考题猜想06 八年级期中必刷题（压轴必刷48题13种题型）（原题版）

专题06八年级期中必刷题（压轴必刷48题13种题型专项训练）一．利用特殊四边形的性质与判定解决多结论问题（共5小题）1．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF，交AC于点M，连接DE，BO．若∠BOC=60°②四边形BFDE是菱形；③BF垂直平分线段OC；④BE=3AE．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（22-23八年级下·贵州安顺·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E、F分别是边BC、CD上的动点（点E、F不与线段BC、CD的端点重合），BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E、F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是12；③四边形OECF的面积始终是1；④至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+3；所有正确结论的序号是（

A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若AE=AF=42，BF=10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为22；④S△ABF4．（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC<2

5．（2021·山东菏泽·一模）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）且AM<AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=2③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．

二．折叠问题综合（共5小题）6．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠；顶点E落到点E处，BE交AD于点F．(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，O为BD的中点，FO的延长线交BC于G，连接DG，①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点Dʹ处，MD'与BC交于点【猜想】（1）请直接写出线段MN、CN的数量关系______．【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B（2）若CD=4，MD=8，求（3）猜想MN、EM、MC的数量关系，并说明理由；8．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．(1)问题探究：如图1，作DD'⊥MN，交AB于点D(2)问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D'恰好落在AB上，点C的对应点为点C'，若BD'=129．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为AB边上一点，F为AD边上一点，连接CE、CF，分别将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．(1)如图1，若F为AD边的中点，AB=BC=6，点G与点H重合，则∠ECF=°，BE=；(2)如图2，若F为AD的中点，AB=5，BC=4，求BE的长．(3)AB=5，AD=3，若F为AD的三等分点(图仅供参考)，请直接写出BE的长．10．（21-22八年级下·江苏无锡·期中）已知，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．(1)以点B为坐标原点，将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，点C、A分别在x轴、y轴上（如图1），沿对角线BD折叠该矩形，点A落在点E处，DE交x轴于点F，求过点F并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式；(2)以对角线BD为边长作正方形DBQP，并将该正方形绕点D旋转，记作正方形DB1Q1P1（如图2），DB1交边BC于点M，B1Q1①求证：MN=DH；②正方形DBQP在旋转过程中，当点B对应的点B1恰好落在线段QP1上时，求线段Q三．与特殊四边形有关的最值问题（共4小题）11．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA=AB=4，且∠OAB=60°．(1)如图1，求直线AB的解析式；(2)如图2，将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A'B'，当△CA'B'为直角三角形时，在x(3)如图3，将线段OC绕点O顺时针旋转角度α（0°≤α≤180°），记旋转中的线段OC为OC'，在旋转过程中，设线段OC'所在直线与直线BC交于点P，与直线AC交于点Q，是否存在角α，使得△12．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN=60°，连接MN．

(1)△AMN是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．(2)在M、N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由．13．（21-22八年级下·江苏南京·期中）如图1，∠A=∠B=∠C=∠D=∠=∠F=90°，AB、EF、CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线．(1)下列四副图中，直线L是该“L图形”等积线的是_________(填写序号)(2)如图2，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过MN中点O的直线分别交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ(填“是”或“不是”)该图形的等积线．(3)在图3所示的“L图形”中，AB=6，BC=10，AF=2．①若CD=2，在下图中画出与AB平行的等积线l(在图中标明数据)②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的最大值；③如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为．14．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图1，在正方形ABCD中，AD=4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG、CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α0°<α<90°(1)如图2，在旋转过程中，判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．四．与四边形有关的动点问题（共5小题）15．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=10，BC=24，CD=82，∠C=45°，点P(1)当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；(2)点P在边BC上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．16．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=6cm，AD=14cm，BC=20cm，∠ABC=90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．17．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）四边形ABCD是正方形，点G、H分别是AB和CD上的动点，将四边形GBCH沿GH翻折，点B和点C的对称点分别是E和F．(1)如图1，若点E在AD上，求证：∠EBC=∠BEF；(2)若点E恰好是AD的中点．①如图2，当正方形的边长为4时，求AG的长；②如图3，若EF交CD于点P，连接GP，判断GP、18．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）数学实验：对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图1，①将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．提出问题：（1）观察所得到的∠ABM，∠MBN和∠NBC，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．变式拓展：如图2，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕PQ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在PQ上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BH、线段BA′；提出问题：（2）已知AB=DC=PQ=10，AD=BC=16，求AH的长．（3）若点G是线段PQ上一动点，当△ABG周长最小时，QG=________．19．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，已知正方形ABCD的边长为16，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出发，沿着A→B→C→D运动到A点时停止，设点P经过的路程为x，△APD的面积为y．(1)如图2，当x=4时，y=______；如图3，当点P在边BC上运动时，y=______；(2)当y=24时，求x的值；(3)若点E是边BC上一点且CE=6，连接DE．①在正方形的边上是否存在一点P，使得△DCE与△BCP全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．②点P在运动过程中，△PBE为等腰三角形，求出此时x的值．五．平行四边形有关的存在性问题（共3小题）20．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=2，OC=4，直线y=−12x+2过A点，且与y(1)求点A、点B的坐标；(2)试说明：AD⊥BO；(3)若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA=4，OB=3，AD=6，E是线段OD的中点．(1)求出C，D的坐标；(2)平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线y=−2x+6与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．

