北京市西城区2025届高三第一次模拟考试数学试题（含解析）

北京市西城区2025届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）

第I卷（选择题共40分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项.

1.设集合A={x|x<3},5={x［或耳2},则Ac5=（）

A.（-oo,0）B.（2,3）C.（fo,0）U（2,3）D.（-oo,3）

【答案】C

【解析】

【分析】

干脆求交集得到答案.

【详解】集合A={x|x<3},6={幻耳0或»2},则4^^6=（-«）,0）°（2,3）.

故选：C.

【点睛】本题考查了交集运算，属于简洁题.

2.若复数z=（3—z）（l+z）,则忖=（）

A.272B.2加C.710D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

化简得到z=（3—/）（l+，）=4+2"再计算模长得到答案.

【详解】z=（3-z）（l+z）=4+2z,故忖=可=26.

故选：B.

【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算实力.

3.下列函数中，值域为"且为奇函数的是（）

A.y=x+2B.J7=sinxC.y=-x3D.y=2"

【答案】C

【解析】

【分析】

依次推断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，解除；

B.y=sinx,值域为奇函数，解除；

C.y^x-x3,值域为奇函数，满意；

D.y=21值域为(0,+。)，非奇非偶函数，解除；

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数学间的综合应用.

4.设等差数列｛4｝的前几项和为，若。3=2,q+&=5,则4=()

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

依据题意%=4+2d=2,q+&=2q+3d=5,解得q=4,〃=一1,得到答案.

【详解】%=4+2d=2，％+&=2q+3d=5,解得％=4,d=-l,故

$6=6q+15d=9.

故选：B.

【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算实力.

5.设4(2,—1),6(4,1),则以线段A5为直径的圆的方程是()

A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8

C.(1+3)2+/=2D.(x+3)2+y2=8

【答案】A

【解析】

【分析】

计算AB的中点坐标为(3,0),圆半径为厂=0,得到圆方程.

【详解】的中点坐标为：(3,0),圆半径为「=M=正土21=0，

22

圆方程为（x—3）2+y2=2.

故选：A-

【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算实力.

6.设a,b,c为非零实数，且a>c,b>c,贝1J（）

,,a+b

A.a+b>cB.ab>cC.------->cD.

2

112

abc

【答案】C

【解析】

【分析】

取“Lb=—Lc=-2,计算知ABD错误，依据不等式性质知。正确，得到答案.

【详解】a>c,b>c,故a+b>2c,孚>c，故C正确；

2

取。=—1*=—l,c=—2,计算知AB。错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的敏捷运用.

7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥全部棱的长度的集合，则（）

/K

M——2—HM——2X

正（主）视图侧（左）视图

/

俯视图

A.2后eS,且26任5

B.2应©S,且2石eS

C.20eS,且25S

D.2V2eS,且26eS

【答案】D

【解析】

【分析】

如图所示：在边长为2的正方体ABC。-44cq中，四棱锥G-ABC。满意条件，故

5={2,2形,26},得到答案.

【详解】如图所示：在边长为2的正方体ABC。-A6CR中，四棱锥G-A5CD满意条件.

故A8=8C=CD=AD=CG=2,BCi=DQ=2啦,相=26

故5={2,2后,26},故20eS,273€S.

故选：D.

【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象实力和计算实力.

8.设4/为非零向量，则“卜+目=忖+忖”是“4与8共线”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

依据向量共线的性质依次推断充分性和必要性得到答案.

【详解】若卜+4=何+忖，则a与b共线，且方向相同，充分性；

当.与b共线，方向相反时，卜+囚/卜|+忖，故不必要.

故选：A.

【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断实力.

sinx

9.已知函数/（x）=1不一的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后

1+2sinx

的图象可以与原图象重合的变换方式有（）

①围着x轴上一点旋转180°;

②沿工轴正方向平移；

③以％轴为轴作轴对称；

④以工轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A.①③B.③④C.②③D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】

计算得到了（x+2版•）=/（£）,=+故函数是周期函数，轴对称图形,

故②④正确，依据图像知①③错误，得到答案.

