北京市顺义2023-2024学年高一年级下册4月月考数学模拟试题(含答案)

北京市顺义2023-2024学年高一下学期4月月考数学

模拟试题

第一部分（选择题共24分）

一、选择题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题列出的四个选项中.选出符合题目要

求的一项.

1.sin585。的值为（）

2233

A.2B."2C.2D.-2

的终边经过点J4，?），贝ijsina,cosa分别为（

2.在平面直角坐标系中，若角a

_433_4

A.一4,3B.3,-4C.5,5D.5,一5

3.设0,A,B,C为平面四个不同点，它们满足3O8+OC=404,则（）

A.A,B,C三点共线

B.°,B,C三点共线

C.A,0,C三点共线

D.A,B,°三点共线

4.下列条件满足-5。为直角三角形的个数为（）

①sin（，-8）=sin（"+8）；②sinCsin8=cosCeos8；③sin?C+sin?8=1

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.已知tana>tanp,那么下列命题成立的是（）

A.若a,B是第一象限角，则cosa>cosp

B.若a,P是第二象限角，则sina>sinP

C.若a,B是第三象限角，贝ijcosa<cosp

D.若a,B是第四象限角，则sina>sinp

71

6.函数八°=$也（2尤+9）。>0）图像上存在两点尸（5，°a,M>0）满足一S-6,则下

列结论成立的是（）

d1dL

兀

±兀±

/ate+=/aSe+-

s--2-K--N/23

Dx60BD60

d1d

兀

兀-±

/a^e±-/aeS732

X----K--

cD602DD60

第二部分(非选择题共126分)

二、填空题共9道小题，其中7-10题，每小题4分，共16分，11-15题，每小题5分，共

25分.把答案填写在答题卡上.

7,两个非零向量"=&尤一1),6=(2x-l,0)共线,则》=.

8.设A，x2为方程x2-2x-m=°的两个根，且2\+乜=0,则机的值为.

9.函数/G)=c°sx在[m”上的值域为.

10.已知点2)则，与6的夹角为一.

y=sin(2x+0P[~A(n)

11.函数I3J图像上的点(41向右平移个单位后得到p,若P落在

函数N=sin2x上,则$的最小值为

R_兀

12若P-至贝qtana+tanP+JJtanatanP的值

13.如图，函数/（x）=/cos（3x+（p）（/>0,3>0,04中<2兀），贝产=；9=

n

/（x）=asin[x+:]+6sin[无(abw0)(

14.若4是奇函数，则有序实数#可以是

.(写出你认为正确的一组数即可).

15.在平面直角坐标系xOy中，'”)，“。，2)

M=^P\OP=WA+\xOB,0<kr<1,0<\x<]^

集合।,下列结论正确的是

①点C(3,l)叱

九二2

②若4OP=45。，则日.

③若°”1,则。尸。N的最小值为一22_

三、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

16.函数/G)=c°s2cox-sin2Ms>0)的最小正周期为7t.

⑴求3；

(2)求/G)的单调递增区间，

17.在小8C中，角A,B,C对应边长分别为a,b,c,其中。=4,6=2,A=60°,

⑴求c；

(2)求sin8.

18.在“8C中，角A,B,C对应边长分别为a,b,c.

--►__.

(1)设NO,BE,C户是448c的三条中线，用々，NC表示BE,

⑵设4=90°,ADVBC求证./»=如的。(用向量方法证明)

[x=x5

\_0+产=1

19.设^=玉是方程4"的一组解，计算：

yy

00

(l)Xo+2x-2

o

八

2+x01+2

⑵求八一1x0-2的值.

20.已知函数［G)=smx+cosx,xeR

/空fix)

(1)求16九I3J的值并直接写出J'XI的最小正周期；

(2)求/Q)的最大值并写出取得最大值时X的集合；

(3)定义gQ"m*G3,会求函数g(。)的最小值.

21.已知集合S「LX=(R，…叱)—｛。,1匕=1,2,「赢22),对于/=

B=b)eS",定义人与B的差为彳，。?-%A与B之间的

d（A,B）=Za-b

距离为臼''

⑴直接写出中元素的个数，并证明：任意48eS“，有"-8eS”；

（2）证明：任意42,CeS.，有八48）+4-（?）+♦（8-。）是偶数；

（3）证明.PA，B，CwS有-d（8,C）4d（48）-d（4C）4dgC）

1.B

【分析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.

sin585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin45°=-

【详解】2.

