反比例函数讲义-2024年中考数学一轮复习原卷版

考点11.反比例函数（精讲）

【命题趋势】

反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会

考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质

和平面几何的知识结合、反比例函数中因的几何意义等也会是小题考查的重点。

【知识清单】

1:反比例函数的概念

k

反比例函数的概念：一般地，函数y=—（左是常数，存0）叫做反比例函数.

X

自变量尤和函数值y的取值范围都是不等于。的任意实数.

2：反比例函数的图象和性质（☆☆☆）

1）反比例函数的图象和性质

k

表达式y=-（左是常数，原0）

k*0左＜0

大致图象白

所在象限第一、三象限第二、四象限

增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

对称性轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x）,中心对称图形（对称中心为原点）

2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

（1）设反比例函数解析式>=幺（*0）；（2）把已知一对尤，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数

%的方程；（3）解这个方程求出待定系数公（4）将所求得的待定系数％的值代回所设的函数解析式.

3：反比例函数中|川的几何意义（☆☆☆）

1）反比例函数图象中有关图形的面积

2)涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解.

(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，SAABL2SAACO=|妹

(2)如图②，已知一次函数与反比例函数y=七交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C,则

X

5AAOB=S^AOC+S^BOC=-OC-|_vA\+-OC-1yB|=-OC-(|y*I+1%I)；

(3)如图③，已知反比例函数y=七的图象上的两点，其坐标分别为(打力)，(/，力)，C为AB延

x

长线与x轴的交点，则SAAOB=ShAoc-St^BOC=OC-\力|-goC|%l=goC，(l%I—I%I).

4：反比例函数与一次函数的综合(☆☆☆)

1)涉及自变量取值范围型

k

当一次函数%=及x+b与反比例函数%=二相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标

X

O若求%%时自变量X的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的X的

范围；反之亦然。

2.求一次函数与反比例函数的交点坐标

(1)从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由太值的符号来决定：①左值同号，两个函数必有两个交

点；②％值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；

（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况.

5:反比例函数的实际应用（☆☆）

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的

取值范围.

【易错点归纳】

1.反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况.当

Q0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当Q0时，y随x的增大而

减小.同样，当M0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大.

2.利用阳的几何意义求出的左带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。

【核心考点】

核心考点1.反比例函数的定义

例1:（2023・山西忻州•校联考模拟预测）杠杆原理也称为"杠杆平衡条件"，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的

两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即£4=84.如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，

在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力P与力臂L满足的函数关系是（）

A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系

变式1.（2023•福建•统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（）

4

A.y=5xB.y=2x+3C.y=一D.y=x9+2x+l

x

变式2.（2023上•浙江九年级期中）已知函数y=+2）/卜?是关于无的反比例函数，则实数机的值是

4

例2：（2023年重庆市中考数学真题）反比例函数y=—-的图象一定经过的点是（）

x

A.（14）B.（-1,-4）C.（-2,2）D.（2,2）

变式1.（2023年广东省中考数学真题）某蓄电池的电压为48V,使用此蓄电池时，电流/（单位：A）与电

阻R（单位：。）的函数表达式为，==，当R=12Q时，/的值为A.

变式2.（2023•陕西榆林•统考二模）若点A（a,b）在反比例函数y=-之的图像上，则代数式必-1=.