3羊解】《尸屋上‘片）=志”⑴,"

当沿X轴正方向平移2左肛左£Z个单位时，重合，故②正确;

.(n)

、sin——x

71\12)cosx

-----V=---------

-2---%J=---1----c---.---(7万)1+2cosx

'1+2sin一+x

(2J

故,函数关于x=］对称，故④正确;

依据图像知：①③不正确;

故选：Q.

【点睛】本题考查了依据函数图像推断函数性质，意在考查学生对于三角函数学问和图像的

综合应用.

/、fX2+10x+Lx<0/、/、

10.设函数/(x)=I,若关于X的方程/(x)=a(aeR)有四个实数解

%(i=l,2,3,4),其中％<%4，则(石+%2)(*3一44)的取值范围是()

A.(0,101]B.(0,99]C.(0,100]D.(0,+8)

【答案】B

【解析】

分析】

画出函数图像，依据图像知：%+々=—10，彳3/=1，余<演<1，计算得到答案.

/、[x2+10x+l,x<0

【详解】/(x)=.,c,画出函数图像，如图所示：

|lgx|,x>0

依据图像知：^+^2=-10,lgX3=-lgX4,故七彳4=1，且(<工3<1.

(1)

故(％+工2)(七一%)=-10x3__7@(°，99].

7

故选：B.

【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算实力和应用实力，画出图像是解题

的关键.

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在（X+^）6的绽开式中，常数项为.（用数字作答）

X

【答案】20

【解析】

【分析】

（%+36的绽开式的通项为=C产,取r=3计算得到答案.

X

【详解】（％+工）6的绽开式的通项为:

取厂二3得到常数项

X

2=20.

故答案为：20.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算实力.

12.若向量。=（尤2,2）。=°,无）满意。力<3，则实数x的取值范围是.

【答案】（-3,1）

【解析】

【分析】

依据题意计算a-b=x*2+*42x<3,解得答案.

【详解】。=（尤2,2"=（1,无），^a-b=x2+2x<3,解得一3<X<1.

故答案为：（—3,1）.

【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算实力.

13.设双曲线=1（6〉0）的一条渐近线方程为y=与x，则该双曲线的离心率为

【答案】国

2

【解析】

【分析】

依据渐近线得到匕=忘，c=屈,计算得到离心率.

【详解】X—4=1（6〉0）,一条渐近线方程为一=受%，故匕=四，°="，6=£=逅.

4〃2a2

故答案为：显.

2

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算实力.

14.函数/（x）=s沅+的最小正周期为;若函数”可在区间（0,上单调

递增，则戊的最大值为.

7T

【答案】(1).万(2).-

8

【解析】

【分析】

兀(兀万、万兀

干脆计算得到答案，依据题意得到2x+：e-,2a+-,2a+-<-,解得答案.

【详解】/(x)=sin[2x+：],故7=5=万，当xe(0,a)时，2x+?e]：,2a+"],

故2。+工《工，解得。〈二.

428

7T

故答案为：乃；一.

8

【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数学间的综合应用.

15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参与，其中：甲校男生成果的优秀率

为70%,女生成果的优秀率为50%;乙校男生成果的优秀率为60%,女生成果的优秀率为40%.

对于此次测试，给出下列三个结论：

①甲校学生成果的优秀率大于乙校学生成果的优秀率；

②甲、乙两校全部男生成果的优秀率大于甲、乙两校全部女生成果的优秀率；

③甲校学生成果的优秀率与甲、乙两校全部学生成果的优秀率的大小关系不确定.其中，全部

正确结论的序号是.

【答案】②③

【解析】

【分析】

依据局部频率和整体频率的关系，依次推断每个选项得到答案.

【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；

因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成果的优秀率，故甲、乙两校全部男生成果的优秀

率大于甲、乙两校全部女生成果的优秀率，故②正确；

因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成果的优秀率与甲、乙两校全部学

生成果的优秀率的大小关系，故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解实力和应用实力.

