2024年高考数学模拟卷五（解析版）【艺体生专供】(新高考)

高考全真模拟卷五（新高考卷）

数学

考试时间：120分钟；试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.已知集合4=卜履+1）（无一2）<0},1=卜b=，则（）

A.[-1,2）B.[-1,2]C.（-oo,2）D.（-«,2]

【答案】D

【分析】解一元二次方程求集合A,由具体函数的定义域求集合8,再利用集合的并运算求AU3即可.

【详解】依题意，得4={小1<%<2},B={x\x<2},

AoB-（~oo,2].故选：D.

2

2.设复数z=l+；（其中i为虚数单位），贝（]|z|=（）

A.y/5B.3C.5D.V3

【答案】A

【分析】根据复数的除法与复数的模计算即可.

【详解】z=l+1=l-2i,.山|=#+（_2）2=石，故选：A

LLUULLL1UUUU

3.在△ABC中，。为重心，。为BC边上近C点四等分点，DO=mAB+nAC，则："+”=（）

A.-B.—C.-D.—

3333

【答案】B

【分析】连接A。延长交2C于E点，则E点为BC的中点，连接AD、OD，利用向量平面基本定理表示。。

可得答案.

【详解】连接A。延长交8c于E点，则£点为2c的中点，连接AD、OD,

umiuunuumuunuir21ali3uurum71/Umuum

f^DO=DA+AO=DB+BA+-AE=-CB-AB+-x-^AB+AC

3/Uimuum、uun1(uunuum、1uun5uum

=-[AB-AC\-AB+-\AB+AC\=—AB——AC,

4V/3V/1212

所以m='，〃=__,m+n=-......-=:B.

1212112123

2n2n2n2n2

AA-QB.c.D.

("+1)22〃—12n-l

【答案】A

再利用累乘法即可得见=2（：-W）,进而利用裂项相消法

【分析】根据S”与%的关系可得^1二小

求和即可.

【详解】当此2时，S,=£%

则S“+l=0+1)2%+1,

且$2=2%，即1+。2=4a2,所以a〔=q.

22

两式作差得S角-S“=5+T)an+l-nan,

即％+1=(〃+1)%,+1-"%,即(〃+2”“+1=以，

〃0n-1/八

所以才=Q，即广=而(葭2).

5襄»tIJ»<•I1

ian-Xan-2%-1〃-2〃-32_

则an------------------…-a2-------------------T~---=2(-———)e

an_xan_2an_3a2n+\nn-\4+nn+l*

所以S=2(1-----1---------1-----1------------)=2(1--------)=----•故选：A.

0223nn+Yn+1n+l

X

5.从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，分别记为x和y,则一为整数的概率是（）

【答案】B

【解析】先计算出从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，共有12种情况，再求出满足为整数的情况，即

X

可求出I为整数的概率.

【详解】解：从数字2,3,4,6中随机取两个不同的数，

则x有4种选法，，有3种选法，共有4x3=12种情况；

X

则满足（为整数的情况如下：

当y=2时，尤=4或久=6有2种情况；当k3时，x=6有1种情况；

当丫=4或y=6时，则土不可能为整数，故共有2+1=3种情况，故土为整数的概率是：（=：・故选：B.

yy1，4

6.已知函数/。）=5M28-2石328+1（0>0）在区间（1,2万）内没有极值点，则。的取值范围为（）

A.（―,—]B,（0,—]U[—,-）

122412242

C.（0,=）D.（0,2]£，当

2241224

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，由此求得3的取值范围.

【详解】；函数〃x)=sin2cox-2^3cos2cox+1(G>0)

=sinIcox-2A/3•1+8s2”*+1=sin2cox-石cos2cox+1-6

2

=2sin(2s-3+1-G在区间(万,2万)内没有极值点，

/.2k7V--<Icoji--<4CDTT--<2k7i+—

2332

gc7兀/ATC.

或LK71H——<20)71----<4(071-2+丘

23-f-^T'z-

ik5或人*,k11

解得左一勺+±,o)<--\-----,

12224224'

令％=0,可得输511

故选：D.

_12?24_

7,已知。，瓦。£(0,1),且3+lnQ=a+ln3,e+lnZ?=l+Z?,2+lnc=c+ln2，贝！］()

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】变形给定的各个等式，构造函数，借助函数的单调性比较大小作答.