X

核心考点2.反比例函数的图象与性质

例3：4.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数'=依+左与反比例函

数>=七的图象可能是（）

X

A.'」一

D

变式1.（2023・福建三明・统考一模）反比例函数>=4

:的图像如图所示，则G的值可以是下列中的（）

■

1

Hr

A.3B.2C.1D.-2

k

变式2.（2023・湖南邵阳・统考一模）在同一坐标系中,函数y=—和y=丘+2的图象大致是（）

X

n

/，厂、7

=应心的图象在第二、第四象限，则。的取值范围是

例4：（2023•广东广州•校考一模）已知反比例函数产

X

（）

A.a<2B.a>2C.a<2D.a>2

变式1.（2023•福建莆田•校考三模）若双曲线>=多在第一、三象限，则上可以是.（写出一个上的值

X

即可）

3—nr

变式2.（2023•福建泉州•统考模拟预测）在反比例函数y=土-"的图像在某象限内，，随着%的增大而减小，

X

则加的取值范围是（）

A.m>—3B.m<—3C.m>3D.m<3

3

例5：（2023年湖北省武汉市数学真题）关于反比例函数，=士，下列结论正确的是（）

X

A.图像位于第二、四象限B.图像与坐标轴有公共点

C.图像所在的每一个象限内，y随X的增大而减小D.图像经过点S，。+2）,贝伯=1

变式1.（2023・广东深圳•校考模拟预测）关于函数y=下列说法不正确的是（）

A.当x>0时，y随x的增大而增大B.当x<0时，y随x的增大而增大

C.当xwO时，若尤越大，则对应的y值也越大D.若（x,%）、（x+l,%）是其图象上两点，则不一定有％

变式2.（2023•山西晋城•统考一模）己知反比例函数>=-3,则下列描述正确的是（）

X

A.图象位于第一、三象限B.y随x的增大而增大

C.图象不可能与坐标轴相交D,图象必经过点

例6：（2023年山东省济南市中考数学真题）已知点A（T，X）,倒-2,%）,C（3,%）都在反比例函数

k

y=［（^<0）的图象上，则%,%，%的大小关系为（）

A.%<%<%B.C.%<%<%D.当<%<%

变式1.（2023年天津市中考数学真题）若点A（国,-2）,3（%,1）,。（$,2）都在反比例函数y=--的图象上,

尤

则占,马,工的大小关系是（）

A.x3<x2<xxB.x2<xx<x3C.xl<x3<x2D.x2<x3<

变式2.（2023年湖北省中考数学真题）在反比例函数,="的图象上有两点A&,%）］（%,%）,当

再<。<多时，有M<为，则上的取值范围是（）

A.k<QB.k>QC.k<4D.k>4

,4

例7：（2023•江苏盐城・统考二模）画出反比例函数>=—-的大致图象，结合图象回答：

x

⑴当x=2时，y的值；（2）当1<XW4时，y的取值范围；⑶当-lVy<4且yw。时，x的取值范围.

变式1.（2022・陕西・中考真题）已知点4-2,m）在一个反比例函数的图象上，点A与点八关于y轴对称.若

点A在正比例函数y=的图象上，则这个反比例函数的表达式为

核心考点3.反比例函数系数k的几何意义

23

例8：（2023年湖南中考模拟）如图，点A在函数y=一（%>0）的图象上，点8在函数丁=一（％>0）的图象上,

XX

则四边形ABCO的面积为（）

C.3D.4

变式1.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函

数y=g（%r0）图像上的一点，过点A分别作40轴于点可，了轴于直"，若四边形AMON的面

积为2.则左的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

Qn

变式2.（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=±和y=M的

X尤

图象的四个分支上，则实数〃的值为（）

A.—3

例9：（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点«。,胃和《4皆在反比例函数化>0）的图象

上，其中a>b>0.过点A作ACLx轴于点C,则AOC的面积为；若的面积为旦则

变式1.（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在反比例函数y=»（x>0）的图象上有耳巴，-私24等

X

点，它们的横坐标依次为1,2,3,....2024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分

的面积从左到右依次为*$2,$3，1$2023，贝!]1+$2+邑++S2O23=.

2M4x

9

变式2.（2023,广东深圳•模拟预测）如图，己知反比例函数丫=-一x<0）图象上一点A,以原点为位似中心

x

得到第四象限的点8,位似比为1：2,过点2作轴于点C,连接AC,贝/AfiC的面积为（）

C.10D.12

核心考点4.反比例函数与一次函数综合

例10：（2023年内蒙古中考数学真题）如图，直线,=办+〃（"0）与双曲线、=£（心0）交于点人-2,4）和

点3（根,-2）,则不等式0<改+6〈:的解集是（）

A.-2<x<4B.-2<x<0C.%<—2或0vxv4D.一2cx<0或x>4

k

变式1.（2023年湖南省怀化市中考数学真题）如图，反比例函数y=—（%>0）的图象与过点（T，。）的直线

x

相交于A、区两点.已知点A的坐标为（1,3）,点。为工轴上任意一点.如果SAsc=9,那么点C的坐标为（）

(5,0)C.(—3,0)或(5,0)D.(3,0)或(—5,0)

变式2.（2023・陕西西安•校考模拟预测）如图，正比例函数%=勺和反比例函数%=§的图象交于2）,

8两点，若M<%，则X的取值范围是.

3

变式3.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，一次函数%=%-2与反比例函数%=巳

x

A.当兀>3时，X<%B.当时，必<%C.当0<x<3时，%%D.当一1<工<0时，必<%

例11：（2021•广东江门•校考三模）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1,0）,点。（4,4）在

k2

反比例函数>=-（%>。）的图象上，直线丫=彳％+方经过点C,与y轴交于点与x轴交于点连接AC、

x3

AE.（1）求％、b的值；（2）求A4CE的面积；⑶在x轴上取点P,求出使PC-PE取得最大值时点P的坐标.

Q

变式L（2023・广东广州,校考一模）已知：一次函数y=履+。（左片0）的图像与反比例函数>=—的图像交

x

于点A（4,〃）和2（私1）.⑴求一次函数的表达式；（2）将直线AB沿y轴负方向平移。个单位，平移后的直线

Q

与反比例函数图像y=2恰好只有一个交点，求。的值.

X

变式2.（2023・湖南娄底•九年级统考期末）如图，四边形ABCD为正方形.点A的坐标为（0,2）,点B的坐

标为（。，-3）,反比例函数y=f的图象经过点C,一次函数y=ax+6的图象经过点C和点A.

⑴求反比例函数与一次函数的解析式；⑵写出+的解集；⑶点P是反比例函数图象上的一点，若

X

△Q4P的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点坐标.

核心考点5.反比例函数的实际应用

例12：（2023下•江苏苏州•八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德

州市某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润V（万元）与月份尤之间的变化如图所示，治污

完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（）

A.4月份的利润为50万元B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元

C.9月份该厂利润达到200万元D.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元

变式1.（2023•河北保定•统考一模）某种玻璃原材料需在0。（2环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之

后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（30℃）,加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加

工的温度要求不低于480℃.玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数

关系，根据图象信息，以下判断正确的是（）

A.玻璃加热速度为120℃/minB.玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为、=—

X

C.能够对玻璃进行加工时长为L8minD.玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为80min

变式2.（2023•河南信阳•校考三模）湿度是指空气的干湿程度，或含有的水蒸