《智能传感器系统》课件第9章

第9章主成分分析及其在智能

传感器系统中的应用9.1主成分分析法9.2

PCA算法在消除传感器漂移中的应用

9.1主成分分析法

9.1.1二维空间中的PCA

PCA的操作涉及到多维空间中的投影概念。不失一般性，为说明简单起见，这里以二维空间中的主成分分析为例来说明PCA的算法思想。假定在二维空间中有一组测试点(y1i,y2i)(i＝1,2,…,m)，如图9-1所示。图9-1二维空间中的PCA示意图如果将二维数据降至一维数据，也就是将二维空间的点投影到一维空间的一条线上，在没有任何约束条件的情况下，其投影的方向有无穷多个，这是没有意义的。PCA操作采用如下约束条件：

在一维空间中的这条直线必须包含原数据的最大方差，即沿着这条直线使原数据的方差达到最大。图9-1中点i(i＝1,2,…,7)向直线p1投影为点i′(i′＝1,2,…,7)，这些点的重心为O，其分布可用它们到中心点O的距离的平方和表示。原数据点的距离分布为

S2=|O1|2+|O2|2+…+|O7|2

（9-1）

如果用p1上的投影表示，则

|Oi|2=|Oi′|2+|ii′|2

（9-2）

所以

S2=|O1′|2+|O2′|2+…+|O7′|2

+|11′|2+|22′|2+…+|77′|2

（9-3）

PCA选择投影直线p1使式(9-3)中S2的值最大。这条直线也正好是这些原数据点的最好拟合线，它使得所有的原始数据点到p1直线上对应投影点垂直距离的平方和最小。称p1为主成分空间，图中箭头表示该空间中的单位向量，即载荷向量。如点1和点7在p1空间中的投影点分别为1′和7′，它们在p1空间中的坐标分别为t1和t7，即在p1空间中用载荷向量对投影点距重心点距离度量的得分。

上述例子中，使用一维新变量p1表征二维的原数据

(y1i,y2i)(i＝1,2,…,m)的结构特征，新变量包含了原数据中绝大部分的信息特征，称为第一主成分。其实，PCA对原变量的变换得到的新变量就是原变量的线性组合，如图9-1所示。原坐标系的原点经过转换后，放到重心O处。根据几何规则，新变量可以由原数据以线

性组合的形式表示：（9-4）（9-5）其中a2+b2=1，c2+d2=1；主成分1为，主成分2为。9.1.2PCA算法

假设是一个n×m的数据矩阵，其中每一列对应一个变量，每一行对应一个样本。例如，表8-1表示的压阻式压力传感器标定数据中，m=3，表示压力、温度和电流三个传感器，n=28,表示共有28组样本。x可以分解为m个向量的外积之和，即（9-6）其中ti∈Rn为得分向量，pi∈Rm为载荷向量。x的得分向量也叫x的主成分。式（9-6）可以写成矩阵形式：

x=TPT

（9-7）其中T=［t1,t2,…,tn］为得分矩阵，P=［p1,p2,…,pn］为载荷矩阵。各个得分向量之间是正交的，即对任何i和j，当i≠j时，满足tTitj=0。各个载荷向量之间也是互相正交的，同时每个载荷向量的长度都为1，即（9-8）将式(9-6)两侧同时右乘p1，可以得到下式（9-9）将式(9-8)代入式(9-9)，可得：

t1=xp1

（9-10）式(9-10)说明，每一个得分向量实际上是数据矩阵x在这个得分向量t1相对应的载荷向量方向p1上的投影。向量t1的长度反映了数据矩阵x在p1方向上的覆盖程度。它的长度越大，x在p1方向上的覆盖程度或变化范围越大。如果将得分向量按其长度做以下排列：

‖t1‖>‖t2‖>…>‖tm‖

那么载荷向量p1将代表数据x变化最大的方向。p2与p1垂直并代表数据x变化的第二大方间，pm将代表数据x变化最小的方向。当矩阵x中的变量间存在一定程度的线性相关时，数据x的变化将主要体现在最前面的几个载荷向量方向上，数据矩阵x在最后面的几个载荷向量上的投影将会很小，它们主要是由于测量噪声引起的。这样就可以将矩阵x进行主元分解后写成下式（9-11）式中E为误差矩阵，代表x在pk+1到pm等载荷向量方向上的变化。很多实际应用中，k往往要比m小得多。

