2024高考数学模拟卷3（19题结构）解析版

2024高考数学模拟卷03

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

绝密☆启用前

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.某射击运动员连续射击10次，命中环数如下表:

命中球数78910

频数2341

则这组数据的中位数和众数分别为（）

A.4,4B.3.5,4C.8.5,9D.9,9

【答案】C

【分析】根据中位数和众数的定义求解.

【详解】由已知该运动员射中7环2次，8环3次，9环4次，10环1次，

射中9环的次数最多，所以命中环数的众数为9,

将所有数据按从小到大排列可得7,7,8,8,8,9,9,9,9,10,

所以命中环数的中位数为8+寄9=8.5,

故选：C.

2.已知椭圆C：三二+.=1的离心率为:，则根=（）

m+1m乙

A.-B.1C.3D.4

3

【答案】C

【分析】

利用椭圆的性质计算即可.

【详解】由题意可知e=J大Jn畛3.

故选：C

3.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在

新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、

竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积4M2，L,%(单位：L)

依次成等差数列，若4+出+。3=3.6,4=0.4,则%+&++ag=()

A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5

【答案】C

【分析】根据等差数列性质得出=12,进一步利用%++…+Q9—~(〃2+%)进行求解即可.

【详解】｛4“｝为等差数列，

%+生=3〃2=3.6,故〃2=1.2

9,、

+/+•..+%=—(q+%)

99一

=—(%+<^)=—x(1.2+0.4)=7.2.

故选：C.

4.已知圆柱。。2中，AD,分别是上、下底面的两条直径，^.AD//BC,AB=BC=4,若M是弧8C的中

点，N是线段AB的中点，则()

A.AM=CN,A,C,M,N四点不共面B.AMwCN,A,C,M,N四点共面

C.为直角三角形D.A"KCN,Z\ACM为直角三角形

【答案】D

【分析】根据圆柱中的直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断即可得结论.

【详解】因为点MeBC,而3Cu平面AOV,结合圆柱结构，所以“公平面ACN,故ACM,N四点不共

面；

圆柱。02中，AD,BC分别是上、下底面的两条直径，且40//如,四=3。=4,

若M是弧BC的中点，N是线段AB的中点，^LBM=—BC=2y[i,BN=-AB=1,

22

所以=，初+即〃=2施C7V='CB2+BN?=2小，故AM手CN；

连接AO?,则依题有A2为AM在平面A5C。内的射影，在平面A5CD内显然即与A。?不垂直，故4W与

80不垂直；

MC=MB=2A/2,AC=472,AM2+MC2=AC2，则△AQW为直角三角形，

故选：D.

5.过点P(-U)的直线与圆C：Y+y2-6x-4y+12=0相切于点〃，则尸。尸”=()

A.4B.16C.717D.17

【答案】B

【分析】利用数量积公式，转化为求切线长问题.

【详解】圆C:厂+y2-6x—4y+12=0,即圆C:(x—3)?+(y—2)~=1的圆心为C(3,2),半径，=1,

点尸(-LD到圆心C(3,2)的距离d=J(3+1)。+(2-1)。=JF7，所以pM卜/—1=4,

PCPM=\PC\\PM\cosZCPM=|PC\-\PM\-^^-=\PM\2=16.

\PC\

故选：B

22

6.己知尸是双曲线=1右支上的动点，片，鸟是双曲线C的左、右焦点，则山|尸耳|+叼尸耳|的最小

值为()

A.12B.In4C.Inl2D.In32

【答案】C

【分析】根据可得双曲线C定义，得卢耳|—|尸盟=4,|笔目2,的),再由

1nlM+卬尸用=ln(附归用)=ln(尸耳(4+|尸础)结合二次函数的性质即可得解.

22

【详解】因为P是双曲线C:工-匕=1右支上的动点，

412

由双曲线C定义，得|尸耳|-俨阊=4,户闾«2,+力），

则如|叫+如|「局=如（明|尸国）=如［桃（4+|尸功］

=ln（|%『+4忸引=时（|%+2丫一4］,

当且仅当|桃|=2取得最小值lnl2.

