三角形中的常见模型综合训练（原卷版）-2024年中考数学冲刺复习

培优专题01三角形中的常见模型综合训练

考点大集合

小手拉手全等

2、K型全等

H。考点一三角形的全等模向

3、倍长中线造全摹）\题型01三角形常见全等模型及其应用

<4.对称类全等1

■<5、平移类全等）,

1.平行类相似）,

2.手拉手相似

三角形常见模型K型相似

。考点二三角形的相似模型》题型01相似三角形常见模型及其应用

一线三等角

5,母子三角形

6、射影定理

_、「（1、三角形角平分线与中线夹角碱））

—（。考点三三角形组合型（2、知二得一模型）>|题型01三角形组合aaRMgffl|

1（3、勾股定理的面积模型）

考点、大过头

考点一：三角形的全等模型

・核而提炼：查漏补缺_____________

全等三角形在中考数学中的重点不是简单的直接考察，而是作为几何题的中间变量，利用全等三角形的

对应边相等、对应角相等，来传递等量线段或者等价角。而当题目不直接考察时，识别需要的全等模型，

并利用对应结论做题就是最为重要的一个突破口，学习模型，运用模型结论直接做题会给我们提供一个非

常重要的做题思路。

题型特训•精准提分

题型01三角形常见全等模型及其应用

解题大招：全等常见模型：

①K型图：

图形条件与结论辅助线注意事项

条件：AC=BC,AC1分别过点A、BK型图可以和等腰直角三

BBC作AD_L/角板结合，也可以和正方

结论：BE1/形结合

"DC△ADC^ACEB(AAS)

K型全等模型变形——三垂定理：

•

I卜!一

如图，亦有AADC二△CEB（AAS）\*!

总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系

②手拉手：

模型名称几何模型图形特点具有性质

全连结BD、CE

等©AABD^AACE

型②△

AD=AEAOBS^HOC

手

AB=AC

拉(即41=42=43)

ZBAC=ZDAE

手/④A、B、C、D四点共圆

-----------⑤AH平分乙BHE

③倍长中线：

基本图形辅助线条件与结论应用环境

①倍长中线常和△三边

延长AD到点E,条件：AABC,AD=BD关系结合，考察中线长的

使DE=AD,连接CE取值范围

.L—\结论：②倍长中线也可以和其

△ABDSACED(SAS)他几何图形结合，考察几

何图形的面积问题

【中考真题练】

1.（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点。为A4'、的中点,

只要量出48的长度，就可以知道该零件内径48的长度.依据的数学基本事实是（)

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D.两点之间线段最短

2.（2023•重庆）如图，在中，ZBAC=90°,AB=AC,点、D为BC上一点,连接AD.过点B

作BE1AD于点E,过点C作交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为.

3.（2023•呼和浩特）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB^BC,AC=4&，点P为AC边上的中点,

PM交AB的延长线于点M,PN交BC的延长线于点N,且PM1PN.若BM=1,则△PMN的面积为（）

4.（2023•湖北）如图，XBAC,/XOEB和△AEP都是等腰直角三角形，/BAC=/DEB=/AEF=90°,

点E在△ABC内，BE>AE,连接。尸交AE于点G,DE交AB于点、H,连接CP.给出下面四个结论：

®ZDBA=ZEBC；®ZBHE=ZEGF；③AB=DF；®AD=CF.其中所有正确结论的序号是.

D

A

C

5.（2023•遂宁）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、AACZ）,连结ED、BD、

EC,过点A的直线/分别交线段。£、BC于点M、N.以下说法：①当A3=AC=BC时，ZAED=30°；

②EC=BD；③若48=3,AC=4,BC=6,则DE=2愿；④当直线/L8C时，点M为线段OE的中点.正

确的有.（填序号）

6.（2023•鞍山）如图，在正方形ABC。中，点M为C。边上一点，连接AM,将△ADM绕点A顺时针旋

转90°得至UAABN,在AM,AN上分别截取AE,AF,^_AE=AF=BC,连接EF,交对角线8。于点G,

连接AG并延长交2C于点以若AM=空，CH=2,则AG的长为.

7.（2023•大连）如图，AC^AE,BC=DE,BC的延长线与。E相交于点RZACF+ZAED^180°.求

证：AB=AD.

A

8.(2023•遂宁)如图，四边形ABC。中，AD//BC,点。为对角线的中点，过点。的直线/分别与

AD,2C所在的直线相交于点E、F.(点E不与点。重合)

(1)求证：ADOE当ABOF；

(2)当直线LB。时，连结BE、。尸，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由.

9.(2023•巴中)综合与实践.