9.2PCA算法在消除传感器漂移中的应用

传感器特性漂移，表现为传感器性能不稳定，这种现象普遍存在。传感器性能不稳定已成为实时在线监测系统的瓶颈。例如在电力系统中，如果一个实时在线监测系统在一年中出现1~2次误报，那么这个监测系统将是不可信任而必须撤出的。因此，实时在线监测系统对其中的传感器的稳定性提出了更严格的要求，务必杜绝因传感器本身特性漂移而产生误报的现象。冗余法是传感器故障诊断及漂移消除的一种有效方法。其基本思路是：不去探究引起传感器漂移的是哪种干扰量，以及干扰量对传感器漂移产生怎样的影响。监测一个参量本来只需要一个传感器，而冗余法则采用多个目标参量相同的传感器（至少三个）来监测同一个被测量，建立监测同一被测量的多传感器系统，其系统框图如图9-2所示（同第4章图4-11）。需要对多路同种传感器的输出信号进一步进行数据融合处理，以识别并克服传感器的漂移。图9-2基于冗余法的三传感器（监测一个参量）的智能传感器系统9.2.1PCA算法实现传感器故障检测的思想

1．故障检测的判断依据

（1）计算平方预报误差。

测得一组数据向量x=［x1,x2,…,xm］，其中xi为第

i个传感器的输出数据，则利用主元分析技术可获得向量x的近似值或估计值为式中：C=PhPTh，Ph=［p1,p2,…,ph］，h为选定的主元个数；t为PCA主元向量，且：t=xPh真实值x和估计值之差为则平方预报误差SPE为

SPE(x)=‖x‖2(9-13)

SPE统计量代表的是数据中没有被PCA模型所解释的变化，在正常情况下，SPE的值比较小。当某个传感器发生故障时，该传感器输出与阵列中其它传感器输出之间的联关系将发生改变。（2）确定SPE控制限。

传感器阵列在正常情况下的输出数据矩阵x∈Rn×m，其中，n为数据组数（或样本数），m为传感器个数。X

的表达式如下：

x=［x1,x2,…,xm］

式中xi为第i个传感器的输出数据。首先利用x建立主元分析模型，得到选取主元所对应的载荷矩阵Ph，然后依次假设传感器1,2,…,m发生漂移，漂移量为a%，则可得到m个数据矩阵xi(i=1,2,…,m)，表达式如下：

xi=［x1,x2,…,

xi－1,xi+a%*L,xi+1,…,xm］(9-14)

式中：L为传感器的量程。

接着计算数据矩阵xi的SPE值，则可得到n×m个SPE值，对这些SPE值求平均，得到的平均值可认为是传感器漂移a%时的SPE值的控制限。

2．传感器故障检测方法

传感器故障检测主要分两部分：

(1)建立PCA传感器模型，以反映传感器的正常运行

状况。

①在传感器的量程范围内，收集传感器在正常情况下的输出数据：x=其中：n为样本数，m为传感器个数。②对x进行如下归一化处理，目的是消除由于不同量纲所造成的虚假变异影响：(9-15)式中：M=［m1,m2,…,mm］为变量x的均值；diag(·)为对数矩阵；对角元素为变量的标准差的倒数，即③对xs进行奇异分解：(9-16)式中：σiui记为第i个主元的分向量ti，vi为x的第i个载荷向量。④计算xs的特征值：(9-17)⑤计算解释度：(9-18)⑥根据解释度大小确定主元个数。

⑦确定SPE的控制限。

(2)利用PCA模型进行传感器故障检测。

①采集传感器阵列的当前输出数据x=[x1,x2,…,xm］，其中xi为第i个传感器的输出数据。利用已建立的PCA模型计算x的近似值（或称为估计值）：（9-19）式中：C=PhPTh,Ph=［p1,p2,…,ph］,h为选定的主元个数。②计算实际采样值与估计值之差：(9-20)则SPE值为

SPE(x)=‖Δx‖2

③比较当前SPE值与SPE值控制限，若SPE值大于SPE值控制限，则认为传感器阵列中有传感器发生故障。④当前SPE值超出了SPE值控制限，计算各传感器对SPE的贡献量（即比较式(9-20)中的Δxi的绝对值的大小），并认为其中贡献量最大的传感器发生了故障。9.2.2［示例9-1］建立传感器阵列、获取关联

数据与漂移数据

1.模拟传感器阵列系统设计

模拟传感器阵列原理图如图9-3所示。采用一个分压器代表一个传感器，设置不同的分压比代表传感器之间的差异，电源电压Uin模拟被测参量；改变电源电压Uin，代表被测参量改变，且各传感器输入相同的被测量;各个分压

器的输出电压Uout代表传感器的输出，不同的分压比由式（9-21）中的电阻R1与电阻R2阻值确定电位器的满量程为Rx+Ry，由式(9-21)可知，通过调节电位器，即改变Rx和Ry两者之间的电阻比，模拟传感器的漂移。这样，传感器的漂移可以不受时间的限制而人为地控制。图9-3模拟传感器阵列原理图图9-3模拟传感器阵列原理图

