2024海南中考数学二轮训练：规律探索题 (含答案)

2024海南中考数学二轮专题训练题型六规律探索题

类型一数式规律

(热身小练)

(1)若一列正整数：1,2,3,依照此规律，则第个数是；

⑵若一列数：1,3,5,7,9,--依照此规律，则第双〃21)个数是；

(3)若一列数：2,4,6,8,…，依照此规律，则第个数是；

(4)若一列数：一1,1,-1,1,—1,…，依照此规律，则第个数是；

(5)若一列数：1,-1,1,-1,1,--依照此规律，则第个数是；

(6)若一列数：1,4,9,16,依照此规律，则第个数是；

(7)若一列数：2,5,10,17,…，依照此规律，则第个数是；

(8)若一列数：0,3,8,15,…，依照此规律，则第个数是；

(9)若一列数：4,7,10,--依照此规律，则第个数是.

(典例精讲)

例观察下列一组数据，其中绝对值依次增加2,且每两个正数之间有两个负数：1,-3,

-5,7,-9,-11,13,则第10个数是,第3〃个数是.("为正整

数).

(满分技法)

解答数式递推规律的方法：

一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：

第一步：标序数；

第二步：对比序数(1,2,3,…，")与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关

系用含序数的式子表示出来；

第三步：根据找出的规律求出第"个式子，并检验；

第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(+)、负(一)交替出现时，根据正负号的变化

规律，则第n个数字(或式子)的符号用(一1)〃或(-1)"+1表示.

(针对训练)

1.观察下列各等式：

根据以上规律，请写出第5个等式：；第〃个等式为.

2.一组按规律排列的代数式:a+26,/—263,a3+265,/—2少,…，则第7个代数式为

第⑥个代数式为.

3.观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；@10,24,

26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：,第⑹组勾股数为

4.按一定规律排列的一列数依次为一；按此规律排列下去，

这列数中的第9个数是,第n个数是.

5.按规律排列的一列数：一1,2则第20个数是，第"

2581114------------

个数是.（用含〃的式子表示）

6.把正整数1,2,3,4,排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2

行、…，从左到右分别称为第1歹!］、第2列、…，按此规律，2020排在第行、第

列；排在第加行、第〃列的数为,其中加且加，〃都是正整数.

~~2~1~4~567~F

910II12II141516

1718192021222324

2526272M2910M12

第6题图

类型二图形规律

（典例精讲）

例用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案

开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，以此规律，回答下列问题:

A/V\/yyy\

n■I

例题图

（1）第5个图案中正方形有个，等边三角形有个;

(2)第〃个图案中正方形有个，等边三角形有个；

⑶第2021个图案中等边三角形一共有个；

(4)第n个图案中等边三角形比正方形多个；

(5)若第n个图案中一共有62个等边三角形，则n的值为________.

(满分技法)

解答图形累加规律探索题具体步骤如下：

第一步：写序号：记每组图形的序数为“1,2,3,…，/'；

第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；

第三步：寻找图形数量与序数〃的关系：针对寻找第〃个图形数量时，先将后一个图形的个

数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化,一般分为两种情况:

①相邻图形个数的差值相同，则第"个图形的个数m是最高次项为一次的整式m=an+b,

然后代入2组数据即可求出a,6的值；

②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式加=的2+加

+c,然后代入3组数据即可求出a,b,c的值；

第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确.

(针对训练)

1.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a,宽为6,

则第⑪个图案的周长为,第公个图案的周长为.

第1题图

2.如图，将图①的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图②，得到5个正方形;

第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形，…，按此规律进行

下去，则第8次操作后，得到正方形的个数为,第®次操作后，得到正方形的个数

为.

第2题图

3.如图，观察下列图形，它们是按一定规律排列的，其中第①个图形有2个太阳，第②个

图形有4个太阳，第③个图形有7个太阳，第④个图形有12个太阳，…，按照此规律，则

第⑤个图形有个太阳，第。个图形有太阳.

找浜泰谷泰妻骁注舞恭粢皆学器

1

第3题图

4.如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的

三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第

4个图案中有27个，…，按此规律，第6个图案中有个涂有阴影的三角形，第"

个图案中有.个涂有阴影的三角形.