【详解】依题意，3+lna=Q+ln3olna—a=ln3—3,InZ?=lne—e,Inc—c=ln2—2,

令〃x）=lnx-x,x>0,求导得：/（无）=’一1,当0<彳<1时，r（x）>0，当x>l时，［（无）<0,

因此，函数/（X）在（0,1）上单调递增，在（1，内）上单调递减，

显然，3>e>2>l,则〃3）<〃e）<"2），又/（“）=”3）"S）=/（e）"（c）=/（2）,

于是得,又“也ce（O,l）,所以"b<c.故选：D

8,《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍蕊,下广三丈，表四丈，

上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ-AS。。,下底面ABCZ）

是矩形，假设屋脊没有歪斜，即出中点R在底面ABC。上的投影为矩形A8C。的中心。，PQ/AB,AB=4,

AD=3,PQ=2,OR=1（长度单位：丈）.则楔体P0-ABCD的体积为（体积单位：立方丈）（）

A.10B.8C.6D.5

【答案】D

【分析】根据题意，把楔体尸。-MCD分成一个三棱柱和两个四棱锥，即可求解.

【详解】根据题意，分别过点尸，。作平面A5CD的垂直平面，则可以把楔体PQ-ABCD分成一个三棱柱

和两个四棱椎.

三棱柱的体积K=gx3xlx2=3（立方丈），

11x4

四棱椎的体积匕=］X^^x2=l(立方丈)，

故楔体PQ~ABCD的体积V=匕+2%=5(立方丈).故选：D.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)

9.有下列几个命题，其中正确的是()

A.函数y=2无2+x+1在(0,+⑹上是增函数

B.函数V=-^―在(-℃,-1)U(-1,+⑹上是减函数

X+1

C.函数y=C+4X-%2的单调区间是［-2,+00)

f2x-3,x>0

D.已知函数gCr)=〈乙、门是奇函数，则於)=2x+3

［/(尤),尤<0

【答案】AD

【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和

选择.

171

【详解】由丫=2*2+*+1=2(》+彳)2+$在［-了,+00)上递增知，

4o4

函数y=2x2+x+1在(0,+8)上是增函数，故A正确；

y=在(-°°,-1),(-1,+℃)上均是减函数，

X+1

但在(-°o,-1)U(-1,+co)上不是减函数,

如-2<0,但白〈。故B错误；

y=j5+4x-d在［-2,-1),(5,+8)上无意义，

从而在［-2,+8)上不是单调函数，故C错误；

设x<o，贝!I-x>0,g(-x)=-2x-3,

因为g(x)为奇函数，所以f(x)=g(x)=-g(-x)=2x+3,故D正确.故选：AD.

10.已知点"34面。）（，€用，直线/：X+7妆-4=。，下列结论正确的是（）

A./恒过定点（4,0）

B.\OP\=1（。为坐标原点）

C.P到直线/的距离有最小值，最小值为3

D.P到直线/的距离有最大值，最大值为5

【答案】ABD

【分析】直接代点可判断A；利用两点之间距离公式可判断B；由点P的轨迹与直线过定点，画出图形后可

判断C、D.即可得解.

【详解】直线/：尤+⑺一4=0,当y=0时，尤=4,故A正确；

\OP\=TcoT^+sin7?=1,故B正确；

点尸的轨迹是以（。，0）为圆心，半径为1的圆，直线过定点（4,0），位置如图：

由图可知，点尸到直线/的距离最小值为0,

当直线与x轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4,所以尸到直线/的距离有最大值，最大值为5.

故C错误，D正确.故选：ABD.

11.我们知道，函数y=/（x）的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/（x）为奇函数，

有同学发现可以将其推广为：函数＞=/（"的图像关于点网。0成中心对称的充要条件是函数为

y=/（x+。）-6奇函数,则下列说法正确的是（）

A.若〃x）=2x-3,则加为y=的对称中心

B.若『（x）=d-3x,贝4y=/[x+|]为偶函数

c.函数/'(彳)=三+3/图像的对称中心为(-1,2)

D.函数y=/(x)的图像关于x="成轴对称的充要条件是函数y=〃x+a)为偶函数

【答案】BCD

【分析】根据题目中的定义和函数的奇偶性，对称性特点即可求解.

【详解】对于选项A:

〃x)=2x-3，&1)为y=/(x)的对称中心，贝!=为奇函数，

而y=，x+：)T=2(x+g)-3-l=2x-3，令g(x)=2x-3,

易证g(x)=2x-3不为奇函数，故选项A错误；

f(x)=x2-3x,y=f^x+^=(x+|)2-3(x+|)=x2,

令g(x)=/-：,易证g(无)=f一；为偶函数，所以y=/［尤+g］为偶函数.故选项B正确；

函数若〃同=丁+3/图像的对称中心为(一1,2),y="x-l)-2为奇函数，

令/z(x)=1)-2=(%-1)3+3(%-1)2-2=d—3x?+3、—1+3%2—6x+3-2=d—3%,

FJrlUh(-x)=(-X)3-3(--^)=-X3+3%=-h(x),故选项C正确；

函数y=/(x)的图像关于r=a成轴对称y=〃x+a)关于y轴对称，所以函数'尤+。)为偶函数，

反之亦成立，故选项D正确.故选：BCD.