7.现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙

丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（）

A.180B.150C.120D.210

【答案】A

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所

在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，

若分为4、1、1的三组，有或=15种分组方法,

若分为3,2,1的三组，有或C；=60种分组方法,

若分为2,2,2的三组，有笑晨=15种分组方法,

A；

共有15+60+15=90种分组方法，

②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，

则有90x2=180种分发方式.

故选：A.

8.在等边三角形ABC的三边上各取一点O,E,F,满足DE=3,DF=2日/DEF=90°,则三角形ABC

的面积的最大值是（）

A.B.135/3C.—V3D.V3

【答案】A

【分析】首先求出石厂，设NBED=6,%0,yI,在ABDE、△困分别利用正弦定理表示出破、CE,

从而得到5。=5石+废，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出5C的最大值，即可求出三角形面积最

大值.

【详解】因为。石=3,DF=2y/3,ZDEF=90°,所以瓦=广=5彦=g，

、r_„„2兀|

设/BED=e,0,y,

ZCFE=y^-0

BE

BEDE

在汨中由正弦定理,即sin

sinZBDEsinB

32

2兀

所以BE=2氐in6，

3

CE走=2

CEEF

在△CEF中由正弦定理,即《+

sinNCFEsinCsin66

2

所以CE=2sin|j+0j,

所以BC=BE+CE=2Ain|竺2兀-9|+2sin|-71+O

36

'i-cos^-cos-sin^j+2|sin—71cos0+cos—71sin0

3366

=26sin，+4cosO=2A/7sin(6+9)(其中tan0=^^),

所以3c1mx=2近,

(可=

则SABC=-BC-sin-=—BC2<—x27B,

2344

即三角形ABC的面积的最大值是773.

故选:A

【点睛】关键点点睛：本题关键是用含。的式子表示出砥、CE,再利用三角恒等变换公式及辅助角公式

求出BCmax.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，下列说法正确的是()

A.若复数2=紧(i为虚数单位)，则Z74=T

B.若复数z满足z=1，则zeR

C.右Z]Z2=0,贝Uzi=O或Z2=0

D.若复数z满足|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应点的集合是以坐标原点。为中心，焦点在x轴上的椭圆

【答案】ABC

【分析】根据复数的基本概念、四则运算、几何意义即可得出结果

1-i(1—解?i

z

【详解】解：复数=「=77y/不=-彳=一,

l+i(l+i)(l-i)2

因为r=1,所以Z74=(i4『.i2=_l,故选项A正确；

设2=〃+历(a,〃£R),若复数Z满足Z=2

则a+历=a-历，即6=0,所以zcR,故选项B正确；

设Z]=m+£R),z2=C+60(C,6?GR),

贝！|Ze=(m+m)(c+Ji)=mc—n4Z+(mJ+nc)i.

因为zxz2=me—nd—(md+,且zizi=me—nd—(md+nc)i,

所以Z-=Z1Z2.

若Z1Z2=。，则Z1Z2=O，所以Z1=0或Z2=0，故选项C正确；

由复数z满足|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应点的集合是一条线段，故选项D错误.

故选：ABC

10.己知函数〃X）=Asin（0x+e）（0>O,|d<|J的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

71

AA.（p=——

3

B.若0=2,则函数的对称中心为仁+E。｝左eZ）

C.若函数在内单调递增，则0的取值范围为]。,|

D.若函数在（-兀,2兀）内没有最值，则。的取值范围为（0,g

【答案】ACD

【分析】借助图象可得。的值，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.

【详解】对A：由题意可知，A=2,由〃0）=2sin9=-6,可得sin展-*,

因为ld<]，所以夕==,故选项A正确；

对B：若0=2,则〃x）=2sin（2x-g],令2》-四=左肛左eZ,贝！|x=火+迎水eZ,

V3J362

所以函数“X）的对称中心为,oj（左eZ）,故选项B不正确；

对C：因为/（x）=2sin（0x_1"],^--^+2kK<a）x~^<^+2kK,keZ,

得一F+也尤w|ZL+也水eZ,根据“X）的部分图象可知左=0,

069CD6①①

7171

----<—

所以2,即一!40«。，因为0>0,所以0<0《。，故选项C正确；

3兀、366

——>n

、6。

ITSjr

对D：由选项C可知，k=0,在-1，丁上单调递增.