…

累I小第2个/34翡』小

第4题图

5.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样

的规律，则20条直线两两相交最多有个交点，〃条直线两两相交最多有

个交点.

第5题图

6.如图是小强用铜币摆放的4个图案，其中第1个图案中铜币个数有3个，第2个图案中

铜币个数有5个，第3个图案中铜币个数有8个，第4个图案中铜币个数有12个，…，按

此摆放图案的规律，第19个图案中需要个铜币，第〃个图案中需要个铜

币.

&秋感蕊…

Nt、羸*

第6题图

7.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第⑴个图案有3个☆，第⑵

个图案有7个☆，第(3)个图案有13个☆,第(4)个图案有21个☆,…按此规律摆下去，第(6)

个图案有个☆，第(”)个图案有个☆(用含〃的代数式表示).

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

<l>⑵（3）（4）

第7题图

类型三周期规律

（典例精讲）

例如图，△/1/必3,△//必6,△出/必9,…，△4"一必3"-1出"（〃为正整数）均为等边二角

形，它们的边长依次为2,4,6,2”，顶点小，4,A9,•■•,小”均在y轴上，点。是

所有等边三角形的中心，则点4016的坐标为.

【解题步骤】

①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点个为一个循环；

②确定《2016的位置：：2016+_________=，，点/2016在y轴上，且是第________个三

角形的顶点；

③求《2016的坐标：在中，/“2=2,的高为...,点。是

的中心，；.CM3=,同理得。4=,。/9=，…，点也016的坐

标为.

（针对训练）

1.在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放,

点尸从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边。//乂3运动，设第〃

秒运动到P„（n为正整数），则第58个等边三角形在第象限，点P2019的坐标是

第1题图

2.有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和.如果

第1个数是0,第2个数是1,那么前6个数的和是,这2021个数的和是.

3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是

“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,

15,…，我们把第一个数记为ai,第二个数记为他，第三个数记为。3，…，第〃个数记为

斯，贝UCln~,的+4]00=.

IVI

I5I

I6IS2(K(5SMI»I

第3题图

4.将一列有理数一1,2,—3,4,—5,6,,,,,按如图所示有序排列.

4TC

r\f\f\

-3-S810BD

/\/\/\

第4题图

根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(。的位置)是有理数4,那么

(1)“峰6”中D的位置是有理数；

(2)—2019应排在4,B,C,D,E中的位置.

参考答案

类型一数式规律

热身小练

(1>；(2)2〃一1；(3)2〃；(4)(—1)";(5)(—1)"+1或(一⑹层；(7)/+1；(8>2-1；(9)3〃

+1.

例19,—6〃+1.

针对训练

於；'〃+1«+1+，?+1【解析】第5个等式,

1.66+(«+1)-

n(〃+2)n(〃+2)

等号左边根号外面是6,二次根式的分子也是6,分母是62—1,等号右边是这个整数与这

+於；.•.第〃个式子为(〃+

个分数的和的算术平方根，，第5个式子为66

♦+1Yl+1川十1

D-(〃+1)H--------------------，化简得(〃+

(〃+1)2—1(〃+1)2—1n(〃+2)

V(n+1)

2.4+2加3,4叶(―1)〃+1.2於-1【解析】2第1个代数式为屋+(T)i+ix2见第2个代数

式为*2+(_1)1+2x262x2-1,第3个代数式为/3+(_1)1+3、2户3-1,第4个代数式为Q”4

+(—1)1+4*2a4-1,…,则第7个代数式为07+(—1)1+7*2/7-1=加+2加3,・・•当〃为奇数

时，(一当〃为偶数时，・••第〃个式子是：〃+(—

3.16,63,65；2(n+1),n(n+2),(n+l)2+l【解析】观察前4组数据的规律可知:第

一个数是2(〃+1)；第二个数是〃(〃+2)；第三个数是(“+1)2+1..•.第⑦组勾股数为16,63,

65.第〃组勾股数为2(几+1),〃(〃+2),(H+1)2+1.