12.正方体ABC。-48GA的棱长为2,瓦尸,G分别为BC,CG，84的中点.则()

A.直线。Q与直线AF垂直

B.直线AG与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为5

D.点4和点。到平面AEF的距离相等

【答案】BCD

【分析】根据异面直线所成角的定义判断A,由面面平行的性质定理判断B，作出完整的截面，判断CD.

【详解】因为。。//«,而G。与"显然不垂直，因此。，与AF不垂直，A错；

取4G中点H,连接AHGH,BC-由G,E,尸分别是8稣8C,CG中点，

得HG//BQ〃EF,1^---------*

又HEUBB、11AAi，族=网=M，型必是平行四边形，所以A〃〃AE,，'例/

AEcEF=E,AE,E「u平面A跖，所以物〃平面AE尸,HG〃平面AEF,/>--'/力（

而A"=H,A",//Gu平面AHG,所以平面A"G〃平面皿，|/（

又AGu平面A"G,所以AG//平面AER.B正确；

由正方体性质，连接,则截面的即为四边形的皿，它是等腰梯形，

AD、=2垃,EF=&.,D,F=AE=加，等腰梯形的高为h=（后一］拽二2］=述，

V12）2

截面面积为S=gx（a+20）x乎=g,C正确，

222

设ADCA2=。，易知。是4。的中点，所以两点到平面AE皿的距离相等.D正确.故选：BCD.

第n卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分）

13.［龙一］的二项展开式中，x项的系数是__________.（用数字作答）

【答案】-560

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令X的指数等于1,求出，的值，即可求得展开式中X项的系数.

【详解】［6-5；的二项展开式的通项为

s_53r

r

Tr+l=q(6厂(*y=G(-i),

:¥=1nr=1,展开式i项的系数为CX-1)'=-5.故答案为：5

8r-1

14.已知函数/(%)=ln(x-1)——-,则函数/⑺的图象在x=2处的切线方程为______.

x+1

【答案】k-5

1Q

【分析】函数求导，/'(刈二二一江口了，计算人=广⑵，点斜式方程写出切线方程.

19

【详解】尸⑴=口一串铲，左=1⑵=°，点⑵一9

点斜式方程V-%=八％)(尤无。)写出切线方程：V+5=0?(x2)

y=-5故答案为：y=-5

15.过定点A的直线/：ox+y-2a+4=0与圆G：x?+y2=4交于B,C两点，点2恰好为AC的中点，写出

满足条件的一条直线的方程______.

【答案】x+y+2=0或7x+y-10=0

【分析】根据直线方程，求得其定点坐标，利用中点的坐标公式，表示出两个交点，根据方程求得坐标，

结合直线的两点式方程，可得答案.

【详解】由直线/：依+>-2a+4=0，整理可得(x-2)a+y+4=0当x=2时尸Y敌直线/过定点A(2,f,

设c(%,%)，则《合

由氏。在圆C：Y+y2=4，则+4丫=.，整理可得%-2%+2=0,

22

_6

联立可得F+n，消去吃可得：5乂_8翊=0,解得。5

区-2%+2=0[%=。=8

5

当点C的坐标为(-2,0),由两点式方程，可得胃=耳耳，整理可得x+〉+2=0,

Z+2-4—U

68

(68、龙—y—

当点c的坐标为WW,由两点式方程，可得—,整理可得7x+y-10=0,

55

故答案为：x+y+2=0或7x+y-10=0

16.已知抛物线E：y2=4尤的焦点为RM为£上一点，以线段M尸为直径的圆C与E交于另外一点MC为

圆心，。为坐标原点.当MV//OC时，ON的长为点c到y轴的距离为,

【答案】।1

【分析】易知焦点产(1，。)，根据M，N在抛物线上设出坐标，易知圆心C为的中点即可求出C』=之?

由MV//OC利用斜率相等可得“%=4,再根据直径所对的圆周角为90可得产，即OCJ_N尸，利用

向量数量积为0可得才-短+16=0，联立及可解得短=8+4若，根据两点间距离公式可得。叫=1,点C

到＞轴的距离为其横坐标的绝对值等于社@.

