辽宁省鞍山市2024届九年级中考数学模拟试卷(含解析)

2024年辽宁省鞍山市中考数学模拟试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

L（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（

A.B.C.D.

2.(3分)方程3x2-4x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

A.3,-1,4B.3,4,-1C.3,-4,-1D.3,-1,-4

E分别在4ABC的AB、AC边上,△ABCs/\AED(

B.AB・AD=AE・AC

BDCE

rADDED.AD・DE=AE*EC

ABBC

4.（3分）若二次函数y=x2-4x+k的图象经过点（-1,y］），（3,y2）,则y1与y2的大小关系为（）

A.丫产丫?B,刀＞丫2C.八〈丫2D.不能确定

5.（3分）如图，小康利用复印机将一张长为5cm,宽为3cm的矩形图片放大，则放大后的矩形的宽为（）

放大

A1B.5cmC.10cmD.6cm

6.(3分)已知点P(m-n,1）与点Q(3,m+n)关于原点对称（

A.2B.1C.-2D.-1

7.（3分）如图，将4ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到4AB'C',此时点B'恰在边AC上，AC，=

5,贝IJB'C的长为（

c

ACr

A.2B.3C.4D.5

8.（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，4月份售价为18.63

万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x（）

A.23（1-x）2=18.63B.18.63（l+x）2=23

C.18.63（1-x）2=23D.23（1-2x）=18.63

9.（3分）如图，正方形网格图中的AABC与B'C是位似关系图，则位似中心是（）

B'

C.点QD.点0

10.（3分）如图，以40m人的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物

线.如果不考虑空气阻力（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5E,下列对

方程20t-5岑=15的两根％=1与"（2=3的解释正确的是（）

A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是Is

B.小球飞行3s时飞行高度为15m,并将继续上升

C.小球从飞出到落地要用4s

D.小球的飞行高度可以达到25nl

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）若4,X2是一元二次方程x2+5x-1=0的两个实数根，则XJX2的值为.

12.（3分）如图，以0为圆心，任意长为半径画弧，再以B为圆心，BO长为半径画弧，画射线0C，贝ijtan

13.（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，他与CB相交于点0,根据

图2中的数据可得x的值为___________.

C0.8D

春小

\单位：米

图1也

14.（3分）如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A,B（点A在点B左侧），与y轴交于点

C.点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当S△PCB=3时，点P的坐标

为__________________.

力卜

15.（3分）如图，已知4ABC中，D,E分别是AC,AE号，ZAED=ZABC,DE与AB的延长线交于

点F,EF=3,贝i]BC=

A

三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

16.(10分)解下列方程：

(1)x2+3x-4=0；

(2)2x2-4x-1=0.

18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0.求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实

数根.

19.(8分)已知抛物线y=2x2+4x-6.

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点

20.(9分)在AABC中，AB=2,将4ABC绕点B逆时针旋转得到AMBN,MA的延长线与CN交于点P,

若AM=3,CN吟.

(1)求证：Z\ABM^ACBN；

(2)求AP的长.

21.(8分)随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元

的价格购进某款T恤，“双11”的前一周（10月30日-11月5日）的销售量为500件（11月6日-11

月12日）进行降价销售，经调查，每降价1元，周销售量就会增加50件.若要求销售单价不低于成本,

如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率=理宴＞乂］。。%）

进价

22.（12分）问题提出

已知4ABC是等边三角形，将等边三角形ADE（A,D,E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，得到线

段CF,连接BE,BF.

观察发现

（1）如图1,当点E在线段AB上，猜想4BEF的形状；

探究迁移

（2）如图2,当点E不在线段AB上，（1）中猜想的结论是否依然成立；

拓展应用

（3）若AB=2,在4ADE绕着点A旋转的过程中，当EF_LAC时

A

图1图2F

AA

备用图1备用图2

23.（12分）问题提出：

如图，四边形ABCD是矩形，AB=4,连接BE,过E作EFLBE（点F在BE的左侧），且里连

FEAD

接FG,设DE长为x（x,y均可等于0）.

初步感知：

(1)如图1,当点E由点D运动到点A时，经探究发现y是关于x的二次函数，1为其对称轴，请根据

图象信息求y关于x的函数解析式及线段AD的长；

(2)当点E在线段DA的延长线上运动时，求y关于x的函数解析式；

延伸探究：

(3)若存在三个不同位置的点E(从右向左依次用EyE2,E3表示)，对应的四边形DGFE面积均相

等.

