高考数总复习 第8篇 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质限时训练 理

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()． A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在． 答案C2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是 ()． A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 解析因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m. 答案A3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 ()． A．PA＝PB＝PC B．PA⊥BC，PB⊥AC C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等 D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等 解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B. 答案B4．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是 ()． A．③④ B．①③ C．②③ D．①② 解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题． 答案C二、填空题(每小题5分，共10分) 5.如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________． 解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直． 答案垂直6．(·石家庄一模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误． 答案①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 证明(1)如图，连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点， ∴AN＝eq\f(1,2)PC. ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB， PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， ∴BN＝eq\f(1,2)PC.∴AN＝BN， ∴△ABN为等腰三角形， 又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD. (2)连接PM、MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC. 又∵M为AB的中点，∴AM＝BM. 而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM. 又N为PC的中点，∴MN⊥PC. 由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.8．(13分)(·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF. (1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE； (2)若AC＝BC＝2AE，求二面角ABFC的大小． 解(1)法一因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°， △ABC∽△EFG. 由于AB＝2EF，因此BC＝2FG. 连接AF，由于FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC， 在▱ABCD中，M是线段AD的中点， 则AM∥BC，且AM＝eq\f(1,2)BC， 因此FG∥AM且FG＝AM， 所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA. 又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE. 法二因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°， △ABC∽△EFG， 由于AB＝2EF，所以BC＝2FG. 取BC的中点N，连接GN， 因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB. 在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN∥AB.因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B， 所以平面GMN∥平面ABFE. 又GM⊂平面GMN，所以GM∥平面ABFE. (2)由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD， 取AB的中点H，连接CH， 因为AC＝BC，所以CH⊥AB， 则CH⊥平面ABFE. 过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CR⊥BF， 所以∠HRC为二面角ABFC的平面角． 由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2. 在直角梯形ABFE中，连接FH， 则FH⊥AB，又AB＝2eq\r(2)， 所以HF＝AE＝1，BH＝eq\r(2)， 因此在Rt△BHF中，HR＝eq\f(\r(6),3). 由于CH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)， 所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝eq\f(\r(2),\f(\r(6),3))＝eq\r(3)， 因此二面角ABFC的大小为60°.分层B级创新能力提升如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体AEFH中必有()． A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面 解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH， ∴AH⊥面HEF. 答案A 2.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()． A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上． 答案A3．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案DM⊥PC(或BM⊥PC)4.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________． 解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确． 答案①②③5．(·汕头模拟)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． (1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME； (2)证明：平面BDE⊥平面BCD. (3)求三棱锥DBCE的体积． (1)证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD， 又MN＝AE＝eq\f(1,2)CD，∴四边形ANME为平行四边形， ∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME， ∴AN∥平面CME. (2)证明∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD. 由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD. 又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD. (3)解VDBCE＝VEBCD＝eq\f(1,3)S△BCD·|EM| ＝eq\f(1,3)×eq\f(2\r(2)×4,2)×eq\r(2)＝eq\f(8,3).6．(·合肥模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝eq\f(\r(2),2)BC，B1C1綉eq\f(1,2)BC. (1)求证：A1B1⊥平面AA1C (2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C (3)若BC＝2，求几何体ABCA1B1C1(1)证明∵AB＝AC＝eq\f(\r(2),2)BC，AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC， 又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴AA1⊥AB，AA1∩AC＝A， ∴AB⊥平面AA1C，又∵AA1綉BB1 ∴四边形ABB1A1 ∴A1B1∥AB，∴A1B1