故选：B.

本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.

2.D

【分析】根据三角函数的定义计算可得.

(-43)

【详解】因为角a的终边经过点

33-44

sina==cosa==-

Mi(-41+325J>+325

所以，.

故选：D

3.A

【分析】根据平面向量线性运算法则得到3/8=。，即可判断.

【详解】因为3。8+。。=4。/,

^\^3OB-3OA=OA-OCy^^-OA)=OA-OC

所以3/8=G4,所以/8//C/,所以A,B,C三点共线.

故选：A

4.C

【分析】利用和差角公式判断①©，利用特殊值判断③.

①.sin（A-^）=sin（A+B）

【详解】对于

所以sin4cosB-cosAsinB=sinAcosB+cosZsin6,

所以cos/sin8=0,又兀乙sin5>0)

所以cos'i°,又/式0,兀)，所以2,则“3C为直角三角形，故①正确;

对于②：sinCsinB=cosCcosB,贝ijcosCcosB-sinCsinB=O

日口cos(8+C)=05+CG(07T)8+C=：A="

即，又’，所以2,贝ij2,即春5c为直角三角形，故

②正确；

sinC=@

B=—C=—sin5=—

对于③：当6,3,则2,2,满足sm2C+sin28=l,

但是“BC为钝角三角形，故③错误.

故选：C

5.D

【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若a,P是第一象限角，且tana>tanp,作出三角函数线，如图i所

不，

cosa=McosP=pl-刀

则3陷，因为1°尸1>陷，所以cosavcos%所以人错误;

对于B中，若a,0是第二象限角，且tana>tanP,作出三角函数线，如图2所示,

=MM.n

所以smavsmP,所以B错误;

对于C中，若a,0是第三象限角，且tana>tan「，作出三角函数线，如图3所示,

cosa==OM,cosP==ON

则OM「ONI所以c°sa>cosRP,所以c错误;

图3

对于D中，若a,0是第四象限角，且tana>tanp,作出三角函数线，如图4所示,

•MM____nNN

sina=----1-=MM,cosp=---卜=NN

则OMiONi,所以sina>siQnP,所以D正确.

图4

6.B

【分析】先求出周期，其次根据尸的)，。的儿〉。在函数/Q)图象上，根据正弦函数的

71

..7r一S=_■

对称性可得力F+2s+J=n+2kit,k\Z再联立’6得到2s+J值根据/>°缩小

O:

兀

.兀o

aCe+./a<e-±

S-XS-*

2s可的取值范围，最后代入DM60和D6,0

F2兀

1=----=兀

【详解】周期2,

因为函数4)=sin(2尤+(P)(<P>0)图像上存在两点尸(sj),°(小)(/>0),

R71Tc、cT

r-s=—<—=—0<2r-2s<—

因为644,所以2,

故由正弦函数图像的性质可得"可+2s+j=n+2kn,k\Z

2r+2s=兀+2kn-2（p

r-s=n2s=kn+K-\2s+}=hr+71

联立〔6,解得3,则3,

2,s+=

wsin（2s+j）=sin（2r+j）=t>0gfi_,j^kn+Z

X,n\以'9

de“O0d

兀

兀

兀

±0・±

/aCe+-n®aCe++.+

S--S.,力-

X60si3M60+J030

所以DD

3

电

3eH+兀+271

=督

兀n3-

sinlsi-2

3兀2

故

30B正;

ae6，

r-

ded.'d

力

J±±U兀±

/=-=

-sm-Usin--

60e230030

d

兀±

71-

=sin兀+30smO=O

3，故C、D错误.

故选：B.

关键点点睛：本题的关键是能够根据正弦函数的对称性得到"可+2s+j=Tt+2kK,k\Z

7.1

【分析】根据共线向量的坐标形式可求X的值.

【详解】因为""1）,6=区-1,0）共线，故1XO=G-D（2X-1）

11

1x=%=7-

故x=l或2,而当2时，b=o,与题意不合，舍,

故x=l,

故答案为.1

8.8

【分析】利用韦达定理计算可得.

【详解】因为X?为方程x2-2x-机=°的两个根,

x+x=2

12

xx=-m

所以A=4+4加之0即加2—1,且-12

卜=一2

又2x+x=0,所以［%=4,所以一加=-2x4,解得加=8.

