答】解：将方程左右两边同时平方，得．解得：或．检验：当时，，二次根式在实数范围内无意义，．故答案为：1．【点评】本题考查如何解无理方程，特别需要注意要使二次根式的被开方数大于等于零．17．（2022春•宝山区校级月考）方程的根是．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：，解方程得：，，检验：当时，方程的左边右边，当，方程的左边右边，为原方程的根．故答案为．【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意最后要把的值代入原方程进行检验．18．（2022春•杨浦区校级期中）方程的根为．【分析】根据已知得出，，求出方程的解，最后进行检验即可．【解答】解：，，，解得：，，经检验代入原方程，无意义，舍去；经检验代入原方程，是原方程的解，故答案为：．【点评】本题考查了无理方程的解法，注意：解无理方程一定要进行检验．19．（2022春•浦东新区校级期末）若关于的方程无实根，则的取值范围是．【分析】先将无理方程转化为有理方程，再求解．【解答】解：，无论取什么数，方程始终有意义．原方程化为：，，，当时，方程无解．．，当时方程无解．．故答案为：．【点评】本题考查无理方程的解，将无理方程转化为有理方程是求解本题的关键．20．（2022春•长宁区校级期中）解方程：【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得，，移项得：解得，．检验，把代入原方程，左边右边，为增根舍去．把代入原方程，左边右边，是原方程的解．【点评】在解无理方程时最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．21．（2022春•徐汇区期末）解方程：．【分析】移项后得出，方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，，方程两边平方得：，即，解得：，，经检验是原方程的解，不是原方程的解，所以原方程的解是．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．四．解分式方程（共2小题）22．（2022春•静安区期中）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，整理得：，即，分解因式得：，解得：或，检验：当时，，当时，，是增根，分式方程的解为．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23．（2022春•奉贤区校级月考）解方程：【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，整理得：，即，解得：或，经检验与都为分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．五．分式方程的增根（共5小题）24．（2022春•宝山区校级月考）若关于的方程有增根，则的值是．【分析】根据题意可得，然后把代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：，，方程有增根，，把代入中，，，故答案为：．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．25．（2022春•虹口区期中）方程有增根，则的值为2．【分析】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：，，解得：，方程有增根，，把代入中，，解得：，故答案为：2．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．26．（2022春•杨浦区校级期中）在去分母解关于的分式方程的过程中产生增根，则．【分析】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：，，解得：，分式方程产生增根，，把代入中，，，故答案为：．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．27．（2022春•奉贤区校级月考）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，整理得：，即，解得：或，经检验是增根，分式方程的解为．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．28．（2022春•静安区期中）若分式方程有增根，求的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出的值．【解答】解：两边都乘以，得：，方程有增根，代入整式方程，得：，解得：．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．六．分式方程的应用（共12小题）29．（2022春•虹口区校级月考）“新冠肺炎”疫情期间，口罩成为抗击疫情的重要防疫物资．某工厂接到了生产3000箱口罩的任务，为了尽快完成生产任务，工厂紧急增加了口罩生产线．实际每天可多生产50箱，可比原计划提前10天完成任务．求原计划每天生产多少箱口罩？【分析】设原计划每天生产箱口罩，则实际每天生产箱口罩，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设原计划每天生产箱口罩，则实际每天生产箱口罩，依题意得：，整理得：，解得：，，经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去．答：原计划每天生产100箱口罩．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．30．（2022春•静安区校级期中）甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．【分析】提速前后路程没变，关键描述语为：“列车从到地行驶的时间减少了”；等量关系为：提速前的列车所用时间提速后的列车所用时间．【解答】解：设提速前的列车速度为．则：．解之得：．经检验，是原方程的解．所以，提速前的列车速度为．因为．所以可以再提速．【点评】考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．31．（2022春•闵行区校级月考）若、两地相距30千米，甲、乙两人分别从、两地相向而行，且甲比乙早出发2小时，如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？【分析】设甲的速度是每小时千米，则乙的速度是每小时千米，由题意：甲比乙早出发2小时，两人恰好在中点相遇．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设甲的速度是每小时千米，则乙的速度是每小时千米，根据题意，得：，整理，得：，解得：，，经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去．原方程的解是，则，答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．32．（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）【分析】（1）设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进米．由题意：现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．列出分式方程，解方程即可；（2）由每天的施工费用天数，列式计算即可．【解答】解：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进米，则现在每个月掘进米．根据题意，得：，整理，得：．解得：，．经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去．答：完成此项工程原计划每个月掘进300米．（2）（万元）．答：该工程队现在完成此项工程共需375万元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．33．（2022春•静安区期中）某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．那么甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？【分析】根据关键句子“甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天”找到等量关系列出方程求解即可．【解答】解：设甲厂每天加工件产品，则乙厂每天加工件产品，根据题意得：，解得，（负值舍去），经检验时是原方程的解且符合实际，则．答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品．【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．34．（2022春•长宁区校级期中）小王准备用60元钱采购某种商品，看到甲商店该商品的每件单价比乙商店便宜2元，因此这些钱在甲商店购买这种商品比乙商店多买5件，问：甲商店这种商品的单价是多少？可以买多少件？【分析】设甲商店这种商品的单价为元，则乙商店这种商品的单价为元，由题意：用60元钱在甲商店购买这种商品比乙商店多买5件，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设甲商店这种商品的单价为元，则乙商店这种商品的单价为元，由题意得：，解得：或（舍去），经检验，是原方程的解，且符合题意，则，答：甲商店这种商品的单价是4元，可以买15件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．35．（2022春•杨浦区校级期中）甲、乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了1倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用时间少小时，甲、乙两人原来每小时各加工多少个零件？【分析】设乙原来每小时加工个零件，则改进操作方法后乙每小时加工个零件，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时，列出分式方程，解分式方程，再利用甲的工作效率（乙加工300个零件所需时间，即可求出甲的工作效率．【解答】解：设乙原来每小时加工个零件，则改进操作方法后乙每小时加工个零件，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，在，答：甲每小时加工60个零件，乙原来每小时加工50个零件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．36．（2022春•普陀区校级期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成．求两队单独完成此项工程各需多少天？【分析】设甲队单独完成此项工程需天，则乙队完成此项工程需天，由题意：甲、乙两队合作，6天可以完成．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设甲队单独完成此项工程需天，则乙队完成此项工程需天，根据题意得：，解得：（不合题意舍去），，经检验得：是原方程的解，且符合题意，则，答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队完成此项工程需10天．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．37．（2022春•长宁区校级期末）某西红花种植基地需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务．求人工种植每小时种多少株西红花？【分析】设人工种植每小时种株西红花，则机械化种植每小时种株西红花，由题意：需要种植5000株西红花．最初采用人工种植，种植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，结果比原计划提前30小时完成任务，列出方程，解方程即可．【解答】解：设人工种植每小时种株西红花，则机械化种植每小时种株西红花，由题意得：，解得：或（不合题意舍去），经检验，是原方程的解，且符合题意，答：人工种植每小时种50株西红花．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式方程．38．（2022春•静安区期中）某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积在原计划的基础上增加，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间实际完成绿化实际．设原计