人教版高中数学选择性必修第一册-空间直角坐标系-课时作业【含解析】

课时作业4空间直角坐标系【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．点M(－1,3，－4)在坐标平面Oxy，Ozx，Oyz内的射影的坐标分别是()A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)2．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；②点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，－2，－3)；③点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确说法的个数是()A．3 B．2C．1 D．03．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不确定4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)5．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与点B的坐标相同B．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与点A的坐标相同C．向量eq\o(AB,\s\up16(→))与向量eq\o(OB,\s\up16(→))的坐标相同D．向量eq\o(AB,\s\up16(→))与向量eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))的坐标相同6．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，向量a在基底{eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AA1,\s\up16(→))}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(DD1,\s\up16(→))}下的坐标为()A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)7．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，－2)关于点(－1，0,1)的对称点是()A．(－3，－2,4) B．(3，－2，－4)C．(－3,2，－4) D．(－3,2,4)8．(多选题)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是()A．点(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(2,1,4) B．点(3,2,4)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2,4)C．点(1,2,3)与点(3,2,1)的中点坐标是(2,2,2) D．点(1,2,0)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－1,2,0)二、填空题9．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为10.如图所示，在长方体OABC­O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是11．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为所三、解答题12．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．13．已知A(3,1,3)，B(1,5,0)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．14．已知{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，且a＝－2i＋2j－2k，b＝i＋4j－6k，c＝xi－8j＋8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为()A．(8，－8,8) B．(－8，－8,8)C．(－6，－8,8) D．(6，－8,8)15．空间直角坐标系中，点A(a,3,4)和点B(－1，b，c)关于点C(1，－3,2)对称，则a＋b＋c＝16．已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))的坐标．课时作业4空间直角坐标系【解析版】时间：45分钟一、选择题1．点M(－1,3，－4)在坐标平面Oxy，Ozx，Oyz内的射影的坐标分别是(A)A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)2．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；②点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，－2，－3)；③点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确说法的个数是(C)A．3 B．2C．1 D．0解析：在①中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故①不正确；在②中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故②不正确；在③中，由对称的性质得与点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2，－3)，故③正确，故选C.3．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为(D)A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不确定解析：eq\o(AB,\s\up16(→))＝－i＋j－k，只能确定eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定，故选D.4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(A)A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,12,10) D．(4,3,2)解析：eq\o(OA,\s\up16(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故选A.5．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(D)A．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与点B的坐标相同B．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与点A的坐标相同C．向量eq\o(AB,\s\up16(→))与向量eq\o(OB,\s\up16(→))的坐标相同D．向量eq\o(AB,\s\up16(→))与向量eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))的坐标相同解析：因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B，C都不正确；由于eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))，所以D正确，故选D.6．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，向量a在基底{eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))，eq\o(AA1,\s\up16(→))}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(DD1,\s\up16(→))}下的坐标为(B)A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)解析：∵a＝2eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－3eq\o(AA1,\s\up16(→))＝2eq\o(DC,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))－3eq\o(DD1,\s\up16(→))＝－eq\o(DA,\s\up16(→))＋2eq\o(DC,\s\up16(→))－3eq\o(DD1,\s\up16(→))，∴向量a在基底{eq\o(DA,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(DD1,\s\up16(→))}下的坐标为(－1，2，－3)，故选B.7．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，－2)关于点(－1，0,1)的对称点是(D)A．(－3，－2,4) B．(3，－2，－4)C．(－3,2，－4) D．(－3,2,4)解析：设对称点为(x，y，z)，根据中点坐标公式有eq\f(1＋x,2)＝－1，eq\f(－2＋y,2)＝0，eq\f(－2＋z,2)＝1，解得x＝－3，y＝2，z＝4，故对称点的坐标为(－3,2,4)，故选D.8．(多选题)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是(BCD)A．点(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(2,1,4) B．点(3,2,4)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2,4)C．点(1,2,3)与点(3,2,1)的中点坐标是(2,2,2) D．点(1,2,0)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－1,2,0)解析：对于A，∵在空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y，－z)，∴点(－2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(－2，－1，－4)．故A错误；对于B，∵在空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于z轴对称的点的坐标为(－x，－y，z)，∴点(3,2,4)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2,4)，故B正确；对于C，由中点坐标公式得：点(1,2,3)与点(3,2,1)的中点坐标是(2,2,2)，故C正确；对于D，∵在空间直角坐标系中，点(x，y，z)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－x，y，z)，∴点(1,2,0)关于平面Oyz对称的点的坐标为(－1,2,0)．故D正确．故选BCD.二、填空题9．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为(4，－8，3)，(－2，－3,7)．解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．10.如图所示，在长方体OABC­O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，1)).解析：由题意可知B1(2,3,2)．M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，1)).11．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(5,13，－3)．解析：由四边形ABCD是平行四边形知eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))，设D(x，y，z)，则eq\o(AD,\s\up16(→))＝(x－4，y－1，z－3)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(1,12，－6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝1，,y－1＝12，,z－3＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝13，,z＝－3，))即D点坐标为(5,13，－3)．三、解答题12．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．解：(1)∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴点A(0,0,0)，∵B在x轴的正半轴上，且|OB|＝4，∴B(4,0,0)，同理得：D(0,3,0)，A1(0,0,5)，∵C在坐标平面Oxy内，且BC⊥AB，CD⊥AD，∴C(4,3,0)，同理得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，且|CC1|＝|AA1|＝5，则点C1(4,3,5)．(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，∴CC1的中点坐标为Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，3，\f(5,2))).13．已知A(3,1,3)，B(1,5,0)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．解：(1)∵A(3,1,3)，B(1,5,0)，∴AB的中点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，\f(3,2)))，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－2,4，－3)，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\r(29).(2)A(3,1,3)，B(1,5,0)，P(x，y，z)，由PA＝PB得：eq\r(x－32＋y－12＋z－32)＝eq\r(x－12＋y－52＋z2)，整理得：4x－8y＋6z＋7＝0.14．已知{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，且a＝－2i＋2j－2k，b＝i＋4j－6k，c＝xi－8j＋8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为(A)A．(8，－8,8) B．(－8，－8,8)C．(－6，－8,8) D．(6，－8,8)解析：∵a，b，c共面，∴可设c＝λa＋μb，∴xi－8j＋8k＝λ(－2i＋2j－2k)＋μ(i＋4j－6k)，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2λ＋μ，,－8＝2λ＋4μ，,8＝－2λ－6μ，))解得x＝8.向量c的坐标为(8，－8,8)，故选A.15．空间直角坐标系中，点A(a,3,4)和点B(－1，b，c)关于点C(1，－3,2)对称，则a＋b＋c＝－6.解析：∵空间直角坐标系中，点A(a,3,4)和点B(－1，b，c)关于点C(1，－3,2)对称，∴由中点坐标公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(a－1,2)，,－3＝\f(3＋b,2)，,2＝\f(4＋c,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－9，,c＝0，))故a＋b＋c＝－6.16．已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))的坐标．解：过点A作AG垂直于平面BCD于点G，所以G为△BCD的中心，过点G作GF∥CD，延长BG交CD于点E，则E为CD的中点．以G为坐标原点，GF，GE，GA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，因为△BCD的边长为1，所以BE＝eq\f(\r(3),2)，GE＝eq\f(\r(3),6)，又eq\f(GF,CE)＝eq\f(2,3)，所以GF＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，又BG＝