2024四川高职单招数学试题(附答案)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

二.数学单项选择(共10小题，计30分)

1.设集合Af={0,l,2},N={0,l}，则/N=()

A.{2}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2)

2.不等式1|<2的解集是()

A.x<3B.x>-1(2.乂<-1或乂>3D.-l<x<3

3.已知函数/(x)=2工+2,贝！J/⑴的值为()

A.2B.3C.4D.6

4.函数y=-2x+l在定义域R内是()

A.减函数B.增函数C.非增非减函数D.既增又减函数

5.设a=4°9/=8°48,c=(g］，则。也。的大小依次为()

A、a>b>cB、a>c>bC、b>a>cD、c>a>b

6.已知a=(1,2),b=(x,l),当a+2b与2a-b共线时，x值为()

A.1B.2C.-D.-

32

7.已知{an}为等差数列，a2+a8=12,见Ias等于()

A.4B.5C.6D.7

8.已知向量a=(2,l),b=(3,X)，且a，b,贝()

33

A.-6B.6C.-D.--

22

9•点(0,5)到直线y=2x的距离为()

10.将2名老师，4名学生分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每

个小组由1名老师和2名学生组成，不同的支配方案共有()

A.12种B.10种

C.9种D.8种

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.(5分)(2024•四川)复数,

12.(5分)(2024•四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x€[-l,1)时，f

(X)J-4X2+2,-l<x<0，贝1f(当=______________.

x,04x<12

13.(5分)(2024•四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为

67。，30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入

法将结果精确到个位.参考数据：sin67%0.92,cos670=0.39,sin37°=0.60,cos37°=0.80,

14.(5分)(2024•四川)设mCR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-

y-m+3=0交于点P(x,y).则|PA|・|PB|的最大值是.

15.(5分)(2024•四川)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函

数巾(x)组成的集合：对于函数巾(x),存在一个正数M,使得函数巾(x)的值域包含

于区间[-M,M].例如，当巾1(x)=x3,62(x)=sinx时，(x)GA,巾2(x)GB.现

有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D,则"f(x)6A”的充要条件是，b€R,3a£D,f(a)=b"；

②函数f(x)CB的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)GA,g(x)GB,则f(x)+g(x)gB.

④若函数f(x)=aln(x+2)+—--(x>-2,a£R)有最大值，则f(x)eB.

x2+l

其中的真命题有.(写出全部真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题12分)设数列｛an｝的前“项和S〃=2an-ax,且q,%+L%成等差

数列。

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）记数列｛力的前〃项和小求得使嬴成立的〃的最小值。

17.（12分）（2024•四川）一款击鼓小嬉戏的规则如下：每盘嬉戏都须要击鼓三次，每次

击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘嬉戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分,

出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得

-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为工，且各次击鼓出现音乐相互独立.

2

（1）设每盘嬉戏获得的分数为X,求X的分布列；

（2）玩三盘嬉戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款嬉戏的很多人都发觉.若干盘嬉戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而

削减了.请运用概率统计的相关学问分析分数削减的缘由.

18.（本小题满分12分）

一个正方体的平面绽开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中,

设的中点为M,G”的中点为N。

（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）

（II）证明：直线MN//平面31汨

（III）求二面角A-EG-M余弦值

19.（12分）（2024•四川）设等差数列｛an｝的公差为d,点Can,bn）在函数f（x）=2*的

图象上（nEN*）.

（1）若ai=-2,点（a8,4b7）在函数f（x）的图象上，求数列｛an｝的前n项和Sn；

(2)若ai=l,函数f(x)的图象在点(a2,b)处的切线在x轴上的截距为2-求

2ln2

数列｛亘｝的前n项和Tn.

226

20.(本小题13分)如图，椭圆氏二+二=1的离心率是学,过点P(0,l)的

ab2

动直线/与椭圆相交于A,B两点。当直线/平行于x轴时，直线/被椭圆E截得的

线段长为2行。

(1)球椭圆E的方程；

(2)在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点P不同的定点。，使得

闿=粤恒成立？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由。

311PBi

21.(14分)(2024•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bGR,e=2.71828…为

自然对数的底数.

(1)设g(X)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间［0,1］上的最小值；

(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围.

