2024年高考考前押题密卷数学（广东卷）

2024年高考考前押题密卷

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.设集合4={(x,y)|x+y=2},3={(x,y)|y=d},则人B=(

A.{(1,1)}B.{(-2,4))C.{(1,1),(-2,4)}D.0

2.已知角a的终边上有一点尸则cos住+a)=()

44-33

A.——B.-C.--D.-

5555

3.在「ABC中，5=30,/?=2,c=2\/2，则角A的大小为（）

A.45B.135或45C.15D.105或15

4.已知/(m=方+―若/⑷<3,则()

A.6ZG(1,+OO)B.aw(-1,1)C.。£(-00,1)D.a£(0,1)

5.已知｛。〃｝是等比数列，〃3〃5=8。4，且。2，。6是方程Y-34x+机=0两根，则根=（）

A.8B.-8C.64D.-64

22

6.命题P：“3＜枕＜5”是命题4：“曲线」------=1”表示双曲线”的（）

m-35-m

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.如图，已知圆。的半径为2,弦长AB=2,C为圆。上一动点，则AC2C的取值范围为（）

A.[0,4]

C.[6-466+4向D.[7-473,7+473]

8.物理学家本・福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以w开头的数出现的概率为

-I-1

85)=10gz，幺」.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若

n

以。⑺=黑/(丘N*),则k的值为()

v

黑l+log25'

A.7B.8C.9D.10

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设Z-z,是复数，则下列说法正确的是()

A.若z；=0,则4=0B.若z；+z；=0,则Z]=z?=0

C.忖-卜马卜,+力4D.若z；=z；,则㈤=团

10.已知函数/(x)=4$皿8+夕)(4>0,0>0,罔<?的图象向左平移2个单位后到函数、=8(幻的

图象(如图所示)，则()

B./(x)在——上为增函数

126

C.当。<几43时，函数g(4x)在[o,上恰有两个不同的极值点

44I2)

5兀

D.尤=三是函数y=/(x)+g(x)的图象的一条对称轴

24

11.已知定义域均为R的函数/⑺与g(x),其导函数分别为f(x)与gU),且g(3-尤)=/(x+1)-2,

g，(x+l)=r(D,函数/(X)的图像关于点"(3,0)对称，则()

A.函数/(尤)的图象关于直线x=l对称B.8是函数Ax)的一个周期

C.g(5)=2D.g(-2020)+g(-2024)=-4

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.二项式(2-x)"的展开式中，/项的系数是常数项的2.5倍，则〃=_.

13.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N05O,，)，已知

成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130〜150次之间的人数约

为.

14.如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备

的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为

石的标准最终确定下来.已知一个斗型(正四棱台)工艺品上、下底面边长分别为2和4,侧棱

长为2君，则其外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(本小题满分13分)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概

率是:，击中区域乙的概率是:，击中区域丙的概率是:，区域甲，乙、丙均没有重复的部分.这

34X

次射击比赛获奖规则是:若击中区域甲则获一等奖;若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，

有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不

获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号.

(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；

(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X,求X分布列和

数学期望.

16.(本小题满分15分)如图，圆柱。。内有一个直三棱柱ABC-4旦G，三棱柱的底面三角形内

接于圆柱底面，已知圆柱。。।的轴截面是边长为6的正方形，48=?^7=同，点尸在线段。。1

上运动.

(1)证明：BCLPA,.

(2)当PA=PB时，求3C与平面4尸8所成角的正弦值.

(本小题满分15分)已知函数歹(x)=e'T+，，G(x)=-x+msiwc(m0).

17.

⑴求函数尸(x)图象在x=l处的切线方程.

(2)若对于函数尸(x)图象上任意一点处的切线自，在函数G(x)图象上总存在一点处的切线4,

使得3,求实数加的取值范围.

22

18.(本小题满分17分)已知椭圆C:5+£=l(a>b>0)的离心率为|■，长轴长为4,A3是其左、

右顶点，尸是其右焦点.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设P(M，%)(%>0)是椭圆C上一点，NPEB的角平分线与直线AP交于点T.

①求点T的轨迹方程；

9

②若方面积为了，求见.