71

------<-71

6a)可得

因为〃X）在（-兀,2兀）内没有最值，所以<，又口>0,0<G«L

5兀个6

——>2兀

6(D

故选项D正确.

故选：ACD.

11.已知函数“X)的定义域为R,对任意x,”R都有2"宁工三1=〃x)+〃y),且/=

则下列说法正确的是()

A./(-1)=1B.+为奇函数

C.f(x)-/(2-x)=0D./(1)+/(2)+/(3)+-+/(2025)=-1

【答案】BCD

【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答案.

【详解】令x=y=i,则2/(1)/(0)=/(1)+/(1)=2/(1),所以/(0)=1,

令x=-Ly=l,贝!]2/(0)〃—1)=/(一1)+/(1)=2/(-1),==故A错误；

要证/[x+j为奇函数，只需证/|\+()+/]：-力=0,gp/(x)+/(l-x)=0,

令x=l,y=0,贝|」2/1|(£|=〃1)+〃0)=0,.'./^=0,

令y=l-x,贝！]=〃尤)+〃1一％)=0,所以成立，故B正确；

令产一X,则2/(O)/(x)=/(x)+/(—x)=2〃x),.•J(x)=〃T),所以/(尤)为偶函数，由B可知，

f(l-x)=-f(x),所以"1—X)=—/("=—〃T),则有"2T)=-/(1T)=/(X),故C正确；

由C可知"2—x)=/(x),又为偶函数，所以/(2-x)=〃—x),则/⑺周期为2,=

〃2)=〃0)=1,所以/(1)+〃2)+/(3)+…+/(2025)=1012x0-l=-L,故D正确.

故选：BCD

【点睛】结论点睛：(1)若为奇函数，则满足了(尤)=-〃-无)，若/⑺为偶函数，则满足〃力=/(-力；

(2)若〃x)为周期函数，且周期为T,则满足〃x+T)=/(x)；(3)若〃x)关于点(七。)对称，且关于直

线x=b对称，则为周期函数，周期为4|°-4.

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4="|%一4<0},8={尤|y=lg(2x—3)},若Ac3=0,则实数2的取值范围为.

【答案】［叫:

【分析】

根据题意求集合48,根据AC3=0分析求解.

［详解］由题意可知：A={x|x<A},B={x|2x-3>0}=|x|x>|j,

3

因为Ac3=0,则4工5，

所以实数2的取值范围为18,|.

故答案为：（一巩］.

13.一个三棱锥形木料尸-ABC,其中ABC是边长为2dm的等边三角形，PAL底面ABC,二面角尸-3C-A

的大小为45。，则点A到平面PBC的距离为dm.若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆锥的底面

在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为dm3.

［答案］显色

228

【分析】

画出图形后结合等体积法可计算点A到平面PBC的距离，在三角形PBC中，找出以。为圆心的最大的圆,

即可得圆锥体积的最大值.

【详解】取BC中点。，连接尸由PAL底面A3C,

则，PZM即为二面角尸-3C-A的平面角，

故NPDA=45°,由,ABC是边长为2dm的等边三角形,

故AD=Bx2=0,故尸A=g,PD=6X立=娓,

2

由AB、ACu平面ABC,故％_LAB、PA1AC,

又AB=AC,故PB=PC,则尸DL5C,

贝1］S“「」X3CXPD=，X2XG=#,

22

设点A到平面PBC的距离为d,

则有吃-ABC=匕-尸Be=§xSABCxPA=—xSpBc'd,

即立义*xg&xd,即』=诿，

42

作42,尸。于点。，由PA=AO=6，ZPDA=45°9

故。为尸O中点，作于点"，则有喘=知,

即V42,

QM=DC喑**

14

故圆锥体积的最大值为丫=!、40义兀XQM2=」X且X7ixa=®dm3.

3321428

故答案为：与f-

14.已知若对于任意的xe—,+℃j,不等式----x+ln4x<—^+lna立，则。的最小值

_4)4xae

为.

