人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理精讲精练同步训练

试卷第=page11页，总=sectionpages33页人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.考点三求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.知识点三求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念与判断1．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（）A． B．C． D．2．空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面3．若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A． B．C． D．题型二：空间向量基本定理的应用4．空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（）A．- B．- C．- D．-5．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（）．A． B． C． D．6．如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中为实数，则的值是（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题7．已知是空间的一个基底，若，则（）A．是空间的一组基底B．是空间的一组基底C．是空间的一组基底D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底8．点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（）A． B．C． D．9．在下列两个命题中，真命题是（）①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若，是两个不共线向量，而＝λ＋μ(λ，μ且λμ≠0)，则{，，}构成空间的一个基底．A．仅① B．仅② C．①② D．都不是10．如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则（）A． B． C． D．111．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（）A． B．C． D．12．下列结论错误的是（）.A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若､是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底D．若､､不能构成空间的一个基底，则､､､四点共面13．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（）A．B．C．D．14．设：，，是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件15．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（）A． B． C． D．16．已知在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，则（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题17．在空间四边形中，，，，且，则（）A． B． C． D．18．在三棱锥中，，N为中点，则（）A． B． C． D．19．在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B． C． D．20．如图，在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，作为空间的一组基底表示向量应为（）A． B．C． D．21．已知，，，，则向量与之间的夹角为（）.A． B． C． D．以上都不对22．给出下列命题：①已知，则；②、、、为空间四点，若、、不构成空间的一个基底，那么、、、共面；③已知，则、与任何向量都不构成空间的一个基底；④若、共线，则、所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．423．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（）A． B． C． D．或24．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（）A． B． C． D．二、多选题25．在以下命题中，不正确的命题有（）A．是、共线的充要条件B．若，则存在唯一的实数，使C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底26．关于空间向量，以下说法正确的是（）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角27．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（）A． B． C． D．28．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.则下列正确的是（）A． B．C．的长为 D．29．下列命题中，正确的命题有（）A．是共线的充要条件B．若则存在唯一的实数，使得C．对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底30．给出下列命题，其中正确的有（）A．空间任意三个向量都可以作为一组基底B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底三、填空题31．已知在正方体ABCD一中，点E为底面的中心，，，，，则=______，=_______，=_______．32．设且是空间的一组基底，给出下列向量组：①；②③④其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．33．如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________.34．如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，，则有序实数组（x，y，z）=________.35．已知为不共面的三个向量，，，若，则α，β，λ的值分别为________．36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足，，则有；③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．四、解答题37．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．（1）用向量表示，；（2）若，求实数的值．38．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.39．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.（1）用基底表示向量（2）化简，并在图中标出化简结果.40．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，i，j，k，试用基底{i，j，k}表示向量，.【答案详解】1．C【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；同理选项D中，共面，故D错误.故选：C2．D【详解】由空间基底的定义，三个向量不共面，但选项A，B，C三种情形都有可能使共面，只有D才能使这三个向量不共面.故选：D.【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题.3．C【详解】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，D：因为，所以向量是共面向量，因此不能构成一组基底.故选：C4．B【详解】解：因为，所以,为的中点，则，.故选：B.5．C【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，为的重心，可得，而，，所以，，所以，，因此，.故选：C.6．C【详解】因为，所以，故.故选：C.7．C假设，即，得，这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，故选：C.8．D取的中点，连接，则，又因为，由空间向量基本定理可得：故选：D.9．A【详解】解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面正确，故①为真命题；根据平面向量基本定理，若，是两个不共线向量，且＝λ＋μ(λ，μ且λμ≠0)，则与、所确定的平面共面，即，，共面，所以{，，}不能构成空间的一个基底，故②为假命题.故选：A.10．B【详解】长方体中，依题意，，，而，又不共面，于是得，，，所以.故选：B11．A【详解】解:,故选:A12．C【详解】A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；C选项，∵满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，D选项，因为､､共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，故选C.13．A【详解】.因为分别为的中点，所以所以.故选：A.14．B当非零向量，，共面时，不能是空间的一个基底，由得不出，若为空间的一个基底，则，，一定不共面，所以，，一定是非零向量，所以由可以得出，因此是的必要不充分条件，故选：B.15．B【详解】||===，||=，则cos∠AOB===，从而有sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×××=，故选：B．16．C【详解】据题意，得，，所以，即.又因为为空间不共面的三个向量，所以，所以，所以.故选：C.17．D故选：D18．B【详解】连接，所以，因为，所以，所以.故选：B.19．D【详解】故选：D20．B【详解】连接，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得.故选：B.21．C因为，所以，两边平方得：，即，所以，因为，所以.故选：C22．C对于①，若，则，故，故①正确；对于②，若、、不构成空间的一个基底，则、、这个向量在同一平面内，故、、、共面，故②正确；对于③，当时，若与、不共面，则、、可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，故选：C.23．C【详解】因为=，=，故()，所以与向量共面，故，，不能构成空间的一个基底.故选：.24．C【详解】如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.如图,则为中点，所以.所以，因此，因为，所以,.故选：C25．ABC【详解】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，若、、、四点共面，可设，其中、，则，可得，由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、、共面，可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.故选：ABC.26．ABC【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的;对于B中，若对空间中任意一点，有，因为，根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面，所以是正确的;对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D中，若，又由，所以，所以不正确.故选：ABC27．ABC【详解】如下图所示，为的中点，则，为的中点，则，，，则，，，，则.故选：ABC.28．BD【详解】由空间向量的加法法则得，B正确，，A错误；由已知，，C错；，D正确．故选：BD．29．CD【详解】对于当时，共线成立，但当同向共线时所以是共线的充分不必要条件，故不正确对于B，当时，，不存在唯一的实数使得，故不正确对于C，由于，而，根据共面向量定理知四点共面，故正确对于D，若为空间的一个基底，则不共面，由基底的定义可知，不共面，则构成空间的另一个基底，故正确.故选：CD30．BCD【详解】选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；选