勾股定理与数学思想及数学方法（解析版） 八年级数学下册专题训练

专题03勾股定理与数学思想及数学方法（解析版）类型一方程思想（一）单勾股列方程技巧1利用等腰三角形转移线段1．（2023春•荔城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．【思路引领】由勾股定理先求出BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=A连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x=25∴AE=25【总结提升】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质．2．（2022秋•芙蓉区校级月考）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．【思路引领】（1）先根据折叠的性质得出∠1＝∠2，再由矩形的对边平行，内错角相等，所以∠1＝∠3，然后根据角之间的等量代换可知DE＝BE；（2）设DE＝x，则AE＝8﹣x，BE＝x，在△ABE中，运用勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再根据三角形的面积公式，即可求得△BED的面积．【解答】（1）证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BE＝DE；（2）解：设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，在直角△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝DE＝x，∴BE2＝AB2+AE2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴△BED的面积=12DE×AB【总结提升】此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后对应边、对应角相等．技巧2利用全等三角形转移线段3．（2021春•重庆期中）如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝46，求FD的长．【思路引领】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可．【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，AD＝BC＝46，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE＝26，由折叠的性质可得，EG＝AE，BG＝AB＝6，∠ECF＝∠A＝90°，∴ED＝EG，在Rt△EGF和Rt△EDF中，EG=EDEF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴FD＝FG，设FD＝a，则GF＝a，FC＝CD﹣FD＝6﹣a，∴BF＝BG+FG＝6+a，在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，即（46）2+（6﹣a）2＝（6+a）2，解得a＝4，即FD＝4，故答案为：4．【总结提升】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED＝EG是解题的关键．双勾股列方程技巧1利用公共边列方程4．（2018春•淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为垂足，求△ABC的面积．【思路引领】设BD为x，利用勾股定理得出方程解答即可．【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，则152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，则AD=1所以△ABC的面积=1【总结提升】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．5．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝4，求BC边上的高AD的长．【思路引领】设CD＝x，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，则152﹣（4+x）2＝132﹣x2，解方程求出CD＝5，则可得出答案．【解答】解：设CD＝x，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴152﹣（4+x）2＝132﹣x2，解得x＝5，∴CD＝5，由勾股定理得，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣52＝144，∴AD＝12．【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．技巧2利用相等边列方程6．（2023春•邻水县校级期末）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．则E应建在距A15km？【思路引领】利用DE＝CE，再结合勾股定理求出即可．【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得：∵DE＝CE，∴AD2+AE2＝BE2+BC2，故102+x2＝（25﹣x）2+152，解得；x＝15．故答案为：15．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，利用DE＝CE得出是解题关键．7．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长．【思路引领】设AM＝x，连接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设AM＝x，连接MB，MB'，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，∵B'C＝3，∴DB'＝6，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，由折叠的性质得：MB＝MB'，∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，即92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AM＝2．【总结提升】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．类型二分类讨论思想（一）根据三角形高位置的不确定性分类讨论9．（2023春•大观区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则BC的长为10或6．【思路引领】分两种情况考虑，如图所示，分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD=AB2−A此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；如图2所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD=AB2−A此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，则BC的长为6或10．故答案为：10或6．【总结提升】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．（2022秋•海阳市期末）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3，AD＝1，AB＝2AC，则BD的长为3或5【思路引领】分△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形两种情况，根据勾股定理计算即可．【解答】解：当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，由勾股定理得，AC=C∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3；当△ABC是钝角三角形，如图2，AC=A∴AB＝4，∴BD＝AB+AD＝4+1＝5，综上：BD的长为3或5，故答案为：3或5．【总结提升】本题考查的是勾股定理，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．（二）根据动点位置的不确定性分类讨论8．（2022秋•冠县期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（）A．6或23 B．6或43 C．23或43 【思路引领】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【解答】解：如图1：当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；如图2：当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP＝BC＝6；如图3：当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC=PB=如图4：当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°+30°＝90°，∴PC=BC故选：D．【总结提升】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线AC上的不同位置．11．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝2或2或22时，△OAP是等腰三角形．【思路引领】分三种情况，当OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解答】解：当△AOP为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP=2②如图，OA＝OP＝2；③如图，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP=AO2综上所述，OP的长为2或2或22．故答案为：2或2或22．【总结提升】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．（三）根据等腰三角形要和底的不确定性分类讨论12．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE=26，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF（1）求AB的长；（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．【思路引领】（1）证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE=26∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴AB=AC2（2）①当BF＝BE＝4时，AF＝AB﹣BF＝52−②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，设BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝22（负值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝52−22=3③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF=BE2∴AF＝AB﹣BF＝52−4综上所述，AF的长为52−4或32或2【总结提升】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．类型三构造等腰直角三角形或含30°角的直角三角形技巧：①等腰直角三角形三边之比1∶1∶2；②含30°的直角三角形三边之比1∶1∶313．（2020春•涪城区校级月考）已知∠BCD＝α，∠BAD＝β，CB＝CD．（1）如图1，若α＝β＝90°，求证：AB+AD=2AC（2）如图2，若α＝β＝90°，求证：AB﹣AD=2AC（3）如图3，若α＝120°，β＝60°．求证：AB+AD=3AC（4）如图4，若α＝β＝120°，探究AB，AD，AC之间的关系．【思路引领】（1）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE，证明△ADC≌△EBC，根据全等三角形的性质得到AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论；（2）在线段AB上截取BF＝AD，连接CF，证明△CAD≌△CFB，根据全等三角形的性质得到CA＝CF，∠ACD＝∠FCB，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论；（3）延长AB至M，使BM＝AD，连接CM，作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质解答；（4）在线段AB上截取BN＝AD，连接CN，仿照（2）（3）的方法，得到答案．【解答】证明：（1）如图1，延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE，∵α＝β＝90°，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，在△ADC和△EBC中，AD=EB∠ADC=∠EBC∴△ADC≌△EBC（SAS）∴AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，∵∠ACD+∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACB＝90°，即∠ACE＝90°，∴△ACE为等腰直角三角形，∴AE=2AC∴AB+AD＝AB+BE＝AE=2AC（2）如图2，在线段AB上截取BF＝AD，连接CF，∵∠BCD＝∠BAD，∠BHC＝∠DHA，∴∠B＝∠D，在△CAD和△CFB中，AD=FB∠D=∠B∴△CAD≌△CFB（SAS）∴CA＝CF，∠ACD＝∠FCB，∵∠ACD+∠DCF＝90°，∴∠FCB+∠DCF＝90°，即∠ACF＝90°，∴△ACF为等腰直角三角形，∴AF=2AC∴AB﹣AD＝AB﹣BF＝AF=2AC（3）如图3，延长AB至M，使BM＝AD，连接CM，作CH⊥AB于H，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠MBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠MBC，由（1）可知，△ADC≌△MBC，∴CA＝CM，∠ACD＝∠MCB，∴∠ACM＝120°，∴∠CAH＝30°，∴CH=12∴AH=AC∴AM＝2AH=3AC∴AB+AD＝AB+BM＝AM=3AC（4）AB﹣AD=3AC理由如下：在线段AB上截取BN＝AD，连接CN，由（2）（3）可知，AB﹣AD＝AB﹣BN＝AN=3AC【总结提升