〃26"3〃-12Z71X3-1〃5.2x3-1

4.,(一1)〃J【解析】第1个数为一^=(一1严一,第2个数为^=(一—,

101+〃2v71+131+2

"8/73X3-111〃x3—l

第3个数为一生=(-1)3^一,第4个数为4=(—1)心一，…，由此规律可知第9个数是

41+351+4

〃9、3一1„26-1

(-1)9--=--Mn个数是(一1渭一=(一1渭一.

1+9101+n1+〃

【解析】・・・-1=(—2=(—l)2x—_3=(_l)3x」^,

3n—123x1-153x2-183x3—1

44，.••第个数是(一。・一组一=”第〃

—=(-l)4x-£=(—…201)2

113x4-1'143x5—13x20-159

个数是(一1)，，•一—

3n—1

6.253,4；8加+〃-8【解析】72020=8x252+4,工2020排在第253行第4列;根据数

字排列规律：第m行最后一列数字为8冽，.••排在第m行第n列的数为8冽+〃一8.

类型二图形规律

例(1)5,18；

(2)小4"—2；【解析】第〃个图案有〃个正方形，当〃=1时，等边三角形个数为2,当

〃=2时，等边三角形个数为2+4x1=6,当”=3时，等边三角形个数为2+4x2=10,当〃

=4时，等边三角形个数为2+4x3=14,.,.第〃个图案中等边三角形的个数为2+4(〃-1)

=4/7-2.

(3)8082；

(4)3〃一2；

(5)16.

针对训练

L22a+26,Ina+lb【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a+6),第②个

图案的周长为2x2(a+6)—2x(2—1)6,第③个图案的周长为3x2(a+6)—2x(3—1)6,…，则

第®个图案的周长为〃x2(°+b)—2(〃-1)6,.•.第⑪个图案的周长为11x2(a+6)—2x(11—1)6

=22a+2b,

第面个图案的周长为〃x2(a+6)—2x(〃-l)6=2〃a+26.

2.33,4„+1【解析】逐部分分析如下：

次数第一次第二次第三次

正方形5=9=13=

个数4x1+14x2+14义3+1

由表可以看出，每个图案中正方形的个数=4x(图形序数-1)+1,,则第8次操作后，得到

的正方形个数为4x8+1=33,第〃次操作后，得到的正方形个数为4〃+1.

3.21,〃+2"一【解析】如解图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：

MMWWWW

泰法珠泰崇米崇素泰诔崇米崇奈深

①②③④

第3题解图

逐部分分析如下表：

序数①②③

上部

1234

太分

阳下部

1=2°2=2]4=228=23

个

分

数

总数24712

由表可以看出，上部分太阳的个数等于图形序数，下部分太阳的个数等于2的图形序数减1

次方，故第⑤个图形中太阳的个数为5+24=21；第®)个图形中太阳的个数为〃+2「i.

4.243,3，门【解析】•.•第1个图案中有1=3。个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3=

31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9=32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27

=33个涂有阴影的三角形，依次类推，第6个图案有243=35个涂有阴影的三角形，第〃

个图案中有3，门个涂有阴影的三角形.

5.190,|«(»-1)【解析】2条直线相交最多有1个交点;3条直线相交最多有1+2=3=，3X2

个交点；4条直线相交最多有1+2+3=6=1X4X3个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4

2

=10=1x5x4个交点；…；20条直线相交最多有1x20x19=190个交点."条直线相交最多

22

有1)个交点.

6.192,(吴+夕+2)【解析】第1个图案中铜币个数为2+1=3；第2个图案中铜币个数

为2+1+2=5；第3个图案中铜币个数为2+1+2+3=8；第4个图案中铜币个数为2+1

+2+3+4=12；…，第”个图案中铜币个数为2+1+2+3+4+…++1)+2,当〃

=19时，|n(n+l)+2=1xl9x20+2=192.

7.43,(层+"+1)【解析】：第1个图案有(了+1+1)=3个☆，第2个图案有(22+2+1)

=7个☆，第3个图案有(32+3+1)=13个☆，第4个图案有(42+4+1)=21个+，第5个

图案有(52+5+1)=31个☆，,第6个图案有(62+6+1)=43个+，第〃个图案有(层+〃+1)

个☆.