(1)提出问题.如图1,在△ABC和△AOE中，ZBAC=ZDAE=90°,且AB=AC,AD=AE,连接

BD,连接CE交BD的延长线于点O.

①/BOC的度数是.

®BD：CE=.

(2)类比探究.如图2,在△A8C和△OEC中，ZBAC=ZEDC=90°,且AB=AC,DE=DC,连接

AD.BE并延长交于点。.

①/AO8的度数是；

®AD：BE=.

(3)问题解决.如图3,在等边△ABC中，于点。，点E在线段AO上(不与A重合)，以

AE为边在的左侧构造等边△AEP,将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,M为

所的中点，N为BE的中点.

①说明为等腰三角形.

②求/MND的度数.

A

图3

【中考模拟练】

1.（2023•三穗县校级一模）如图，点E分别为△A8C的边A8,AC上的点，连接。E并延长至R使

EF=DE,连接尸C.FC//AB,AB=5,CF=3,则8。的长等于（）

A.1B.2C.3D.5

2.（2024•昆山市一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5,AB=6近,是锐角，CEJ_AD于点E,

E是C。的中点，连接BEEF.若/EFB=90°,则CE的长为.

3.（2023•福田区二模）如图，正方形4BCO的边长为8,对角线AC,8。相交于点。，点M,N分别在

边BC,C£）上，且NA/ON=90°,连接MN交OC于P,若BM=2,贝IOP・OC=

4.（2024•河南一模）如图，在菱形O42C中，/BCO=60°,点C（-3,0）,点D在对角线3。上，

且。£>=2瓦），点£是射线A。上一动点，连接。E,B为无轴上一点（尸在。E左侧）,且/EZ）F=60°,

连接跖，当△/）£/的周长最小时，点E的坐标为（）

5.（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放.将两个三角板抽象成如图②所

示的△ABC和△AOE,点、B、C、。依次在同一条直线上，连接CE.若C£>=1,CE=3,则点A到直线

图①图②

6.（2024•雁塔区校级二模）已知：如图，点E、F在8C上，AF与DE交于点,G,AB=DC,GE=GF,

7.（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙,

木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板42。(乙钻。=90°,BD=BA)，点B在CE上，点A和。

分别与木墙的顶端重合.

(1)求证：AACB沿ABED；

(2)求两堵木墙之间的距离.

8.(2024•龙马潭区一模)如图，抛物线y=a/+bx+6(aWO)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，

与y轴交于点C,顶点为。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段BC上存在一点M,使得/3MO=45°,过点。作OHLOM交8C的延长线于点求