(1)求出这两条直线的交点A的坐标；(2)在直线y=x上是否存在一点P，使△ACP的面积等于9？(3)点E为OB的中点，点D从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向移动，过点D作y轴的平行线，与直线y=−2x+6相交于点F，与直线y=x相交于点G，点D的运动时间是t秒．试问以O、E、F、G为顶点的四边形能否是平行四边形？如果能，求出所有t的值；如果不能，请说明理由．六．矩形有关的存在性问题（共3小题）23．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）如图，已知直线AB：y=−34x+6交y轴于点A，交x轴于点B，直线AC交x轴于点C（3(1)点A的坐标为，点B的坐标为_______；(2)如图1，作射线BD∥y轴，交直线AC于点D，请说明：AD平分∠BAO(3)点P为直线AB上的一个动点，连接CP，若S△APCS△BPC(4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．24．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C4,22，现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转（0°<∠EOB<180°）得到矩形OEFG，点B、C、D的对应点分别为点E、F、

(1)如图1，当点E落在边CD上时，求直线FG的函数表达式；(2)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M，求线段MG的长度；(3)如图3，设点P为边FG的中点，连接PE，在矩形OBCD旋转过程中，点B到直线PE的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．25．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α(0°<α<180°)，得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．(1)如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为______；(2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC．①求证：△ACD≌△CAE；②求线段DH的长度．(3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．七．菱形有关的存在性问题（共3小题）26．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A10,0，C0,3，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为

(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在线段PB上有一点M且PM=5，直接写出四边形OAMP的周长的最小值，并在图上画图标出点M的位置，27．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标−4,12，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90∘得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H

(1)求直线BD的解析式；(2)求△BOH的面积；(3)点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．28．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8．点E、F、G、H分别在AD、BC、AB、CD上，且AE=CF，AG=GH．

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)当AE=5时，是否存在四边形EGFH是菱形？若存在，请求出DH的长；若不存在，请说明理由；(3)对于AD上的任意一点E，是否存在一个四边形EFGH是菱形？若都存在，请加以证明；若AD上只有一部分点存在，请求出存在四边形EFGH是菱形时，AE长的取值范围．八．正方形有关的存在性问题（共3小题）29．（20-21八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D坐标分别为（0，3）、（7，0）、（4，3）、（0，2），连接AC和BC，点P为线段AC上一从左向右运动的点，以PD为边作菱形PDEF，其中点E落在x轴上．（1）则BC的长为，∠OBC的度数为°；（2）在点P运动过程中，是否能使得四边形PDEF为正方形？若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点P运动到使得菱形PDEF的顶点F恰好在边BC上时，求出此时点F的坐标．（4）若要使得顶点F不落在四边形OACB外，请直接写出菱形PDEF的对角线交点的最大运动路径长．30．（21-22八年级下·河北沧州·期末）如图，在平而直角坐标系中．直线l：y=−2x+10k≠0经过点C3,4，与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为(8，4)，连接OD，交直线l于点M，连按OC，CD，(1)填空：点A的坐标为_________；点M的坐标为______；(2)求证：四边形OADC是菱形；(3)直线AP：y=−x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为_______；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．31．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（0<t<4）．(1)求点B到线段AC的距离；(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．九．其它存在性问题（共3小题）32．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2,−4），B（4,−2）．C是第四象限内的一个格点，由点(1)填空：C点的坐标是，△ABC的面积是；(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB(3)请探究：在y轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2.5倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．33．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E、F依次为AD、CD边上的动点，且分别从A、D出发，以相同的速度同时向终点D、C运动，连接BE、AF相交于H．(1)试问：在整个运动过程中，BE、AF之间的关系是否保持不变，并请说明理由；(2)AB的中点为G，在整个运动过程中，是否存在某一时刻．使DH+HG=2+2234．（21-22八年级下·江苏徐州·阶段练习）情境：如图1，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′、A′D′与正方形ABCD相邻两边的交点分别为点E、F，A′B′>2．(1)【问题】求证：OE=OF；(2)【探究】将正方形A′B′C′D′绕点A′旋转，两个正方形重合部分的形状会随之发生变化，①当正方形A′B′C′D′的边A′B′、A′D′与正方形ABCD的对角线共线时，如图2，此时两个正方形重合部分为等腰直角三角形，重合部分面积为___________；②当旋转至其他任意位置时，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？若不变，请求出重合部分面积．(3)【拓展】连接EF，在旋转过程中，EF是否存在最小值，若存在，请在图3中画出示意图，并直接写出EF的最小值．十．正方形45°半角模型（共5小题）35．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请直接写出猜想：________________________．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．(3)图3中若AB=5，MN=8，求△AMN的面积．36．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，动点P从B出发，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB

