2025年山东省青岛市青岛第二中学高三5月月考（数学试题）试卷含解析

2025年山东省青岛市青岛第二中学高三5月月考（数学试题）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列中，则（）A．10 B．16 C．20 D．242．已知函数f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a D．-a3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B． C． D．5．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（）A． B． C． D．6．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．7．函数f(x)＝的图象大致为()A． B．C． D．8．如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，将△ABM沿着AM翻折成△AB'M，且点B'不在平面AMC内，点P是线段B'C上一点.若二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，则直线AP经过△AB'CA．重心 B．垂心 C．内心 D．外心9．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．11．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A． B． C．4 D．512．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，已知点，，若圆上有且仅有一对点，使得的面积是的面积的2倍，则的值为_______.14．已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=__________．15．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2，体积是_____16．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点.求实数的取值范围；若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.19．（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.20．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.21．（12分）已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．22．（10分）如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【详解】已知等差数列中，故答案选C本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.2．A【解析】

令xex=t，构造g(x)=xex，要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x2,【详解】令xex=t，构造g(x)=xex，求导得g'(x)=故g(x)在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，且x<0时，g(x)<0，x>0时，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可画出函数g(x)的图象（见下图），要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故选A.解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.3．D【解析】

与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【详解】，，又，∴，即，∴．故选：D.本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．4．D【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】执行该程序可得．故选：D．本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．5．B【解析】

连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解．【详解】如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.故选：B.本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．6．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.8．A【解析】

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到SΔPB'M【详解】二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，故P到两个平面的距离相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P为CB'中点.故选：A.本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．D【解析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.10．D【解析】

设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.11．D【解析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选D．本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．12．D【解析】

设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.【详解】显然直线不满足条件，故可设直线：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直线的斜率的取值范围为.故选：D.本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

写出所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于的等式，求解得答案．【详解】解：直线的方程为，即．圆的圆心到直线的距离，由的面积是的面积的2倍的点，有且仅有一对，可得点到的距离是点到直线的距离的2倍，可得过圆的圆心，如图：由，解得．故答案为：．本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．14．【解析】

根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则，由等比数列通项公式可知，所以，解得或（舍），所以由对数式运算性质可得，故答案为：.本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.15．20+45，8【解析】试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积S=2×1体积V=12×4×2×2=8，故填：20+4考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.16．【解析】

从7人中选出2人则总数有，符合条件数有，后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有，则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件，∴故答案为：组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．；4；12.【解析】

由题意可知，，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，整理得.所以，求得，设，则，所以在上单调递增，最后求出实数的值.【详解】由题意可知，，则，即方程在区间上有实数解，解得；因为，则，①当，即时，恒成立，所以在上单调递增，不符题意；②当时，令，解得：，当时，，单调递增，所以不存在，使得在上的最大值为，不符题意；③当时，，解得：，且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，若，则在上单调递减，所以，若，则上单调递减，在上单调递增，由题意可知，，即，整理得，因为存在，符合上式，所以，解得，综上，的最大值为4；设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程整理得：由题意可知，，即，即，解得所以切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，整理得.所以，消去，整理得，且因为，解得，设，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，即.本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.18．（1）（2）.【解析】

（1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得.【详解】（1）由题，向量，，则.（2），.，，整理得，化简得，即，，，，即.本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.19．（1）：，：；（2）【解析】

（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.【详解】（1）消去参数，得直线的普通方程为，将两边同乘以得，，∴圆的直角坐标方程为；（2）经检验点在直线上，可转化为①，将①式代入圆的直角坐标方程为得，化简得，设是方程的两根，则，，∵，∴与同号，由的几何意义得.本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．【详解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因为所以，由得，又因为，故，所以，所以.本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．21．（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角