故8

9.[-U]

【分析】根据题意，结合余弦函数的图象与性质，即可求解

【详解】由余弦函数的性质，可得/0）=。。5"在13'°」上单调递增，在[°，力上单调递减，

所以，当x=°时，

兀1

又因为"3）一2'/5）一一1,所以函数/Q）的值域为[T」L

故答案为.[一11]

2兀

10.3

【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.

rrrr

a-b=—6+2=—4,a=2,b=4

【详解】由题意可知:9

1

cosa,b=rr

2a,bG[o,7r]

,且，

271

所以£与b的夹角为3.

2兀

故答案为.3

兀1

71

11.6##6

尸（兀/j=sinf2x+7l>|/J。誉+s,t±

【分析】先把点EJ代入I3J求出2,再把640代入y=sin2x,求

出s值，结合S〉°求出其最小值即可.

尸（\力户sin（2x+R

【详解】因为点EJ在函数I3J图像上，

d1

兀

兀±-

naeS+-

siM43-2

所

以D0

d

±

-

+s,0

由题意可知

又尸'落在函数J=sin2x上,

.幺，畸dua^rdi

sin§2£+5±u=sing+2s±=cos2s=

所以e切00§202

2s=2kn+712kn-11,k\Zs=后兀+兀kn・"，k\Z

解得3或3，即6或6

『兀兀

又s>°,所以6,即S的最小值为6.

71

故答案为.6

12.3

【分析】利用两角和的正切公式计算可得.

a+P=71tan(a+B)=tan71=3

【详解】因为3,则3

tana+tanP

tan(a+p)==3

即1-tanatanP

所以tana+tanP=3(1-tanatanP)

所以tana+tanP+3tanatanP=3

故3

兀7

71

13.44

兀/、7

CO=（2八）（p=71

【分析】由周期的定义结合图象可得4,代入点后再结合余弦函数值可得4

【详解】由图象可知，函数的周期或=7-（-"=8,

2兀71

CD==

所以T4；

71_…711r

,x3+(p=2E+,keZ

根据五点法，当x=3时，42

71

(p=2左兀-，左£Z

所以4,

_7

因为04<p<2兀，所以「4”

兀7

71

故4；4.

14.&D（答案不唯一）

【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数

°应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.

【详解】已知

/(x)=asin+鬲卢X"M偿…

I4J[22J(22

=—&G+Z))sinx+--Q-Z>)cosx

22

若/（x）是奇函数，则a-b=°即可,

可以取0=1,6=1.

故"］）（答案不唯一）

15.②③

【分析】首先求出点尸所在的平面区域，再数形结合即可判断.

【详解】对于①，因为“（M8（°，2）,

所以CM=（1,O）05=（0,2）

,,OP=XOA+\iOB=九（1,0）+日（0,2）=G,2日）

因为04九V2,0<g<l

所以点尸在边长为2的正方形°8E尸区域内（包括边界上的点），如下图所示:

显然C（3,l）任故①错误；

对于②，若〃。尸=45。，即尸在。£上，则防、加（°<Y1）,又耘=2豆+防

所以OP=2tOA+tOB,

->---►—.—►

/PCOA+ROB,OA08不共线

产=入i

所以卜=口，所以=日2，故②正确；

对于③，因为PM=1,则N在以圆点为圆心，半径为1的圆上，

由图可知当P在E点且N在E°的延长线与圆的交点时。尸-ON取得最小值,

(9P0N)=lx2x/2x(-l)=-2^_

且min,故③正确.

故②③

VA

24乎)

【分析】⑴由三角恒等变换化简/（J=cos2Wr,再由周期的定义求出3=1；

（2）由余弦函数的单调递增区间解出即可.

=coszWv-sin2Wv=cos2Wr

【详解】（1）因为

——=兀Dw=l

所以2W,

(2)由(1)可知，/G)=cos2x,

2kit-JT£2x£2kn,k\ZDkit--£.x£kn,k\Z

所以2

GjrU

所以J""的单调递增区间为©20

17.(1)1+>/13

(2万

【分析】（1）利用余弦定理求解即可

（2）利用正弦定理求解即可

【详解】（1）由余弦定理得a2=c2+62-26ccos4,

即16=4+C2-2C,解得c=l+、行’(负值舍去).

故。值为1+何.

.c6sin/2xsin60°企

sinB=-------=------------=—

(2)由正弦定理得«44

正

故sinB值为丁.

18.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；

(2)根据题意，得到8。=/。-=结合向量的数量积的运算公式和数量积

的几何意义，即可得证.