(1)若四边形ABCD是正方形，直线PB'与直线CD相交于点M，连接①如图2，当点P在线段BC上(不包括B和C)，说明结论“∠PAM=45°”成立的理由．②当点P在线段BC延长线上，试探究：结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由．(2)在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，当△PCB'为直角三角形时，求37．（2019·山东德州·二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．则有结论(1)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是(2)若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论38．（19-20九年级上·江西上饶·期中）探究：(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE，DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：______．(2)如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=1(3)在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E，F运动到BC，CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．十一．与特殊四边形有关的新定义问题（共3小题）39．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）问题背景定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是180°，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，且∠A+∠D=180°，则△ABC与△DBC是关于(1)初步思考：如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E为△ABC外两点，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC为等边三角形．则(2)实践应用：如图3，在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．点E在AB边上，点F在AD边上，若△BEF与△BCF是关于BF互补三角形，试求(3)思维探究：如图4，在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．点E是线段AB上的动点，点P是平面内一点，△BEP与△BCP是关于BP的互补三角形，直线CP与直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出40．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ABCD．判断四边形ABCD的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图2，已知四边形ABCD纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图3，AD是锐角△ABC的高，将△ABD沿边AB翻折后得到△ABE，将△ACD沿边AC翻折后得到△ACF，延长EB,FC交于点G．①若∠BAC=50°，当△BCG是等腰三角形时，请直接写出∠BAD的度数；②若∠BAC=45°，BD=2,AD=5,AE=EG=FG，求CD的长．41．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）定义：平面内一点P到点A，点B，点C三个点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2=PC2，则称点P为

(1)若点P为A，B，C三点关于点C的勾股点，且PA=1，PB=2，则PC=；(2)如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC，AD=AE，点D为边BC上一动点．求证：点D为B，C，E三点关于点E的勾股点；(3)如图2，△AEC为直角三角形，∠EAC=90°，点P为A，B，C三点关于点C的勾股点，连接PA，PC，作PD⊥AC，垂足为点B，交EC于点D，连接BE，且BE∥AP，AP=5，EC=8，试求十二．与特殊四边形有关的规律探索问题（共3小题）42．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）探究规律：如图1，点P为平行四边形ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，平行四边形ABCD的面积记为S，试探究S1（2）解决问题：如图2矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=CG=3，AH=CF=2，点P为矩形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S1，S2，求43．（22-23八年级下·江苏·期末）解答题(1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）](2)如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D(3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？

44．（21-22八年级下·安徽淮北·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）【问题发现】：如图1，D是等边△ACB的边BC上的一动点，其中等边△ACB的边长为10，以AD为边在AB上方作等边△ADE，小明认为AD有最小值，那么AD的最小值是___________．（2）①【问题探究】：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为___________；线段BE与AD之间的数量关系是___________．②【问题探究】：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．【问题解决】（3）如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，十三．与特殊四边形有关的阅读材料问题（共4小题）45．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.易证得EF=BE+FD.大致证明思路：如图2，将延长CB至点H，使BH=DF，连AH，可证△ADF≌△ABH，再证△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF.任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.46．