4

19.(本小题满分17分)已知｛%｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前〃项的最大值记为M“，即

=max｛q,a2,…前"项的最小值记为啊,，即=min｛4M2,…,q｝,令P“=M”-加”

(〃=1,2,3,…)，并将数列｛p“｝称为｛«„)的“生成数列”.

(1)若凡=3",求其生成数列｛4｝的前〃项和；

(2)设数列0｝的“生成数列”为｛%｝,求证：P„=qn；

(3)若｛pa｝是等差数列，证明：存在正整数小,当心“°时，an,an+1,a-Z，…是等差数歹人

2024年高考考前押题密卷

数学•全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=/},则AB=()

A.{(1,1)}B.{(-2,4)}C.{(1,1),(-2,4)}D.0

【答案】C

【解析】集合A与集合8均为点集，AC3实质是求x+>=2与y=Y的交点，

所以联立组成方程组得[x+]yV=2,解得[x=l

从而集合Ac3={(1,1),(—2,4)},故选：C.

2.已知角a的终边上有一点尸

A

-4B-7

【答案】A

【解析】由题意知角。

.4„,(77114

故sina=—,贝！Jcos[g+a=-sina=--,故选A

2

3.在一ABC中，B=30,b=2,c=2夜，则角A的大小为()

A.45B.135或45C.15D.105或15

【答案】D

【解析】由题意知中，2=30,6=2,c=20,

故上=ccsinB2忘xsin30A/2

9即sinC=

sinBsinCb22

由于c>b,故C>B=30,则C=45或135,

故A的大小为180-30-45=105或180-30-135=15,故选D

4.已知/(x)=/+x2,若/⑷<3,则()

A.ae(l,+co)B.ae(-l,l)C.ae(-co,l)D.ae(0,l)

【答案】B

【解析】因为〃丈)=小+丈2的定义域为R,且/(-%)=2臼+(-X)2=2忖+无2=f(x),

所以/(x)为偶函数,

又当x20时，/(x)=2、'+/单调递增，且/⑴=3,

所以由/(«)<3可得/(|«|)<3=/(I),即时<1,

解得故选B

5.已知｛%｝是等比数列，a3a5=8a4,且％,%是方程Y—34x+加=0两根，则，〃=()

A.8B.-8C.64D.-64

【答案】C

【解析】因为｛凡｝是等比数列，所以。3a5=4，的。6=尺，又a3a5=8%，所以。4=8,

又“2，”6是方程尤2-34x+〃?=0两根，

所以/〃=a2a6=a；=64.故选C

22

6.命题。：“3<相<5”是命题q：“曲线」----J=l”表示双曲线''的()

m-35-m

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

22

【解析】曲线」----匚=1表示双曲线，

m-35-m

可得（m—3）（5—相）>。，解得3<根<5,

22

命题P：“3<〃?<5”是命题4：“曲线'----匚=1”表示双曲线”的充要条件，

m-35-m

故选：A

7.如图，已知圆。的半径为2,弦长AB=2,。为圆。上一动点，则AC3C的取值范围为（）

A.[0,4]B.[5-4A/3,5+4A/3]

C.[6-4后6+4/]D.[7-4"7+4司

【答案】C

【解析】取A8的中点。，连接C£＞、OD,

贝IjAC.2C=（AD+ZJC）.（20+DC）

=ADBD+^AD+BD^DC+DC=DC，-1,

又卬=也2一f=百,

所以3L=2-5eL=2+G

BP2-A/3<|CD|<2+73,

所以（AGBC）=6-4A/3,（ACBC\=6+473.

故4c衣的取值范围为［6-466+4右］.

故选：C

8.物理学家本・福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以〃开头的数出现的概率为

g（〃）=iog〃上上.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若

n

£%（〃）=鲁吗（％eN*）,则上的值为（）

v

黑l+log25'

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

80〃+]〃+22121

【解析】Z%(〃)=%出+%(4+D++/(80)=炒丁+坨=++lg—=lgT，

Z7kK+180k

lg8141g3

log481Ijfe=lZS=21g3=lg9,故'=9-

而

1+log25

lg2lg2

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设4，Z?是复数，则下列说法正确的是（）

A.若z；=0,则Z]=0B.若z；+z；=0,则Z]=z?=0

C.卜一〜卜卜+入aD.若z；=z；,则闯=忸]

【答案】ACD

【解析】对于A,z；=0,贝力z：|=|z"2=o,解得|z"=。，即4=0,故A正确；

对于B,4=i,z2=1,满足z；+z；=0,但Z]*Z2，故B错误；

对于CIzt-iz,|=|（1-i）|=|1-iII2J|=721Z11,

|z1+i-z1|=|z1（l+i）|=|Z1||l+i|=^|z1[,故C正确;

对于D,Z；=z；,则于Dz；|,即匕F>Zz|2,即匕|=匕|,故D正确.

