经济学中数学模型

1经济学中的数学模型史宁中东北师范大学2学科的分类形态分类科学

研究概念、概念与概念的关系、概念与现实之间的关系

判断正确与否的准则是事实

命题判断，无论是谁、无论何时、无论何地艺术

研究作品、作品与作品的关系、作品与感觉之间的关系

判断正确与否的准则是价值观作品判断，因人而变、因时而变、因地而变

哲学研究范畴、范畴与范畴的关系、范畴与终极之间的关系

伦理学：人的行为；逻辑学：人的思维

政治学：社会组织；美学：形态与感官，是艺术的哲学

形而上学：存在的本体论，精神与物质，经验与认识

宗教：是一种情怀，是一种信仰3学科的分类思维分类形象思维基于观察、观察后的联想、跨越联想的想象逻辑思维基于推理：对命题的判断、若干命题判断之间的思维过程命题：可供判断的陈述句有逻辑的推理：命题的内涵之间具有传递性

凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。无逻辑的推理：命题的内涵之间不具有传递性苹果是酸的。酸是一种味道。苹果是一种味道。辩证思维强调事物的两个方面：中国的阴阳

矛盾是对立的、是可以转化的、因而也是统一的

西方（黑格尔）重视：合二而一

东方（易经、老子）：一分为二、合二而一4学科的分类学科分类自然学科

科学

逻辑思维+形象思维

数学、物理、化学、地质、天文、生物、医学、信息

概念之间的关系是必然的人文学科

艺术

形象思维+逻辑思维语言、文学、历史、音乐、美术、舞蹈、影视、传媒社会学科科学+艺术

辩证思维+逻辑思维+形象思维政治、社会、伦理、经济、商学、管理、心理、教育

概念之间的关系是或然的

5一、凯恩斯宏观经济模型二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型三、时间序列：经济增长与因果分析模型四、限制优化：组合投资模型6一、凯恩斯宏观经济模型凯恩斯（Keynes，1883－1946）强调政府对于市场的干预。凯恩斯静态模型两个方程。第一个方程：收入=消费+投资

第二个方程：消费=基本+收入比例其中Y：国民收入；C：国民消费；I：国民投资；a0

为基本消费；a为消费倾向：a≦1。通过计算可以得到a越接近1，消费倾向越强，国民收入越高。7一、凯恩斯宏观经济模型固定乘数、变化投资。如果固定系数：a0=10、乘数：a=4/5。当投资

I=5时，收入Y=75；当投资

I=10时，收入Y=100。投资增加5，收入增加

100–75=25。收入增长是投资增加的5倍。固定投资、变化乘数。如果固定系数：a0=10、投资：I=10。当乘数a=3/5时，收入Y=50；当乘数a=4/5时，收入Y=100。乘数增加1/5，收入增加100–50=50，是投资的5倍。通过消费刺激经济，促进收入。8一、凯恩斯宏观经济模型弗里德曼（Friedman，1912-2006，1979年诺贝尔经济学奖）研究持久收入消费理论，在持久收入下

消费倾向a=1；并且有a青年

＞

a老年。托宾（Tobin，1918-2002，1981年诺贝尔经济学奖）在凯恩斯模型的基础上研究了货币的作用、以及货币价值的变化，引入了“实在财富”的概念，表示为W，定义为其中K为总资产，M为货币总量，p为价格水平。凯恩斯第一个方程为

9一、凯恩斯宏观经济模型萨谬尔森（Samuelson，1915-2009，1970年

诺贝尔经济学奖）用数理经济学的方法重写了经济学。在凯恩斯模型中加入了时间因素，萨谬尔森乘数-加速模型：Yt，Ct

和It

分别表示

t时间收入、消费和投资；I0表示政府支出。强化了消费对投资的影响、进而对收入的影响。求解过程得到一个二阶非齐次差分方程，无实根时有阻尼震荡解，解释了经济周期。在凯恩斯模型的基础上，学者们又考虑了时间、货币、持久收入，但没有考虑长期消费：房子，汽车；提前消费：信用卡。10二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型与时间有关的基本模型：现在

=F(过去)

。最简单形式：当b为常数：动力系统；当b为随机变量：时间序列。住房贷款：不计算复利，a=1。比如，考虑贷款规则：贷款本金80万元、年息为本金的

4%。每年还利息、以及本金的5%。20年还清。

每年还款：利息

80×4%=3.2，本金

80×5%=4，合计3.2+4=7.2。

一共还款：7.2×20=144（万元）。用

Ct

表示

t年后还款金额，可以得到：11二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型银行储蓄：计算复利，a≠1。比如，存款方法，本金

2万元，年利息4%。如果用Ct表示第t年的银行存款累计金额，那么：t=1，…；C0=2。这时

a=1+4%＞1，数量递增。得到一般项：t=30，C30=3.24×2=6.48。30年后存款累计金额。人口模型：马尔萨斯（Malthus，1766－1834）其中Nt

为t年人口数，r为年人口增长率。中国平均增长率r=6‰，2003年人口12.92亿，2013年人口13.54亿，计算N10=13.44亿。12二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型动力系统称使得C=aC+b成立的常值C为动力系统的平衡点。得到投资额度。一个项目花费100万，在这个花费下回报120%，为稳定这个关系，起始投入应当多少？资金运转方程为：再生产资金=收入–支出平衡点为：a=-100/(1-1.2)=500，起始投入500万元。容易验证，对于每一个年份t，资金运转方程的解都是500万元。13二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型养老金基金。退休后每年得到养老金

5万元。如果缴纳时间是30年，那么，这个人（包括工作单位）每年应当缴纳多少？假设养老基金储存在银行，年利率为4%。用Ct

表示享受t年后，这个人养老金剩余额度。无限稳定情况。假设养老金是无限稳定的，养老金获取方程为其中t=1，…。这个方程的稳定点为C0=-5/(1-1.04)=125。因此，缴纳额度为125万元。假设每年缴纳金额一定：B万元，基金缴纳方程为

125=a29B+a28B+…+aB+B

=(1+a+…+a29)B

=[(1-a30)/(1-a)]B

=56B其中a=1.04。解得B=2.23，即每年缴纳金额为2.23万元。14二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型有限稳定情况。享用养老金有限的：20年。即C21=0。由获取方程：

令r=1/1.04=0.96，可以得到

C20=r5，C19=r25+r5，……C0=5(r+r2+…+r21)

=5r[(1-r21)/(1-r)]=5×14.5=72.5比无限稳定少：125-72.5=52.5（万元）每年缴纳金额：72.5/56=1.29（万元）每年大约减少：2.23-1.29=0.94（万元）缴纳时间增加五年、享用时间增加五年，结果将会如何？15三、时间序列：经济增长与因果分析模型如何利用历史数据估计系数a和b。构建时间序列：其中t=2，…，T；ξt

为随机变量，Eξt=0，Vξt=σ2。系数的估计为《统计检验的理论与方法》第五章，史宁中著，科学出版社，2008年16三、时间序列：经济增长与因果分析模型图1.1978~2002年中国对数GDP散点图1980198519901995200017三、时间序列：经济增长与因果分析模型回顾时间序列：ξt

为随机变量，Eξt=0。如果方差Vξt

不是常数的情况，比如ARCH模型恩格尔（Engle，1942-，2003年度诺贝尔经济学奖）研究了这个问题。两个变量，比如x：国民生产总值，y