题号12345678910

答案BDCABDCABA

二、填空题：

11.

要解:复数匕」12：)(1］)=2X(-2i):

答：1+i(1+i)(1-i)2

故答案为：-2i.

12.

解解：•.¥(x)是定义在R上的周期为2的函数，

2

答：f(-|)=f(-1)=-4X(-1)+2-l.

故答案为：1.

13.

解解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D,

答：则RtAACD中,ZC=30°,AD=46m

CD=——=46«=79.58m.

tan30°

又•••RtAABD中，ZABD=67",可得BD=—义—=唯/a_"19.5m

tan67°0.92

BC=CD-BD=79.58-19.5=60.08=60m

故答案为：60m

14.

解解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0),

答:动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过点定点B(l,3),

留意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

则有PAJ_PB,|PA|2+|PB|2二|AB|2二10.

故|PA|・|PB|"PA।汩PBI2=5(当且仅当|PA|=|PB|=J^时取"=")

2

故答案为：5

15.

解解：(1)对于命题①

答："f(x)6A”即函数f(x)值域为R,

"VbGR,SaGD,f(a)=b"表示的是函数可以在R中随意取值，

故有：设函数f(X)的定义域为D,贝「f(x)CA"的充要条件是"Vb&R,SaeD,f

(a)=b"

命题①是真命题；

(2)对于命题②

若函数f(x)GB,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[-M,

M].

-M<f(x)4M.例如:函数f(x)满意-2<f(x)<5,则有-5Sf(x)<5,此

时，f(x)无最大值，无最小值.

••・命题②〃函数f(x)EB的充要条件是f(x)有最大值和最小值.〃是假命题；

(3)对于命题③

若函数f(x),g(x)的定义域相同，且f(x)EA,g(x)GB,

则f(x)值域为R,f(x)6(-°°,+g),

并且存在一个正数M,使得-MWg(x)<M.

f(x)+g(x)GR.

贝!Jf(x)+g(x)£B.

「•命题③是真命题.

(4)对于命题④)

函数f(x)=aln(x+2)+—^—(x>-2,aER)有最大值，

x2+l

假设a>0,当x玲+8时，一-—玲0,In(x+2)玲+°°,「.aln(x+2)玲+°°,则f

x2+l

(x)玲+8.与题意不符；

假设a<0,当x——2时，--—玲-—,In(x+2)玲-：aln(x+2)玲+°°,

x2+l5

则f(X)玲+8.与题意不符.

a=0.

即函数f(x)=^—6L>-2)

x2+l

当x>。时，…10<~即0<f(x)

X

X

当x=0时,f(x)=0；

当时，

x<0x^l<-2，二即-(x)<0-

X

X

--^f(x)《年•即f(x)GB.

故命题④是真命题.

故答案为①③④.

三、解答题

16.解：(1)当心2时有，an=S"-S“_i=24,-q-(2%T-q)

则一=2矶(〃22)&-=2(2)

a

n-1

则｛%｝是以4为首项，2为公比的等比数列。

又由题意得2%+2=%+/n2・2%+2=。］+4%=>%=2则。〃=2n(HRN*)

由题意得上=：

(2)(MN*)由等比数列求和公式得

an2

;口小1

2

则SI=《)+(；)"又当〃=10时，(gy°=1024,(1)9=512

・•.II-〈，成立时，〃的最小值的n=10

1"11000o

点评：此题放在简答题的第一题，考察前“项和S”与通项4的关系和等比数列

的求和公式，难度较易，考察常规。可以说是学问点的干脆运用。所以也提示

我们在复习时要紧抓课本，着重基础。

17.

解解:(1)X可能取值有-200,10,20,100.

答：则P(X=_200)=「0(1)0(1-1)3_1,

32~8

P(X=10)=「l(1)U(1-1)2=一

“12u28

P(X=20)=「2(1)2一工)L旦

328

P(X=100)=「3(1)3=上

故分布列为：

X-2001020100

P1331

8888

由(1)知，每盘嬉戏出现音乐的概率是p=2+」」=工

88^8

则至少有一盘出现音乐的概率P=I-c；(-)°(1--)3m.

