2024年新高考高三数学复习阶段性复习：函数综合卷(解析版)

专题2.10函数综合卷(解析版)

本试卷满分150分时量：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知集合4=卜|/》4}，3={x|y=ln(3-x)}，则AB=()

A.[2,3]B.[2,3)C.[2,3]D.(-co,-2][2,3)

【答案】C

【解析】因为集合4=卜|炉N4}={x|xN2或xW-2}，集合

8={x|y=ln(3—x)}={x|3-x>0}={x|x<3},

所以A3={x|xW—2}h|2Wx<3}，即AB=(-oo,2][2,3).故选C.

2.(2023年全国甲卷，文)已知函数/'(x)=eYAa)

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】令g(X)=-(X-l)2,则g(%)开口向下，对称轴为％=1,因为乎-1-1-与=一+，而

(指+以了-4、9+6夜-16=6后-7>。，所以"1-/用=^|^-9。，即乎-1>1-孝

由二次函数性质知g母)<g(§,因为乎t]-[卜”'一；而

半-1<1-冬所以g仔)〉g(今

(木+垃)2—4?=8+46—16=4有一8=4(6—2)<0,即

综上，g(等)<g(乎)<gC§)

又〉=片为增函数，故“<c<b,b>c>a.

故选A.

3.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难

入微”.告知我们把“数”与“形。“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数

/(x)=logfl(%+/?)(a>0>a^l,Z?eR)的大致图象如图，则函数g(x)=，T—b的大致图象是()

个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为了⑺，则函数'=/«）的图象大致是（）

【答案】C

【解析】当0＜二＜1时，/⑺=?.&=咚产，此段为开口向上的抛物线的一部分，当1＜二＜2时，

/⑺=gx2xgx（2_）x后x（27）=-*严+2❷-若，此段为开口向下的抛物线的一部分，对称轴

为t=2,满足条件的只有C.

故选C.

7.已知“X）是定义在R上的奇函数，且"2）=2,若对任意的毛，9e（O,”），均有山匕成

玉一“2

立，则不等式“X-1）+1”的解集为（）

A.（—2,0）（2,+oo）B.（―co,—2）I（0,2）

C.（1,3）D.（-1,1）L（3,H^）

【答案】D

【解析】因为对任意的玉，xoe（0,+a））,均有〃不）一"多）＞i成立,不妨设为＞0,则4-%＜0,

x1-x2

所以/（%）—〃当）＜占一々=/（不）一玉＜/（%）-々，构造函数g（x）=f（x）-x,则g（x）=〃x）-x在

（。,+⑹上递增，因为“X）是定义在R上的奇函数，所以g（x）=〃x）-x也是是定义在R上的奇函数，所

以g（x）=/（尤）-X在（一8,0）上递增，不等式“x-l）+l＞x化为/（%-1）一（x-l）＞0ng（x-l）＞0,因为

f（2）=2^f（2）-2=0^g（2）=0^g（-2）=-g（2）=0,则8⑵-]二；*＞3,

或卜（：？＞g（2）n[x"——lev]；%_]=0时，g（0）=o,不合题意.

综上不等式/(X-1)+1>X的解集为(-L1)(3,”).

故选D.

8.已知函数=F卜一,若实数。，"c满足。<6<。，且/(a)=/(b)=/(c),贝I]2"+。+2"。的取值

-x+4,x>2

范围为()

A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)

【答案】D

【解析】作出函数/(%)的图象，如图：

当x<0时，/(%)=|2^-1|=1-2^(0,1),由图可知，/(a)=/(b)=〃c)e(O,l),即4-c«0,l)

得3<c<4,贝由〃。)=/0)，即=得1一2"=2,-1，求得2"+2"=2，

...T+c+2"+。=2。(2"+2")=2x2。e(16,32).

故选D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知函数/(x)=17g,贝I()

A.函数的图象关于原点对称B.函数“X)的图象关于>轴对称

C.函数“X)的值域为(-1,1)D.函数“X)是减函数

【答案】AC

rxx

【解析】〃尤）的定义域为R，_1贝"（—）=幺）~_二1=一O_1*=一〃》），所以“X）为奇函数,

2I12I12I1

“X）的图象关于原点对称，A正确，B错误；

〃x）=/=l-4,因为2'+1>1,所以。<K<L0<K<2,所以-1<1-釜7<1,故/（x）的值

，+1，+1/十1/十1/十1

域为（-1,1）,c正确;

设马>玉，贝一/（七）=.一——Lfl一——U—______」2（2*4）,因为所

八2）“"I2"+1（2''+1J2』+12*+1（2为+1府+1）一

以2f-2为>0,2*+1>0,2f+1>0,所以八々）-〃西）〉。，即〃工2）>〃玉），所以函数“X）是增函数，

故D错误.

故选AC.