三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.如图，在四棱柱ABCD-4用。自中，平面ABCD,底面/及力满意AD〃阳

且AB=AD=A41=2,BD=DC=20

（1）求证：至，平面4。24；

（II）求直线AB与平面BXCDX所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）迈

6

【解析】

分析】

（□证明明,人员依据超2+相＞2=应）2得到45,4）,得到证明.

（II）如图所示，分别以AB,A2/IA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，平面与c。的法向量

"=（1,1,2）,AB=（2,0,0）,计算向量夹角得到答案.

【详解】（I）相，平面ABCD,ABi平面ABCD,故叫,人反

AB=AD=2,BD=272＞故AB?+^2=，故至工池.

ADnA4j=A,故AB,平面

（II）如图所示：分别以钻,A。A4,为苍％z轴建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,5（2,0,0）,4（2,0,2）,C（2,4,0）,R（0,2,2）.

ce■/、n-B,C=0[4y-2z=0

设平面用CZ\的法向量〃=（羽y,z）,贝U'，即＜cc八，

\n-B{Dx=0[一2%+2丁=0

取x=l得到〃=（1,1,2）,AB=（2,0,0）,设直线AB与平面与。2所成角为。

wAB2

故sin6=cos(n,ABl'l_

|H|.|AB|2766

【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象实力和计算实力.

17.已知满意,且b=痣A=g，求s加C的值及_ABC的面积.（从

①3=7,②a=5③o=3j5s沅B这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解

答.）

【答案】见解析

【解析】

【分析】

选择①时：B=-,A=-TT,计算sinC=避二更，依据正弦定理得到。=3,计算面积得

434

到答案;选择②时，a=5b=^，故B>A，A为钝角，故无解；选择③时，a=30sinB，

依据正弦定理解得sinB=也，sinC=GO,依据正弦定理得到。=3,计算面积得到

24

答案.

详解】选择①时：B=-,A=-7r,故

43

sinC=sin（A+=sinAcosB+cosAsinB=----——•

依据正弦定理：a=b,故〃=3,故S='〃bsiiiC=―

sinAsinB24

选择②时，a=5b=屈,故5>A,A为钝角，故无解.

〃b3\/2sinB_a

选择③时，〃=30sin3，依据正弦定理：-7^-=——，故J3-sinB，

sinAsmB—

2

解得sinB=走,

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

24

依据正弦定理：。=b,故〃=3,故$=LH?sinC=―

sinAsin824

【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算实力和综合

应用实力.

18.2024年底，北京2024年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60

万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20

人进行英语水平测试，所得成果（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：

男女

647

3579

038656

14713568

5818

（I）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成果在80分以上的女生人数;

（II）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成果在70分以上的人数为X,求X的分

布列和数学期望；

（IID为便于联络，现将全部的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000）,并在

每组中随机选取加个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成果在70分

以上的概率大于90%.依据图表中数据，以频率作为概率，给出加的最小值.（结论不要求证明）

3

【答案】（1）5万；（II）分布列见解析，E（X）=-；（III）4

【解析】

【分析】

(I)依据比例关系干脆计算得到答案.

(IDX的可能取值为0,1,2,计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

101Y

(III)英语测试成果在70分以上的概率为。=刀=],故金<1-90%,解得答案.

【详解】(I)样本中女生英语成果在80分以上的有2人，故人数为：2x50=5万人.

20

(II)8名男生中，测试成果在70分以上的有3人，X的可能取值为：0,L2.

MX叫系*MX=1)=詈式,P(X=3)春/

故分布列为:

X012

5153

P

142828

x』+lx竺+2X』3

E(X)=0

1428284

io1<1Y

(III)英语测试成果在70分以上的概率为p=.=],故；<1—90%，故机n4.

故加的最小值为4.

【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算实力和综合应

用实力.

19.设函数/(x)=a/nx+x2一(a+2)x,其中aeR

(1)若曲线丁="%)在点(2,/(2))处切线的倾斜角为?，求。的值；

(II)已知导函数/'(X)在区间(1,e)上存在零点，证明：当尤e(l,e)时，f(x)>-e2.