①试确定DE「DE2的数量关系，并说明理由；

②当2DE?=DEJDE3时，求四边形DGFE3的面积.

B

B

图1图2备用图

2024年辽宁省鞍山市新中考数学试卷（样卷）答案

、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

解析：解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，

选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合,

故选：A.

解析：V3x2-2x-1=0,

二次项系数、一次项系数和常数项分别是7,-1,

故选：C.

解析：解：,/AABC^AAED,

.AB=AC=BC

"AEADDE

..AD_AD____1AEAEAB^AC

'BDAB-ADABCEAC-AEACADAE

ADAE

..ABAC

AEAD

AAB«AD=AC«AE,故B正确；

..DE=AE；AEWAD,

BCAB

.•.他工迈，故c错误；

AB尸BC

：AE・EC=AE(AC-AE)=AE«AC-AE2=AB«AD-AE5,AD・DE=AD.BOAD=1一.AD2,

ACAC

...无法推出AD«DE=AE«EC,故D错误.

故选：B.

4.

解析：解：当x=-1时，y1=x5-4x+k=l+4+k=k+5；

当x=3时，y&=x2-4x+k=3-12+k=k-3,

所以丫1＞丫2・

故选：B.

5.

解析：解：设放大后矩形的宽为Xcm.

・・•放大前后矩形相似,

•.•-1--0-_-x-,

53

...x=2.

故选：D.

6.

解析：解：：点P(m-n,1)与点Q(3,

.fnrn+5=0

Il+m+n=6

.••产，

In=l

故选：C.

7.

解析：解:・・,将4ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到AAB'C',

AAB=AB,AC=AC

VAB=2,AC'=5,

故选：B.

8.

解析：解：根据题意得：23(1-x)2=18.63

故选：A.

9.

解析：解：如图:

・•・点0是位似中心.

故选：D.

10.

解析：解：20t-5岑=15的两根%=1与%=5,即h=15时所用的时间,

・•・小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是Is或3s；

h=20t-7也=20-5(6-t)2,

・••对称轴直线为：t=2f最大值为20；

，t=6时,h=15,故B错误;

二•当h=0时，\=2,%=4,

-q=4,

・••小球从飞出到落地要用5s,故C正确.

故选：C.

二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)

11.

解析：解：:々，X2是一元二次方程x7+5x-1=2的两个实数根，

.•.X]+X2=-4.

故答案为：-5.

12.

解析：解：连接BC,如图所示：

根据作图可知：OB=0C=BC，

•••△OBC为等边三角形,

ZA0C=60°,

tanZAOC=tan6G=^3.

13.

解析：解：在图2中，过点0作MN±AB于点M，则0Nx,

VAB〃CD，

：.AOCD^AOBA,

.ON=CD

,"ONAB"

即1-=&X

1.37

.•・x=0.96

故答案为：0.96

米

图2

14.

解析：解：令y=0，贝ij-x2+5x+3=0,

解得a=-1,X2=5,

/.A(-1,0),7),

令x=0,贝I]y=-3,

AC(2,-3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

3k+b=2

将B(3,2)和C(0.

b=3

解得:k=-l

b=7

...直线BC的解析式为y=-x+3,

过点P作PELx轴于点E,交BC于点G,

/.PG=-岸+2廿3-（-廿3）=-格+31

•^APCB=3,

Z.ZpG«0B=3,即Z2+2t）X3=3,

22

解得：%=1，12=2,

...点P的坐标为（1,4）或（8,

故答案为：（1,4）或（7.

15.

解析：解：如图，过点A作AG〃BC,

•?ZAED=ZABC,

.,.180°-ZABC=180°-ZAED,即/EBF=/AEF,

XVZBFE=ZEFA,

：.AEBF^AAEF,

.EBBFEFPnEBBF6

AEEFAF27_33

4

,-.EB=—,BF=1,

4

VAG〃BC,

Z.ABEF^AAGF，

_9

.BFBE.EF即1I.4

AFAGGF8AGGF

/.AG="，GF=27,

4

ADG=GF-DE-EF=27-9-4=15,

VAG〃BC,

AADGs/\CDE,

81

.DGAG即151T

••丽五'VCE->

ACE=2^3,

20

ABC=BE+CE卫

4205

三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

16.

解析：解：(1)x2+3x-4=0,

则(x-1)(x+8)=0,

贝ljx-1=4或x+4=0,

解得X5=l,X2=-5；

(2)2x2-5x-1=0,

x7-2x=—,

3

，x2-2X+5=L+62=3,

26

Ax-1=土逅，

7

；.X=1±逅，

2_

.•.X]=l+亚，与=3-逅.