10.某池塘里的浮萍面积y（单位：n?）关于时间f（单位：月）的函数关系式为y=（%eR且左wo,

。>0,awl）,其图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A.浮萍每月增加的面积都相等

B.浮萍面积每月的增长率均为100%

C.浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月

D.若浮萍面积蔓延到4m°,6m°,9m?所经过的时间分别为％%%，贝^+4=2/2

【答案】BCD

【解析】由题意可知，函数过点（1,1）和点（3,4）,代入函数关系式：1=切（让1i,且女工0；4>0,且。力1）,

U11

ka=

,解得2,.••函数关系式为y=；x[=2i.由2'_2'T=2T不是常数，可知浮萍每个月增

%3=4

加的面积不等，且a=2,故浮萍面积每个月是上个月的2倍，每月的增长率为100%,故A错误，B正

确；

令)=2时，2=2"-1=>%=2,令y=64时，由64=2'2-1=>q=7,得方2Tl=5；所以C正确；

令y=4,得％=3；令y=6,得/2=log212；令>=9,得［3=log218,:.tx+r3=3+log218=log2144=21og212=2t2,

故D正确.

故选BCD.

11.已知定义在R上的奇函数/•(%),满足/(》+4)=-/(无)，且在区间［0,2］上单调递增，则下列说法正确

的是()

A.函数〃尤)的图象关于x=2对称

B.函数〃x)在［-4,-2］上单调递增

C./(-3)=-/(1)

D.若方程/(%)=加在［-2,6］内恰有2个不同的实根石,马，则石+爽=4

【答案】ACD

【解析】由题设，f(%+4)=-f(%)=/(-%),贝合=2是的对称轴，A正确；

.•./(x+8j=-/(x+4)=/(x),故的周期为8,M/(-3)«-/(l),C正确；

又在［0,2］上单调递增，易知:〃力在［-2,2］上递增，［2,6］上递减；.•.根据周期性知:在［<一2］

上递减，B错误；

由周期性、对称性知，若/(%)=加在［—2,6］内恰有2个不同的实根鼻尤2,则%+々=4,D正确.

故选ACD.

12.已知定义在R上的函数y=满足/•、-,=-〃耳，且/1+£|为奇函数，=/(o)=2.

下列说法正确的是()

A.3是函数y=/(x)的一个周期B.函数y=/(x)的图象关于直线x=1对称

C.函数y=/(x)是偶函数D./(1)+/(2)+/(3)++/(2023)=2

【答案】AC

【解析】对于A项，因为了、一：=一〃切，所以〃x-3)=-=所以3是函数y=〃x)的

一个周期，故A正确；

对于B项，因为/［x+j为奇函数，所以-x+^=-/(x+^,所以点［I。］是函数y=/(x)图象的

对称中心，故B错误；

对于C项，因为/卜+为奇函数，所以+j=+j,所以/，x+|j=-/(x).又因为

(X-目=一/(可，所以/(T+野=/、一,，所以〃一力=/(x),所以函数y=/(x)是偶函数，故C

项正确；

对于D项，由C知，函数>=/(尤)是偶函数，所以〃1)=〃-1)=一1.又3是函数y=/(x)的一个周期,

所以〃2)=〃—1)=-1,/(3)=/(0)=2,/(2023)=/(1)=-1,所以/⑴+/(2)+/(3)=0,所以

70??

/(l)+/(2)+/(3)+-.+/(2023)=—xO-l=-l,故D错误.

故选AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

[M-3,n>10

13.已知函数〃〃)=伉小+5。〃<io("eN),则”8)的值为.

【答案】7

n-3,n>10

【解析】由题意，函数/(")=1/[〃〃+5)]“<10(〃€2，贝"(8)=/[/(8+5)]=/(13-3)=/(10)=10-3=7.

故答案为7.

k-9x

14.若函数=；J2，为奇函数，贝麟=.

【答案】±1

【解析】因为函数/("=上'为奇函数，所以由I(x)=一〃T)可得上三=一"2'=一二,

'l+k-2x1+^-2'\+k-Tx2'+k

即左2-22，=1-r个，整理得卜2T(I+22)=O,解得-±I,经检验，当=或"x)=[三

时，满足〃x)=—“T).

故答案为土1.

15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数y=[x],其中印表示“不超过x

的最大整数”，如[3.14]=3,[0.618]=0,[-2.71828]=-3.写出满足[x]=1的一个x的值__________；关

于X的方程士=1的解集为_____________.

_X_1

a

【答案】|■(答案不唯一)，(3,+8)

3x+1V-L1

【解析】根据取整函数）=[幻的定义，当国=1时，1<%<2,故取x=7=1,.-.1<——<2,即

2x-1X—1

Y+1

1<一<2,解得%>3.

x-1

a

故答案为3（答案不唯一）；（3,+oo）.

2X—1x<0

16.已知〃尤）=2'八，当a=2时，的单调减区间为__________；若“X）存在最小值，则实

lx-ax,x>0

数。的取值范围是

【答案】（0,1）,[2,+8）

2x-l,x<0

【解析】当。=2时,

x2—2x,x>0

当x<0时函数/（x）=2£-l单调递增;

当xNO时函数/（司=/一2》=（》一1）2-1,所以函数/■（%）在（。,1）上单调递减，在。,+⑹单调递增，所以

r2*-1,尤<0

函数的单调减区间为因为函数〃x)=2,Tx<°(.£vO=>aVO并且

X-ax,x>0X——----,x>02

&2)4

f（o）=o,所以函数/（X）在R上单调递增，没有最小值；■|>0=a>0,要想函数/（X）有最小值则满足

2

--<-1BPG>2.