故选：ACD.

10.己知函数/。）=45皿8+。）｝>0,0>0,阿<3的图象向左平移2个单位后到函数丫=8（彳）的

图象（如图所示），则（）

〃、六11兀7兀

B./⑴在五’不上为增函数

59

C.句时,函数g(Xx)在上恰有两个不同的极值点

5兀

D.X—是函数尸f")+ga)的图象的一条对称轴

【答案】BCD

【解析】根据平移性质，可设g(x)=Asin(ox+0)|j"<1

由图象可得A=3,2T=2兀，即7=237r=兀，解得。=2,

0)

3兀

所以g(x)=3sin(2x+。)，又g=3sin|—+6»=0,

I4

所以8=1，即g(x)=3sin(2x+：J,

4

717171

对于A,则/(x)=3sin2X--+：=3sin!2x-^|j,即展后，故A错误;

412

r11jr7IT

1IK7KR-7T1i77i9兀

对于B,当工£——时，2x——GT，由正弦函数单调性知，/⑺在­，—上为增函

1261244126

数，故B正确;

对于C,g(Ax)=3sin12之％+；兀[,当时，22%+?71£兀(兀2+?兀),

4444

E、r5c9ll…5713Tl.兀，9兀兀5兀

因为:所以无又二+二=二；-＜兀4+74-；-+：=：；-

444424442

显然22x+：能取至冷，不能取到费，所以函数gQx)在「(71J上恰有两个不同的极值点，故C

2

正确;

对于D,因为y=/(%)+g(x)=3sin12%—吉7T)+3sin[2%+：兀)=6sin12x+Rkos

124

=36sin2x+1,

所以当x=*时，3氐in(2x*+曰=3氐呜=3有取得最大值，所以x=1^是函数的一条对称

轴，故D正确.

故选：BCD

11.已知定义域均为R的函数Ax)与g(尤),其导函数分别为f\x)与g«)，且g(3-X)=/(x+1)-2,

gXx+D=f'(x-D,函数F(x)的图像关于点M(3,0)对称,则()