4

【答案】-

e

【分析】将不等式转化，构造函数/(%)=/-x,利用导数研究其单调性得In4x-x41na,再根据导数判

定g(x)=ln4x-x的最大值计算即可.

ln4x4na+J:)

【详解】原不等式等价于e--x+ln4x<”"*)+Inaoe"+in4x<e'+Ina+x,

由题意可知且无e；,+(»)时，有-ln4x<0,-x-lna<0

令/(x)=e'-x(无<0)=>r(x)=e「l<0,即/•⑺此时单调递减，

贝！)有一In4x2—x-lnanln4x-xWlna,

4-g(x)=ln4x-xfx>^-j=>g,(x)=^1—-X

X

易知g」上单调递增，在(L”)上单调递减,

4

4

所以g(%)Vg(1)=In4—1WIna=>Q之一.

e

4

故答案为：-

e

【点睛】思路点睛：对于导数不等式恒成立问题，观察式子结构不方便分离参数，所以尝试通过构造同类

型函数来解决问题.本题通过构造/（x）=e'-x研究其单调性得出ln4x-xWlna在条件下恒成立，再研究函

数g（x）=ln4x-x的单调性与最值即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知数列｛。“｝的前”项和为S"，满足a“=2S,i+4（"22且〃eN*）,%=L

（1）证明：数列｛3+2｝为等比数歹人

3

⑵设数列电｝满足2=log（s,+2）3,证明：bxb3+b2b4+b3b5++bnbn+2<-.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）由5“-5,1=25,1+4移项可得数列公比为3,即可证明；

（2）由（1）求出通项后，再由对数运算求出勿=’,最后用裂项相消法证明不等式即可.

n

【详解】（1）证明：因为%=2SI+4,

所以E,-%=2%+4,即S“+2=3S,7+6,又1+2=3/0,

S+2

所以S“+2w。，即有/一有=3,所以数列⑸+2｝为等比数列.

（2）证明：由（1）可知，首项H+2=%+2=3,所以S“+2=3X3"T,

所以么=log⑸+2)3=logy3=：,

,,,,,,,,11111111

他+m+b3b5++^,A2=-x-+-x-+++—X

+nn+2

1111111

=—X—+—+—++——-+-+

2123n34

11

=—X1£__]

27+2-7+In+2

31113

----x<-.

42n+1n+24

16.（15分）在四棱锥尸—ABCD中，平面底面ABC。，BD±AP.

B

(DBDJ.AC是否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由；

(2)若AB4c是正三角形，且尸-A5D是正三棱锥，AB=2,求平面尸AD与平面P3C夹角的余弦值.

【答案】(1)不一定，理由见解析

(2)普

【分析】(1)过点尸作AC的垂线交AC于点E,由面面垂直的性质得到底面A5CD,举出反例当

AP1AC,即点A与点E重合时，均可得得到

(2)依题意可得点E为AC的中点，再由线面垂直的性质得到尸从而得到班平面APC,设

BD^AC=O,则。为5D的中点，作"〃EP,则，底面ABC。，如图建立空间直角坐标，利用空间向

量法计算可得.

【详解】(1)因为平面PACL底面ABCD,过点P作AC的垂线交AC于点E,

又平面PAC底面ABQ)=AC,PEu平面PAC,所以PE_L底面ABC。，

若AFLAC,则点A与点E重合，即AP1底面ABCD,

所以AP垂直平面ABCD内任意直线，即80与AC无论何种位置关系，都有血，AP,

所以3D_LAC不一定成立.

(2)因为4c是正三角形，则点E为AC的中点，

由(1)尸EJ_底面A3CD,又&5u底面ABCD,所以PE_LB£),

又B£)J_AP,PEAP=P,PE,APu平面APC,所以平面APC,

又ACu平面APC,所以&)_LAC,又尸-ABD是正三棱锥，即△钿£＞为等边三角形,

设3DcAC=O,则。为的中点，忤0FHEP,则，底面ABCD,

如图建立空间直角坐标系，则A(0,-60),3(1,0,0),C0,^,0,£>(-1,0,0),P。，一%2

所以4。=卜1,6,。)，AP=\0,^,2,BC=-1,今,0,BP=\

I3JI37I3)

n-AD=-x+0y=0

设平面PAD的法向量为〃=(x,y,z),贝小取"=6,1,一4

n•AP=~~~>+2z=0

m-BC=-a+^-b=0

3

设平面尸BC的法向量为机=贝小

h

n-BP=-a-----b+2c=0

3

II\m-n\5V65

所以刖*所=小=K

所以平面尸AD与平面PBC夹角的余弦值为遐.