4

故答案为（0,1）,[2,+oo）.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知函数/（x）=（XWO）.

（1）分别计算“2）+《m，”3）+“5的值;

（2）证明你发现的规律并利用规律计算〃1）+〃2）+/（3）+…+/（2022）+彳曰+彳:+…+"圭]的值.

4132

【解析】⑴/（2）+/竺।区—+-=1,

551+321010

可得/⑴=；，1+x2

(2)由=1,故

1+x2

”1)+/⑵+〃3)++”2022)+/出+巾+

"(1)+[〃2)+巾+。(3)+巾++日(2022)+/(总]=；+2021=华

\4I\JJ\Z-XJ<<<<J乙

18.(本小题满分12分)⑴已知〃x)是一次函数，且满足3/(x+l)-〃x)=2x+9,求〃x)的解析式;

(2)若对任意实数无，均有〃x)-2〃r)=9x+2,求〃x)的解析式.

【解析】(1)因为是一次函数，所以设〃耳=履+6,00,又因为3/(x+l)—〃x)=2x+9,所以

［

3［左(x+l)+Z?］—(a+6)=2尤+9,整理得2Ax+3左+2b=2x+9，故｛23左k+-22>9,解得彳6=1所以/(力=尤+3.

(2)因为/(X)-2/(T)=9X+2“@,^^f(-x)-2f(x)=-9x+2-@,i@+2x(2)^：-3/(x)=-9x+6,

解得/(X)=3X-2.

19.(本小题满分12分)已知函数/(x)的定义域是(0,+s),满足〃2)=1,%>1时/(x)>。，对任意正实

数x,y,都有/(取都〃x)+/(y).

(1)求f(1))(4)的值;

(2)证明：函数/(无)在(0,+s)上是增函数；

(3)求不等式/(尤)-/(尤-3)>2的解集.

【解析】(1)因为对任意正实数x,y,都有/(肛)=/(尤)+f(y),所以〃1)=/(1)+/(1),即"1)=0,

因为/(2)=1,所以/(4)=/(2)+/(2)=2.

(2)由/'(孙)=/(尤)+f(y)得/(孙)-/(x)=/(y)=/(四)，任取石用武。,”),且玉>々，则土>1,

X%2

八占)一〃%)=/［土］>0,即/(玉)>/(々)，所以函数4X)在(0,+8)上是增函数.

\X2)

(3)由(1)知，/(4)=2,因为/。)一/(尤一3)>2,所以/(x)>/(x—3)+〃4),即/(x)>/(4(x—3)),

x>0

由(2)知，函数/⑺在(0,+8)上是增函数；所以4(x-3)>0,解得3<x<4,故不等式/⑴―/。-3)>2

x>4(x-3)

的解集为｛*3<x<4｝.

20.（本小题满分12分）设〃元）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有/（%+2）=-/（耳.当

xe[0,2]时，/(x)=2x-x2.

（1）求证：是周期函数;

（2）当尤e［2,4］时，求“X）的解析式;

(3)计算〃0)+〃1)+〃2)++/(2011).

【解析】（1）证明：因为/（X）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,/（x+2）=-/（x）,

则〃x+4）=_〃x+2）=〃x）,所以函数〃元）是周期为4的周期函数.

(2)当xc[2,4]时，OWx—2W2,此时/(x)=-7(尤一2)=-12(无一2)-(x-2)1=/-6x+8.

(3)因为当xe[0,2]时，/(x)=2x-x2；当xe[2,4]时，/(x)=x2-6x+8,所以/'⑴=2-1=1,

2

"2)=22-22=0,小竹-6x3+8=-1,y(4)=4-6x4+8=0,因为2011=4x502+3,所以

/(1)+/(2)++/(20H)=503x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]-/(4)=503x(l+0-l+0)-0=0.

1—21,

x

21.（本小题满分12分）已知函数/（尤）=<

(1)当且/Xa)=/S)时，求1+1的值;

ab

（2）是否存在实数a、b（a<b）,使得函数y=/（x）的定义域、值域都是口,句，若存在，则求出a,匕的

值；若不存在，请说明理由.

1,X21,

【解析】（1）因为=<,1x所以/（%）在（0,1）上单调递减，在［L+8）上单调递增，由于OvaVb,

—1,0cx1.

Lx

且/(a)=/S),所以o<a<l<b,且工一1=1一工，所以,+1=2.

abab

（2）不存在满足条件的实数a,b,理由如下:

假设存在满足条件的实数。、b（a〈b）.

——l=b

当a,be（O,l）时，因为l在（0,1）上单调递减，所以即卜',解得a=b,

/3)=a

故此时不存在适合条件的实数a,b.

a

r、z\1r\[f（a）=aa

当a力«1,+