【详解】(1)解：由BE,CF是人4BC的三条中线，

AD=AB+BD=AB+-BC^AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

可得2222,

―►—►—►1—►—►—►1—►uunmmuuuiiummm

BE=AE-AB=-AC-AB=-AB+-ACCF=AF-AC=-AB-AC

2292•

(2)证明：在。3c中，因为乙4=90。，AD-LBCt所以48/C=0,

可得应＞=4D-4B,DC=/C—M

、BDDC=ABlAD-AC-AD1-AB-AC+AD-AB

则

^AD-AC+AD-AB-AD2

因为ND•NC=卜4,0卜05/。/0=\AD^,AD-AB=卜耳cos/B/D=\AD^

BDDC=Ui)2+\AD^-\ADV=\ADY

所以即AD2=BDDC

(2)4

【分析】（1）依题意可得人才~+2一]，即常+4若=4,再将所求式子化简，最后整体代入即

可；

（2）由回回引叫将所求式子展开，再代入号+4*=4计算可得.

I———+产=1

【详解】（1）因为七是方程4■的一组解,

所以才+'；一，即髭+4若=4,即x厂4=一4忆

yy产产1

-------9—--0-=—e—=—e-=--

则、。+2x-2%2-4-4y24

000

nX2y

2+—o1H...-0—

(2)因为八-1xo-2

2y-2+x\\2y+x-2

00■Q---9-

ytx—2

00

(2y-2+x»

G12)

oo

+%2+4+4xy-Sy-4x

-Q--Q—o----o----

2+xy-2y-X

ooo0

8+4xy—8〉-4x

-----0—0----0----=4

2+xy—2y-x

所以原式oooo

cX,,2V

2+—o-1H----9—=4

V-1x—2

即00

712兀3+1兀

/

20.(1)32,最小正周期为2.

(2)见解析.

g(a)=2-1

(3)min2

兀(2兀］

3七七f(x)=1+sin2x

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值可求I$/的值，而,故

可求/(x)=l+sin2x的最小正周期.

(2)先求出°<sm2xVI,结合m的化简结果可得/Q)何时取何最值.

(3)利用(2)的结合可求g(")的解析式，故可求其最小值.

7iA.7i7i3+1,「2冗\.2兀2兀3+1

/=sm+cos=,/=sin+cos=

【详解】⑴16)662J332

又/(x)=l+sin2x,而了=sin2x的最小正周期为2,

故/(x)=l+sin2x的最小正周期为2.

(2)因为°Vsin2xWl,故14/(x)42,

7171

f(x)-2.r,2x=+forx=+^,keZ

故八,一，此时sm2x=±l即2即42

1m

/■(/\)-x=,«eZ7

Jvmin，此时Sin2x=0即2x="兀即2

itkit

/G)=2x\x=+e4

对应的x的集合为42

n

/("J，对应的X的集合为x\x=^,neZ

(3)当E时，由⑵可得gQ”2-。

当心2时,»…"氏),由⑵可得g(a)=。1

।1+2

2—Q,1<QW

2

gG）=max2-a,a-1

J+2c

a-1,<a<2

当2时,2

1+2

2—Q,W

g(a)=2

1+22-1

U—1,CL>g（Q）

min2

综上,2,故

21.⑴,,中元素的个数为2";证明见详解

(2)证明见详解

(3)证明见详解

［分析］(1)根据题意分析可知,“中元素的个数为2“，结合定义可得",一qe{。1},

即可证

明结论；

(2)根据题意先证d(N-C,B-C)=d(a8),设d(48)=4,d(4C)=/,d(8,C)=A,

a=Qi)eS」是使6,”=「,=1成立的j的个数，可知〃=(/_)+(j)

即可分

析证明；

(3)根据题意分析可浮?一［46-C,,进而可得结果

【详解】⑴因为x「{。也=1，2,「〃,"22,可知》,均为2个值可取，

所以5中元素的个数理"，

对于任意"=(彳巴，…%)道=(夕,

可知a,，2c{o,l},i=l,2,…,〃，心2

则arbi的结果如下表所示：

abo1

zi

001

110

可得"，心e{0,l},所以4-

(2)设/=(%,a，…,a),B=(b,b,■■■,b),C=(c,c)eS

2n12n12nn

由题意知：W，C”{0，M=L2,一〃）

当c,=°时，％”心””a

当，=i时，a-crbr\=d”）-（na

小[匕广、上u—c—b—c=a—