A.函数的图象关于直线x=l对称B.8是函数Ax)的一个周期

C.g(5)=2D.g(-2020)+g(-2024)=-4

【答案】ABD

【解析】因为g(3-x)=f(x+l)-2,令x+l=/,则x=/—l,

即g(4T)=〃f)-2,所以g(4—x)=〃x)—2,

用(x—1)替换x可得g(5—x)=/(x—1)—2,即/(x—l)=g(5-x)+2,

又8’(工+1)=/'0-1),则g(尤+l)+o=/(x—1)+6,a,b^R,

所以g(%+l)+a=g(5-x)+2+b,令x=2,可得g⑶+a=8闭+2+/?,

所以。=人+2,

再由g(3-x)=f(x+l)-2,令3—x=m，则机=3-x,

所以g(m)=/(4—⑺一2,即g(x)=/(4—尤)-2,

用。+1)替换x,可得g(x+l)=〃3-x)-2,

且g(x+l)+a=/(x-l)+6,即/(3-x)-2+a=/(x-l)+Z?,

将0=人+2代入，可得/(3—x)=/(x—1),

所以函数/(元)关于直线x=l对称，故A正确；

又函数Ax)的图像关于点M(3,0)对称，即f(3-x)=-/(3+x),

所以4x(3-1)=8是函数〃尤)的一个周期，故B正确；

由g(3-x)=f(x+l)-2,令x=-2,则g(5)=/(—l)—2,

因为函数/（元）关于直线x=l对称，则/■（-1）=/（3）,

且函数/(尤)的图像关于点〃(3,0)对称，所以〃3)=0,

贝ijg⑸=/(3)-2=0-2=-2,故C错误；

由g(3_x)=/(x+l)-2,令元=2023可得g(—2020)=f(2024)-2,

令x=2027可得g(-2024)="2028)-2,

贝g(-2020)+g(-2024)=/(2024)+f(2028)-4,

又8是函数/(x)的一个周期，且函数关于直线x=l对称，

则/(2024)=/(0)=/(2),f(2028)=f(4),

又函数/(x)的图像关于点M(3,0)对称，即〃3-x)=—/(3+x),

令x=l,则"2)=—“4),所以〃2)+〃4)=0,

贝Ig(-2020)+g(-2024)=/(2)+/(4)-4=^,故D正确；

故选：ABD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.二项式(2-尤)”的展开式中，尤2项的系数是常数项的2.5倍，则〃=_.

【答案】5

【解析】二项式(2-x)"的展开式通项为C：2…

则d项的系数是C：2"-2,常数项是C：2",

由题意得C：2"-2=|C：2",即.2n-2=~2n,

整理得篦2一〃-20=0,解之得〃=5或〃=一4(舍)

13.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布"(150,"),已知

成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130〜150次之间的人数约为.

【答案】450

【解析】由题意可知，尸(X>170)=镖=0.2,

又因为X~N(150Q2),

所以尸(130WX<150)=P(150<X<170)=0.5-P(X>170)=0.5-0.2=0.3

所以跳绳成绩X在130~150次之间的人数约为1500x0.3=450.

14.如图是我国古代米斗，它是随着粮食生产而发展出来的用具，是古代官仓、粮栈、米行等必备

的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的

标准最终确定下来.已知一个斗型(正四棱台)工艺品上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为2百，

则其外接球的表面积为.

【答案】40K

【解析】如图，设该正四棱台为四棱台A8CD-44G2，

设上下底面的焦点分别为Ot,o2,则其外接球的球心O在直线OQ上,

由题意，AC=2&A1G=4五,

故四棱台ABC。一AfGA的高a。?=灼2=372,

易知。在线段上，设。Q=x,外接球的半径为R,

22

贝UR=（应了+-=（2应『+（30-x）,解得x=2yf2,

所以尺2=10,

所以其外接球的表面积S=4TIR2=4071.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(本小题满分13分)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概

111

率是彳，击中区域乙的概率是:，击中区域丙的概率是7,区域甲，乙、丙均没有重复的部分.这

348

次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有

一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获

得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号.

（1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率;

（2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X,求X分布列和数学

期望.

【解】（1）记“射击一次获得'优秀射击手'称号”为事件A；射击一次获得一等奖为事件3；

射击一次获得一等奖为事件C,所以有A=BC,

所以P（C）=%；=：,

3分

J4Zo

所以P（A）=P（BuC）=尸⑶+P（C）=:+：=弓

6分

jo/q

（2）获得三等奖的次数为X,X的可能取值为0,1,2,3,4；7分

记''获得三等奖"为事件"所以网上—十:，

33

所以尸（x=o）=c；广康P(X=I)=C

2

3j=史一生,2"=3)=叱)312_3

p(X=2)=C：

I256128256-64

P（X=4）="与用

10分

所以

X01234

81272731

p

2566412864256

E(X)=4x^=l.

显然13分

16.（本小题满分15分）如图，圆柱。a内有一个直三棱柱ABC-三棱柱的底面三角形内

接于圆柱底面，已知圆柱。a的轴截面是边长为6的正方形，==同，点?在线段。。上

运动.

(1)证明：BCYP\.

(2)当尸A=PB时，求BC与平面APB所成角的正弦值.