13

17.(15分)某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次

品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表:

测试指标[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件数(件)121836304

(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；

(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

若随机变量X具有数学期望矶X)=〃，方差O(X)=b，则对任意正数£,均有尸(卜-〃白成立.

(i)若X证明：P(0VXV25)V(；

(ii)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该

工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的

合格率是否可信？(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)

【答案】⑴含23

(2)(i)证明见解析；(ii)不可信.

【分析】(1)由条件概率的公式进行求解即可；

(2)(i)由乂~川100,1求出现*)=50,。。)=25,再结合切比雪夫不等式即可证明；(ii)设随机抽取

100件产品中合格品的件数为X,X:6(100,0.9),由切比雪夫不等式判断出

P(X=70)<P(|X-90|>20)<^=0.0225,进而可得出结论.

【详解】(1)记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品，

尸(叫卷=黑尸吐T301

330

(2)(i)由题：若*~8。004)，贝!JE(X)=50,D(X)=25

100

又尸(X=Z)=C=P（X=100-^）,

所以尸(OVXW25)=；尸(OWXW25或75WXW100)=gp(|X—50|225)

751

由切比雪夫不等式可知，P(|X-50|>25)<^=—

所以P(0VXV25)$；

(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,

假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则X:3(100,0.9),

所以E(X)=90,D(X)=9,

由切比雪夫不等式知，P(X=70)<P(|X-90|>20)<^=0.0225,

即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225,此概率极小，由小概率原理可知，一般来说

在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.

18.(17分)已知点41,-2⑹在抛物线C:y2=2px(p>0)上，4,8为抛物线C上两个动点，A3不垂直x

轴，尸为焦点,且满足|人尸|+忸尸1=8.

（1）求P的值，并证明：线段A3的垂直平分线过定点；

（2）设（1）中定点为当,的面积最大时，求直线A8的方程.

【答案】（1）。=4,证明见解析

⑵AB:y=

【分析】（1）代入点的坐标可得抛物线方程，联立方程，利用垂直和平分求出垂直平分线的方程可得答案;

（2）先求出弦长和高，表示出三角形的面积，利用导数求解可得答案.

【详解】（1）将点以1,-2忘）代入抛物线方程，可得卜20『=2pxl,解得2=4,

所以抛物线方程为>2=8x,

设直线AB的方程为：y=kx+m（k^0）,A（xl,y1）,B（x2,y2）,

联立方程，消去〉得上丁+（2物?一8卜+m2=0,左/0,

由韦达定理得占+/=无泻，%也=，

根据抛物线定义：体河+忸司=玉+尤2+4=三"+4=8,可得加=\-2%,

KK

此时△=（247?—8）2-4Hmi=32（2-km）-64（Z:2-1）>0,解得左<一1或%>1,

'=%+%=2

设AB的中点坐标为（七,%）,贝!一一，

yQ=kx0+m=2k+m

可得回的垂直平分线方程为：y-2k-m=-^x-2）,

K

将加=：-24代入整理得：>=一*一6）,故A3的垂直平分线过定点（6,0）.

KK

（2）由（1）可得|相|=卡.、尸可乏=卡.当亨，

一1

/、I,,IA-k—

且点M（6,0）到直线AB的距离d=伙+向=____L，

yjl+k2Jl+-2

则丽的面积为01|4R|,16A/FW%+；,

S=-\AB\-d=-------------

令〃。>0,解得0<f<；；令/'⑺<0,解得;<r<l；

则/■⑺在(0,j上单调递增，在上单调递减.

所以当r=；时，的面积取最大值，此时左、3,即4=土石.此时AB:y=±g]x-|j.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题求解方法：先把目标式表示出来，根据目标式的特点选择合适

的方法进行求解，常用方法有：①二次函数法：利用换元法，目标式化成二次