行列式的计算

照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的“特征值法”等十几种计算技巧和途径.绍几种常见的,也是行之有效的计算方法.用此方法.2.定义法1j12j23j34j4虑j=3，j=2，j=1这些列指标的项．这1就3.化为三角形计算法000100200430000010=00001329585=700=0100026770078外,还有其它的作用.yynnnx(yx(y111之所以等于零，是因为有两列成比例.x(yx(yx)(y1111数有关时,还需进行讨论说明.b0b0n13.3逐行(或列)相加减n+2=D=000n+211123 2 再将最后一行乘以（-2加到倒数第二行，其余行都不变，得：=D=n+2100001011000012000111000011000Dn+21000000001000000010000000010001010101011203行列式化为三角形行列式，从而求出行列式的值.1aa4.特殊行列式a0c1c2cnb2a2nanbnanb2a2b1a1a0c1c2cncnc2ca0a22annancna2a1c1bn2b1a0iaiiiiai002niΣ)iij0aiD=2222-y可以化为爪型行列式，利用例6结论计算其值.解D2+x22200y(y)a1b2a2cn2b3cn1an1bn证明.D=na+b1a+b11a+b1n2变形D2n1nn1n11111111解按第n行展开得Dn11111D1有na0b1c2a1a222bncnanancnbna2c2b2a1c1b1a0cnanc2a2bnc1a1b2a0b1b2a1c010a2c2bnnnn三条直线外,其余元素全为零的三线型行列式，称为型行列式．这一阶.D=nn+1nxxan11xa1xa211xn+1(+an1232…n1121232n(n+1)n(n+1)21212a10D=n0bnb1a2002nDn1a2002nn+1nb1a202n+1bb…ba100bna100b2b1a2000a2000b200…………,,1n1nnn200a000ab12bn00ana100bn等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶.然后再利用公式计算出结果.n.用线性方程组的理论证明，若是f(x)有n+1个不同的根，那么f(x)为零多项式.2n2n2EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up35(2),c)n111a1a2annnij所以f(x)为零多项式.38713387132=BA3012516003201093328700015312|nnnEnnn0BnABBnABBnnEnE0E=a0abb.b00b22公式2设A，B，C均为n阶方阵，则B0B0CAB122aaa0aaaab0aaa0ab00000b0a0003素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.ii是D中一项而且符号相同，而且MA和MA(i子j)无公共项．因此为了iijjk=.ii项．定理得证.M=1M=425123,M6=10.101.20131+14.010113从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不个定理主要是理论方面的应用.6.析因子法看作一个多项式f(x)，然后利用多项式理论，求出f(x)的互素的一次11221332211335x的4次多项式及33f(x)．由22113355f(x)有因式x士1、x士2，且f(x)关于x的最高次数为4，故2123n1n12nf(x)关于x的最高次7.加边法加边法是把原行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列D=n解:11…1112…11n111…1nD=n11…11012…110n111…1n011111i10001…10001an1111112n1000an11111i1000a11…10001an00…iiD=nx2x2…x2xn21xn1易见D1x1x21xn-21xn-11xn11x2x22…xn-22xn-12xn21xnx2n…xn-2nxn-1nxnn1yy2yn-2yn-1yn8.拆分法分法”D=解按第一列之和分解为1111bbbn11111b1b2bna2a2a2nnnnnnbbba0bba0bbnna0bbn00000nnn1(n1)(n1)D=nna0bbb000a0bbnn1n3n2)n2n2n2)n1n9.递推与归纳干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式,再利用关系式推出这个n阶行列式的值.一般情况下,主要方法有:元素相同的题型.更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值．降阶DnDD_CDn__2(D_CD)nn_1D=xax11a2a2a2a2a3a3nnn解:Dxa1a1a1xa1a1a1aaa212axa2aaa323aaa323a212x2a323a323nnn)xa1a1a1a1xa2a2aaaan000nnnn200+a2a2xa1a1a133a1xa2a2a2a2a3a3n)Dnn1210n00 n即n1001000000n-1nn-1n-22c3-β3c-βD=3c4-β4c-βc4-β4c3-β3c5-β5c4-β4c3-β3c5-β510.作辅助行列式例28设f(x),f(x),…,f(x)为次数不超过n-2的函数，设c,c,…,c为任f1(c1)f(c)f(c)f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)f(c)f(c)f(c)f(c)…f(c)…f(c)…f(x)=axn-2+axn-3+…+ax+a1i1i2in-2in-1f(c)f(c)f(c)aa=21a马上得证.aaan22n2nn2a2n1ann1cn一21cn一31c110cn一22cn一32c210cn一2ncn一3ncn10根cc…cnf1(x)f(x)2f(x)2f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)nf1(c1)f(c)f(c)证毕.f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)=011.滚动消去法法来做.21 21 nn0n212.特征值法仅当它的特征值全部为零.13.微积分法f(x)f(x)i1ff(x)f(x)i1f(x)0n02