【解】(1)连接A。并延长，交BC于/,交圆柱侧面于N,

4。1，耳£,。。为圆柱的高,

•••4G、OQ两两垂直,...................1分

以。1为原点，过点。|做耳G平行线为x轴，以A。为，轴，以。0为z轴，建立如图所示空间直角

坐标系。-孙Z,....................2分

OOl=AAi=AN=6,AB=AC=同，

在..ABC中，由射影定理得AC?=41介4V=30nAM=5,

OM=AM-AO=2,

从而CM=BM=J(A/30)2-52=y/5,

A(0,-3,0),3(瓦2,6),q-底2,61.BC=(-275,0,0),....................4分

设尸(0,0,4),..A1=(0,3㈤,

.•.4^-8C=0,：.BCLP\.....................6分

(2)由(1)可得，BP=(-^,-2,2-6),

小尸卜网,r.A^TI+j5+4+(X-6『,得2=3,即点P是线段。0的中点，

二4尸=(0,3,3),BP=(-75,-2,3),....................8分

设平面APB的一个法向量为〃=(x,y,z),

3y+3z=0Ml，

则-如-2y-3z=。'取…得"...................10分

I5)

设5c的一个方向向量为相=(1,0,0),于是得:

13分

设5c与平面所成角为。，贝!jsin。=|cosn,m|=,

所以BC与平面4尸3所成角的正弦值为斗.

15分

17.(本小题满分15分)已知函数尸(x)=ei+gx,G(x)=-x+m&vax(in0).

⑴求函数b(x)图象在x=l处的切线方程.

(2)若对于函数网力图象上任意一点处的切线乙，在函数G(无)图象上总存在一点处的切线给使得

4乜，求实数〃，的取值范围.

【解】(1)F(l)=l+|=|,r(x)=e-1+1,F⑴=l+g=g,...............3分

所以函数歹(x)图象在x=l处的切线方程为y-g=g(x-l),

4

即y=y....................5分

(2)由(1)可得，F,(x)=ex-1+1>|,

若对于函数b(x)图象上任意一点处的切线4,

在函数G(x)图象上总存在一点处的切线“，使得..........6分

即对任意的勺=F(x)>g,总存在原=G(%)使得…7,

即一3<勺=G'(Xo)<O,

又G'(x)=-1+Mcosx(mw0),

从而Gr(x)=-1+mcosx(m0)的值域包含(一3,0),8分

当相＞0时，G(x)=-1+mcosx(m0)的值域为[一加一1,加一1],

所以m-l>0'解得〃叱2,10分

当相＜0时，G(x)=-1+mcosx(m0)的值域为[根一1,一加一1],

-m-1>0

所以解得m<—2,..........14分

m-l<-3

即实数力的取值范围为(f，-2]U[2,S)...........15分

x2y2

18.(本小题满分17分)已知椭圆C：=1(。＞匕＞0)的离心率为《，长轴长为4,A3是其左、

右顶点，尸是其右焦点.

(1)求椭圆C的标准方程;

⑵设尸(%,%)(%＞。)是椭圆。上一点，47有的角平分线与直线AP交于点T.

①求点T的轨迹方程;

9

②若ATP方面积为了，求方.

4

e=—c=—1

a2

【解】(1)由题意知，\2a=4，..........3分

a2=b2+c2

解得二[a=忖2..........4分

22

所以椭圆C的标准方程为上+匕=1；..........5分

43

⑵①:由⑴知,A(-2,0),B(2,0),F(l,0),知吃,%),

设ZBFT=e,则=

易知当上0=1时，P(l,2),原T=l,止匕时AP:y=；x+l,FT:y=%—l,

22

1r4

y=—x+1x—4

由2,解得.即“4,3)；..........6分

y=l〔I

当时，％=tan26=含，而26=病=乱二;，设直线口的斜率为人，

则…=_一_匚=—+¥3=W。>+3jTO=工,

sin20sin20tan2。yQ%2%

所以直线FT方程为y=『Lx-l）,又直线AT方程为y=T7（x+2）,...........8分

，%XQ+Z

y=3（2-Xo）（x-l）

由2V，!，得2^|2^。-1）=弋。+2）,即3（；J）：2%X=3（：J）：4%,

y=/4（x+2）

[%+2

3

解得x=3（4-xj）+4%J-3芯+4（3-封）=2（12-3端="

'3（4-X；）-2%i2-3x；-2（3-%；）；（12-3X：）

将尤=4代入直线AT方程，得'=丹1，即?也白），..........11分

%o十/%0十/

又为>0,-2<%<2,所以黑>0，

故点T的轨迹方程为x=4（y>0）；...........12分

②:由网=3,得STPF~STAF-SPAF=；|A刊%T|A7牛=3%-