2．标定实验与关联数据的获取

模拟传感器系统的标定实验为：在多个不同电压Uin测量各个分压器（模拟传感器阵列）的输出电压Uout，即得相对同一输入电压Uin（代表被测参量）的关联数据，也即

模拟传感器阵列的输入输出特性。

图9-4所示特性与如表9-1所示标定数据为三个实际电压传感器的输入输出特性。图9-4实际电压传感器阵列各传感器输入输出特性曲线

3．标定数据矩阵描述

设传感器阵列的标定（输出）数据矩阵用x表示，x∈R128×3，其中，128为数据组数（或称样本数），3为传感器个数，即x=其中:n=128;xij表示第i组数据、第j个传感器的标定值。

4.漂移数据的获得

1）漂移实验1

用模拟传感器阵列对5V电压进行测量。在第67次采样时刻，将被测电压Uin调整到8V，用以模拟被测量改变；从第172次采样时刻起，调节模拟传感器1中的电位器，使传感器1发生漂移；从第290次采样时刻起，调节模拟传感器3中的电位器，使传感器3发生漂移，各传感器的输出结果如图9-5所示。图9-5各传感器输出与获得的漂移数据

2）漂移实验2：模拟传感器阵列输出电压含有高斯白噪声

被测电压Uin为5.5V，高斯白噪声的均值为0，标准差为0.05。从第140次采样时刻起，调节模拟传感器2中的电位器，使传感器2发生漂移；从第219次采样时刻起，改

变调节传感器2中的电位器，使传感器2的漂移规律发生改变，各模拟传感器的输出结果如图9-6所示。图9-6含有高斯白噪声的各传感器输出结果与漂移数据9.2.3［示例9-2］传感器发生漂移的识别

1.建立传感器漂移PCA模型

仿照表9-1的格式将模拟传感器标定的128个数据构成的矩阵x进行主元分析，获取如下参数：

均值M＝［5.51594.29552.9154］

标准差s＝［5.69894.74773.7094］

利用式(9-15)对x

进行归一化处理得到数据矩阵xs，对xs进行奇异分解可得：xs的特征值向量

λ＝［8547 230.81 2.973］

xs的载荷矩阵三个主元的解释度为97.338%，2.629%，0.034%，因此，确定主元个数为1。第一主元所对应的载荷矩阵为

Ph=［－0.68987－0.57919－0.4343］T

2.漂移传感器的检测与辨识

根据式（9-19）计算漂移数据的估计值x。

根据式（9-20）计算实际采样值与估计值之差。

求取SEP并与SPE的控制限5.3×10－5相比较，大于控制限的传感器为漂移传感器，在实际应用中不考虑其输出数值，取消对漂移传感器的数据检测。

3.检测结果

漂移实验1的检测结果如图9-7所示，在第187次采样时刻，SPE值超出控制限；在第317次采样时刻，SPE值超出控制限；而在第70次采样时刻，由于传感器输出的变化是由正常输入响应引起的，故未发生报警。图9-8给出了上述两个采样时刻各传感器对SPE的贡献量。图9-7漂移实验1传感器漂移报警图（1）图9-8给出了上述两个采样时刻各传感器对SPE的贡献量。由图可知，在第187次采样时刻，传感器1对SPE的贡献量最大，即传感器1发生了漂移；在第317次采样时刻，传感器3对SPE的贡献量最大，即传感器3发生了漂移。该检测结果与实际漂移数据相符。图9-8漂移实验1传感器漂移报警图（2）

4.程序清单

clc%清除内存中的所有变量和函数

clear

%主元分析程序

%载入传感器阵列的标定数据。其中，sample.txt为正常工作的传感器阵列的标定数据，数据以矩阵形式存储在sample.txt文件中

data=load（′sample.txt′）；

%对data进行奇异分解，u为归一化矩阵；s为与data维数相同且降序排列的非负对角矩阵；load为载荷矩阵

［u,s,load］=svd(data);

%描述矩阵s的行数和列数，其中，row为s的行数；column为s的列数

［row,column］=size(s);

for(i=1:column)

lmda(i)=s(i,i)^2;%计算特征向量

end

%定义主元矩阵

score=［］;

ratio_temp=0;

fori=1:column

score_temp=u(:,i)*s(i,i);

score=［scorescore_temp］;%计算主元矩阵

ratio_temp=lmda(i)+ratio_temp;

end

%定义解析度

present_ratio=［］;

forjj=1:column

ratio=lmda(jj)/ratio_temp;

present_ratio=［present_ratioratio］;%计算解析度

end

%传感器漂移检测

%漂移实验1

%载入漂移实验1中各传感器输出数据

drift1=load(′drift1.txt′);

［row1column1］=size(drift1);

%利用PCA模型计算传感器阵列