点M的坐标；

(3)点尸是y轴上一动点，点。是在对称轴上一动点，是否存在点P,。，使得以点P,Q,C,。为顶

点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

考点二：三角形的相似模型

■核足提炼；查漏补缺_____________

相似三角形和勾股定理是解决初中数学求长度问题中的两大重要定理，所有的几何问题就长度，最后几

乎都能转化为这两个定理的应用。而作为应用几率更大的相似三角形，熟悉其常用模型，利用模型的性质

思考对应问题的走向就是一个非常重要的解题思想。所以，先熟悉相似的各种模型，再在问题中识别模型，

最后利用模型找捷径。

・题型特训•精准提分

题型01相似三角形常见模型及其应用

解题大招：相似常见模型：

①A字图：

当DE〃BC时当乙ADE=2ACB时

△ADE'-△ABC△ADE^AACB

性质：性质：

①ADAEDE

AB~AC~BCADAEDE

AC-BC

ADAE

DB-EC

②8字图：

当AB〃CD时当2A=4C时

△AOB^ADOC△AJB-ACJD

性质：性质：

AB_OA_OBABJAJB

CD-OC而一元一元

③一线三等角：

常用结论：

1易得△左S△右；

2.如图②，纳E尸时，ABDE咨ACFD；

3.中点型“一线三等角”中，可得三个三角形两两相似

如右图，若Nl=N2=/3,且8£>=DC,则

八A,令期中未植：

5*即西在，E，疗笈M一般地:当动点E运动到底边的中点时,

*\pA呻<CF有最大值

5八Ka悔皑*△蚱松声

■小乙7A\c：展懵

特殊母子型一射影定理

在Rt^ACB与Rt^ADC中，当心ABC=4ACD时，有

■­.RtAACB-RtAADC^RtACDB

射影定理：AC2=AD»AB

BC2=BD»AB

CD2=AD»BD

☆：“母子△”与“阿氏圆”☆：有关射影定理图形常见的三个应用方向：

阿氏圆的基本原理就是构造1.等积法（求斜边上的高）

母子三角形，之后再结合两2.同角的余角相等（得ZA=NBCD）

点之间线段最短求解最后结3.射影定理

叫I初昌在圆中因为直径所对圆周角=90。，转化得此图形，进而利

【中考真题练】

1.（2023•哈尔滨）如图，AC,相交于点O,AB//DC,〃是45的中点，MN//AC,交BD于点、N,若

DO：2,AC=12,则MN的长为（

C.6D.8

2.（2023•东营）如图，ZVIBC为等边三角形，点、D,E分别在边BC,AB上，/ADE=60；若BD=4DC,

DE=2.4,则A。的长为（）

3.（2023•雅安）如图，在E1ABC。中，/是AD上一点，CP交8。于点E,B的延长线交54的延长线于

点G,EF=1,EC=3,则GP的长为（）

A.4B.6C.8D.10

4.（2023•德州）如图，A,B,C,。是O。上的点，AB=AD,AC与BD父于点、E,AE=3,EC=5,BD

=4、后，QO的半径为（）

A.6B.5遮C.5D.2A/6

5.（2023•东营）如图，正方形ABC。的边长为4,点E,尸分别在边。C,BC上，且2P=CE,AE平分

ZCAD,连接。E分别交AE,AC于点G,M.尸是线段AG上的一个动点，过点尸作PNLAC,垂足

为N,连接PM.有下列四个结论：

①AE垂直平分DM-,

②PM+PN的最小值为3®

③CF2=GE・AE；

@SAADM=6A/2.

其中正确的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩

形纸片A8C。如图所示，点N在边上，现将矩形折叠，折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点

M恰好落在边。C上，则图中与一定相似的三角形是.

DMC

7.（2023•呼和浩特）如图，正方形ABC。的边长为2\后，点E是C。的中点，BE与AC交于点M,F是

上一点，连接分别交AC,AE于点G,H,MBF±AE,连接MH,则AH=,MH=.

8.（2023•常德）如图1,在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是AB上一点，且AD=2,

过点D作DE//BC交AC于E,将△AOE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中些的值为

CE一

9.（2023•鄂州）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会.这

次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”.如图，

用四个全等的直角三角形（RdAHBgRCBECgRtZ\CFDgRtZXDGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方

形A8CZ）与正方形EFGH,连接AC和EG,AC与DF、EG、BH分别相交于点尸、。、Q,若BE：EQ

=3：2,则空•的值是

10.(2023•湘潭)在RtZXABC中，ZBAC=90°,AQ是斜边BC上的高.

(1)证明：AABDs^cBA；

(2)若AB=6,BC=10,求3。的长.

11.（2023•南京）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度8（0°<0<180°）,再将

旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为总称这种变

换为自旋转位似变换.若顺时针旋转，记作TG4,顺仇左）；若逆时针旋转，记作T（A,逆3左）.

例如：如图①，先将AABC绕点B逆时针旋转50°,得到△4BC1,再将△A18C1以点8为位似中心缩

小到原来的工，得到△A2BC2,这个变换记作7（2,逆50°,1）.

22

（1）如图②，△ABC经过T（C,顺60°,2）得到B'C,用尺规作出△&'B'C.（保留作图

痕迹）

（2）如图③，AABC经过T（B,逆a,ki）得到△班。，△ABC经过T（C,顺0,to）得到△尸DC,

连接AE,AF.求证：四边形AFDE是平行四边形.

（3）如图④，在△ABC中，ZA=150°,AB=2,AC=\.若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形

AFDE是正方形.

I,用尺规作出点。（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；

II.直接写出AE的长.

③④

【中考模拟练】

1.（2024•沙坪坝区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△O4B和△OCQ是以原点。为位似中心的位似图

形.若08=20。△OCD的周长为3,则△048的周长为（）

A.6B.9C.12D.30

2.（2024•平遥县一模）如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的点，且虹）上AB,AE=—AC-CD与BE

33

交于点0,则SACOE：SABOC的值为（)

c.1D.1

43

3.（2024•镇海区校级模拟）如图，AABC和△COE都是等边三角形，点G在C4的延长线上，GB=GE,

若8E+CG=10,旭=旦，则AF的长为（）

BE2

G

C.9D.2

5

4.（2024•龙湖区校级一模）边长为4的正方形ABC。中，对角线AC,BD交于点O,E在2。上，作EF

_LCE交AB于点孔连接CF交于H,则下列结论：®EF=EC-,®CF2=CG-CA；③BE・DH=16；

④若BF=1,贝正确的是（)

A.①②④C.①②③D.①②③④

5.（2024•河北模拟）如图，△ABC中，AB=AC=4,8C=2«,以AB为直径的。。分别交AC,8c于

点D,E,连接ED,则CD的长为（）

D.5

2

6.（2024•宁波模拟）如图，在正方形ABC。中，G为8C上一点，矩形。EPG的边所经过点A.若/CDG

=a,贝!|NA班'=；若48=3,GC=2,则△EM的面积为

E

7.（2024•沈阳模拟）如图，矩形ABC。中，AB=4,AD=5,E是AB边上一点，且AE=1,尸是边

上一动点，作NEPG=90°,交CO边于点G,将△即G沿着尸G所在直线折叠，点。的对应点。'恰

好落在BC边上，则DF的长为.