【答案】(I)a=2；(H)证明见解析

【解析】

【分析】

Z7JT

(I)求导得到尸(x)=—+2x-(a+2),尸(2)=tan^=l,解得答案.

X4

(ID/(力=(1依叽0,故a=2x0,/(%)在(1,5)上单调递减，在(％,e)上单

21

调递增，f=2x0Inx0-x0-2x0,g(x)=2%Inx-x-2x,证明函数单调递减，

故g(x)1m/g(e)=—«2,得至！K正明.

【详解】(I)/(%)=aln%+x2-(a+2)x,故尸(x)=@+2x—(a+2),

X

Z7jr

/'(2)=1+4-(a+2)=tan^-=l,故a=2.

(ID/(x)，+2x_(a+2)=(1)(2尸叽0,即q=2xe(2,e),存在唯一零点，

XX

设零点为天，故/(%)=£+2%—(a+2)=。，即a=2%,

xo

/(x)在(1,%)上单调递减，在(%,e)上单调递增，

2

=2x0Inx0-x0-2x0,

设g(x)=2xlnx-x2-2x,贝ijg*(x)=21nx-2x,

2

设/z(x)=g1x)=21nx-2x,则/z*(x)=——2<0,/z(x)单调递减，

x

MD=g”)=-2,故8'(%)=21111-21<0恒成立，故g(x)单调递减.

g(*Ln>g(e)=—e2,故当尤€(1，e)时，f(x)>-e2.

【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关

键.

2

20.设椭圆E:1+/=1,直线乙经过点M(m,0),直线12经过点N(n,0),直线小直线Z2,

且直线。乙分别与椭圆E相交于A8两点和C,O两点.

(I)若以，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线轴，求四边形ABCD的面积；

(II)若直线4的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形，求证：加+〃=0;

(Ill)在(II)的条件下，推断四边形ABC。能否为矩形，说明理由.

【答案】(I)2及；(II)证明见解析；(III)不能，证明见解析

【解析】

【分析】

,ci,与,nji,

(I)计算得到故A,B,计算得到面积.

4k2m

玉十会石

(II)设4为y=k(x—加)，联立方程得至人,计算

2k2m1—2

中2:『F

«6k2-Sk2m1+8同理31=析项+8

,依据

2k2+1

2

\AB\=\CD\得至um="2,得到证明.

(III)设AB中点为P(a，b)，依据点差法得到a+2妨=0,同理c+2k/=0,故

一~^小一M，得到结论.

2kk

无、(

【详解】(1)”(—1,0),N(l,o),故A-1,^-,B-1,,CI,与,D|1,

I2)'

故四边形ABCD的面积为S=2夜.

42=1

(H)设《为y=k(x-m),则＜2，,故(24之+1)/一4425十？加42一2=0,

y=k^x-m)

4k2m

设4(%,%),5(孙％)，故,

21cm1-2

%”中r

Ji6k°—8k2nl2+8

2k2+1

同理可得|c*标*等*

阿=卬，故中号一116k2-8k2n2+8

=A/1+F

2r+1

即m2=〃2,mHn,故加+九二0.

（皿设AB中点为尸（。力），则争城=1,A%一，

相减得到（%+-2心石_+（%+%）（,-%）=0,即a+2kb-0,

同理可得：CD的中点。（c,d），满意c+2/=0,

故kpQ=±±=—d~b故四边形ABCD不能为矩形.

c-a-2kd+2kb2kk

【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形态，依据四边形形态求参数，意在考查学生的

计算实力和综合应用实力.

21.对于正整数“，假如左（左wN*）个整数％,出，…，为满意1＜/〈出＜…〈4〈”，

且6+。2+…+为="，则称数组（如%，…，4）为〃的一个“正整数分拆”.记

如出，…，为均为偶数的“正整数分拆”的个数为力，％，/，…，为均为奇数的“正整数

分拆”的个数为g“.

（I）写出整数4的全部“正整数分拆”；

（II）对于给定的整数》4）,设（％,%…，%