由(1)知，每盘嬉戏或得的分数为X的数学期望是E(X)=(-200)xl+10xJ

88

+20x^JJ：X100=-里-A

ggg4

这说明每盘嬉戏平均得分是负分，由概率统计的相关学问可知：很多人经过若干盘

嬉戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会削减.

18.

【答案】

(I)干脆将平面图形折叠同时留意顶点的对应方式即可

如图

(II)

连接5。,取5。的中点。，连接

因为M、。为线段BC、5。中点，所以A/Q//CD//GH且MQ=；CD=gG"

又因N为G〃中点，所以NH==GH

得至UNH=MQ且NHIIMQ

所以四边形QMA归为Y

得到QH//MN

又因为Q〃u平面3£归

所以MV//平面BDH(得证)

(HD

连接AC,EG,过点M作MKLAC,垂足在AC上,过点K作平面A5CD垂

线，交EG于点L,连接"L,则二面角A-EG-M=ZMLK

因为"Ku平面ABC。,且AELABCD,所以MKLAE

又AE,ACu平面AEG,所以"，平面AEG

且也uAEG,所以械，网,所以三角形〃KL为HTA

设正方体棱长为a,则48=5。=&=。,

所以MC=£,

2

因为ZMCK=45°,三角形MCK为RTA,所以MK=MCcosN45。=

y[2a

所以tan/MLK="===^,所以cos/MLK=^

KLa43

2^2

所以cos<A—EG—M>=cosNMLK=-^~-

3

19.

解解：(1)；点(a8,4b7)在函数f(x)=2*的图象上,

答:a

-bn=2n，

又等差数列｛an｝的公差为d,

.L+l2“募+】_a4，-a_od

..-----=--------nn+1n—2,

bn2aaZ

丁点(as,4b7)在函数f(x)的图象上,

=4b7=2&8=b8，

%=4=2*解得d=2.

b7

nn1111

又ai=-2,；.Sn=na1+-2n+’,1)x2=，-3n.

(2)由f(x)=2X,f(x)=2xln2,

函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为

-

yb2=221n2(x-a2)，

又b2=2沏，令尸。可得'一2-*'

—^—=2-—解得a2=2.

a

,,2In2ln2

/.d=a2-ai=2-1=1.

/.an=ai+(n-1)d=l+(n-1)xl=n,

bn=2n.

.ann

bj2n

2Tn=l+—+—^-+...+———，

2222n-1

IX（1」）

两式相减得Tn=l+工•p~L+...+——__-』________2Ln

2222n-12n1

2

2n-12n

2n+1-2-n

20:

【答案】

解：（1）由题知椭圆过点（叵1）。得

fC0

e-------

a2

<与+4=1解得:a=2,b=c=6。

ab

a2=b2+c2

22

所以，椭圆方程为号+》1。

（2）假设存在满意题意的定点。。

当直线/平行于x轴时，4=粤=1,AB两点关于y轴对称，得。在y轴上。

QB\\PB\

不妨设Q（O,a）

当.为了轴时溜J益犒=|阖,"1.解得"2

下证对一般的直线/：y=丘+1,。（。,2）也满意题意。

由暑=抖得y轴为ZAQB的角平分线。所以kQA=-kQBo

联III

不妨设下石,％),5(々,%)

必=句+1,%=心+1

，化简得2kx［X［=%+%①

又椭圆方程与直线方程联立得：

y=kx+l/，

,,,(1+2左2)/+疵一2=0

x2+2y2=4'7

4k-2

%+X,=------,X|X1,2=-----T

%-1+2421+2左2

带入①得成立。故假设成立。综上存在点满意题意。

21：

解解：f(x)=ex-ax2-bx-1,g(x)=f(x)=ex-2ax-b,

答:又g'(x)=ex-2a,x£［0,1］,l<ex<e,

二①当时，则2a41,gz(x)=ex-2a>0,

，函数g(X)在区间［0,1］上单调递增，g(X)min=g(0)=1-b；

②当工<a<£贝ijl<2a<e,

22

.,.当OVxVln(2a)时，g'(x)=ex-2a<0,当In(2a)VxVl时，g'(x)=ex-2a

>0,

.•・函数g(x)在区间［0,In(2a)］上单调递减，在区间［In(2a),