8.（2024•伊宁市校级一模）如图，在正方形ABC。中，对角线AC,8。交于点。，点E在AC上，EFL

BE交CD于点F,且尸为。的中点，交8。于点G,连接8尸交AC于点”，连接GH.下列结论：①

NEFB=45°；②FC=&AE；③EH=2GH；®GO-BG=GH-GD.其中正确结论的序号为.

9.（2023•新抚区模拟）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=2,2C=4,AE=3,连接BE,以BE为

斜边在BE的右侧作等腰直角P是AE边上的一点，连接PC和C。，当NPCO=45°,则PE长

CB

10.（2024•汝南县一模）某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,

并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下.

课题测量旗杆的高度

成员组长：XXX

组员：XXX,XXX,XXX

测量皮尺，标杆

工具

测量说明：在水平地面上直立一根标杆EF,观

示意测者沿着直线BF后退到点D,使眼睛C、

图标杆的顶端£、旗杆的顶端A在同一直线

上.

测量观测者与标杆的距离。尸观测者与旗杆的距离标杆E尸的长观测者的眼睛离地

数据面的距离CD

im18/n2.4m\.6m

问题如图，过点C作CHLAB于点X,交EP于点G.…

解决

请根据以上测量结果及该小组的思路.求学校旗杆A8的高度.

11.（2024•中山市一模）【感知】如图①，在正方形ABC。中，E为A8边上一点，连结。E,过点E作

EFLDE交BC于点、F.易证：LAEDsABFE.（不需要证明）

【探究】如图②，在矩形A8C。中，E为边上一点，连结。E,过点E作跖，。E交8C于点?

（1）求证：AAEDs^BFE.

（2）若AB=10,A£>=6,E为AB的中点，求8尸的长.

【应用】如图③，在△ABC中，ZACB=90°,AC^BC,AB=4.E为AB边上一点（点£不与点A、B

重合），连结CE,过点E作/CE/=45°交2C于点?当△（?£尸为等腰三角形时,BE的长为.

考点三：三角形的组合模型

—k核4提炼：查漏补缺_____________

三角形除了全等模型，还有一些可以得到特殊性质或者结论的组合模型，即当两个或者三个条件同时出

现，就会有一些固定用法，这类模型我们叫它组合模型。

・题型特训•精准提分

题型01三角形组合模型及其应用

0

解题大招：常见组合模型

①知2得1：

①AD为角平分线；②DE〃AB；③AE=ED

若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。

即：三条件满足“知2得1"

②勾股定理面积应用：

③等腰直角三角形中“半角模型”

辅助线：将3EC绕点A按逆时逆时针方向90°,

使AC与AB重合，点E对应点为，伊，连接DF

C

:①等腰例△X8C结论：'XRL.BDF

2Z£ID=45°.5JCEZ♦BD2■DE2

☆1：若乙DAE旋转到△ABC外部时，结论BD2+CE2=DE2仍然成立

【中考真题练】

1.（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点。，E.分

别以点E为圆心，大于/DE长为半径画弧，交于/BAC内一点?连结AF并延长，交BC于点G.连

结。G,EG.添加下列条件，不能使8G=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG±BCC.NDGB=/EGCD.AG=AC

2.（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦

图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a、b,斜边

长为c,若6-。=4,c=20,则每个直角三角形的面积为.

3.（2023•潍坊）如图，在△ABC中，CD平分/AC8,AELCD,垂足为点£,过点E作E尸〃2C,交AC

于点兄G为8C的中点，连接尸G.求证：FG=1AB.

4.(2023•黄石)如图，为。。的直径，D4和。。相交于点RAC平分NZMB,点C在。。上，且CD

±DA,AC交BE于点P.

(1)求证：co是OO的切线；

(2)求证：AC,PC=Bd；

(3)已知8c2=3祝・OC,求”的值.

AB

5.(2023•怀化)如图，AB是O。的直径，点P是O。外一点，以与O。相切于点A,点C为OO上的一

点.连接尸C、AC、OC,&PC=PA.

(1)求证：PC为(DO的切线；

(2)延长PC与A8的延长线交于点。，求证：PD-OC=WOD；

(3)若NC