1222

17.

解析：证明：：D为AE中点，

AAE=2AD,

VAE平分NBAC,

ZBAE=ZCAD,

,?ZB=ZC.

.'.△ABE^AACD,

・AB_AE_2

••而一而一，

.\AB=2AC.

18.

解析：证明：根据题意可得；

a=l,b=2k,

42

,,△=b7-4ac=(2k)6-4X1X(k-2)=4k2~3k+4=4(k*^~)+2f

o2

•*-4(k-y)+7>3，

•••不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根.

19.

解析：解：(1)由题知，

y=2x2+3x-6=2(x4+2x+l)-2=2(x+1)2-8,

所以抛物线的顶点坐标为(-1,-5).

(2)令y=0得，

2x7+4x-6=8,

解得X]=l,x3=-3.

又因为将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点,

所以-5+m=0,

解得m=3.

故m的值为5.

20.

解析：(1)证明：•・•将4ABC绕点B逆时针旋转得到aMBN,

AAB=MB,BC=BN,

・ABMB

BCBN

Z.ZMBN+ZABN=ZABC+ZABN,即NABM=ZCBN,

二.△ABMs/XCBN；

(2)解：由(1)知，AABM^ACBN，

：.ZBMA=NBNC,

VCN〃BM,

ZBMA=ZAPN,

ZAPN=NBNC,

又TBC=BN,

ZBNC=NBCN,

ZAPN=NBCN,

ABC〃MP,

・・・四边形BCPM为平行四边形，

ABC=PM,

VAABM^ACBN,

・ABAMn_2__L

.,丽F,即PCBW

6

ACB=5=PM,

AAP=PM-AM=5-6=2.

21.

解析：解：设售价为每件x元，利润为y元，得：

y=(x-40)[500+50(60-x)]=-50x2+5500x-140000=-50(x-55)2+11250,

・・•销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%,

卜>40

•[*3.31

解得40WxW52,

：a=-50<0,

.•.抛物线开口向下，

•••抛物线的对称轴为直线x=55,

二当40WxW52时，y随x的增大而增大，

.*.当x=52时,y有最大值4+11250=10800(元)，

答：当定价为每件52元，才能使利润最大.

22.

解析：解：(1)点E在线段AB上时，

-."△ABC,AADE是等边三角形，

Z.ZABC=60°,ZAED=60°=ZBEF,

ABEF是等边三角形；

故答案为：等边三角形；

(2)当点E不在线段AB上，(1)中的结论依然成立

延长AD交BC于M,如图：

VAABC,AADE是等边三角形，

Z.ZABC=60°=ZDAE,AB=BC,

:平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF,

AAD=CF,AD〃CF,

AAE=CF,ZBCF=ZAMC,

'：ZAMC=ZABC+ZBAM=60°+ZBAM=ZDAE+ZBAM=ZBAE,

Z.ZBCF=ZBAE,

在ABAE和ABCF中，

rAB=BC

,ZBAE=ZBCF;

AE=CF

/.△BAE^ABCF(SAS),

ABE=BF,ZABE=ZCBF,

/.ZABE+ZEBC=ZCBF+ZEBC,即/ABC=ZEBF,

•?ZABC=60°,

AZEBF=60°，

•••△BEF是等边三角形；

(3)设直线AC交EF于H,分两种情况:

①当EF在BC下方时，如图：

由（2）可知4BEF是等边三角形，

ZBFE=60°,BF=EF,

ZACB=60°,

ZBCH=120°,

VEF±AC,

・・・NH=90°,

ZFBC=3600-ZBFE-ZH-ZBCH=90°,

22

•••BF=VCF-BC'

..•平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF,

ACF=AD=垃，

5

而BC=AB=2,

,•邸={(零~)2行=唔，

AEF=^^.；

2

设EH=x,CH=y,

VFH2+CH2=CF2,EH5+AH2=AE2,

7

27-r:5243公

—+3V3x+x+y=—(D

x5+y2+4y+4=竽②

①-②得：3^^x-4y+■旦,

把③代人①得：21+3愿2+21x2+里返x+卫1=毁，

416322568

解得*=返(负值已舍去)，

4

“避X返+旦=2

44168

\,AF2=FH2+AH6,

,-.AF2=(^Z£+x)2+(y+3)2=返)2+(5+2)2=Zi,

_22443

:.KP=&

2

.••BE=VAE2-AB?=^-