2

【详解】由题意知M，N在抛物线上，设岑,y],N[岑,,如下图所示：

抛物线焦点勺,。)，圆心c为M尸的中点，所以4《上三

A

由MN//OC可得上MN=koc,即”22=，

x%y+一

448

44y.

整理可得二I="'即'=4；

又因为MF为直径，且点N在圆C上，所以MN工NF,

又因为M7V//OC,所以OC_LNF,可得。C.WV=O,

城+4

又。c=A,FN=y^Iy

8'24'%

gp2V±lx）Vzf+2i2i=0,整理得出2一%2+16=0,

842

联立％%=4可得短-16靖-16=0，解得寸=8+4号或臂=8-4君<0（舍）

所以五一2一，

所以4靖8+4君2+61

+=3-4«+4（召-2）=1；

v2+4S+4、/?+43+x/s

点c到y轴的距离为c点横坐标的绝对值，即=—2—=—

ooZ

故答案为：1,三笠

2

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.数列｛%｝的前"项和记为S“，％=9,。用=25“+9,〃eN*,4=1,bn+l-bn=log3an.

(1)求｛%｝的通项公式；

-111c

(2)求证：对〃eN，总有L丁+7++7-<2.

U\U2Un

【答案】(1)(=3""eN,(2)证明见解析

【分析】(1)通过“用=2S"+9可知，可采用作差法求解｛%｝,但需验证〃=1时是否成立，再求出通项即可

+1

(2)通过(1)中求出的%=3向,"eN*,可得%-d=log33"=n+l,符合累加法基本类型，用累加法

111c1

求解％因为要证明Lt,-+++7<2效求得的索应能够进行通项求和或是满足裂项求和基本形式，

U\rU2Unun

再进行化简即可

【详解】解：(1)由%=25“+9(«..1).可得«„=2sl+9(n..2),

两式相减得an+l~an~，•=an+\=3%,

又出=2sl+9=27,a2=3%.

故｛叫是首项为9,公比为3的等比数列，.・.%=3向,〃eN*

(2)么=1呜3向=〃+1

当w..2时，6“=(6”一6,T)+(6,T-4_2)++(包-4)+4=〃++(2-1)+]=Q+：)"

_<Mr•人■7(1+〃)〃_*

又〃=1符合上式，2=--一,neNT.

・・・一二------，几wN*

bnn(n+1)

111“11111、c”1、

Hill----1----FH----2(1------1------FH---------)—2(1--------)

J

bxb2bn223nn+1n+1

.nd一W)<2,2Q一=l

1„-+—++—<2

瓦b2b.

18.在ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c.从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题

中，并解答.①cosA=；;②.ABC的面积是华1;③c=3.

问题：已知角A为钝角，6=5,

⑴求ABC外接圆的面积；

(2)4。为角A的平分线，。在2C上，求的长.

【答案】(1)条件选择见解析，f(2)AD=|

o42

【分析】⑴选①②：由cosA=-［求得如4=叁，再结合三角形面积公式可求得。=3,利用余弦定理

求得。，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选①③：利用余弦定理求得。，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选②③：利用三角形面积公式可求得sinA=芈I,再求得cosA=-与，利用余弦定理求得a,再利用正弦

定理求得外接圆的半径，从而可解.

⑵设A=2。，则有sit?”匕丁，求得sine=",再利用等面积法可求.

乙3

【详解】（1）选①②，

cosA=,...sinA=J1-cos?A=,

ABC--Z>csinA,即69=庖x5xc，得。=3,

又QS^

17272

由余弦定理,^«2=&2+c2-2Z?ccosA=25+9+2x5x3x—=—,

由正弦定理，得（22总二曹，

所以，ABC外接圆的面积为耳答.

o4

17

选①③，因为cosA=-石，c=3.

17272

所以由余弦定理，得Q2=〃+/-2/7ccosA=25+9+2x5x3x-=—^―,

由正弦定理，得（2小总=等，心鬻,

所以，ABC外接圆的面积为二等.

选②③，

67211,4721.斗，f0.17

S=-x5x3oxsinA3,sinA=,A为钝角，伯cosA=-；^,

3//DZD

17972

由余弦定理,=^+c2-2Z?ccosA=25+9+2x5x3x—=—,

由正弦定理,得（2R）=S=等，心翳，所以，MC外接圆的面积为答.

（2）由AD为角A的平分线，设A=2a,«efo,|

1-cosA21

则有sin2a=—,sinot=----

2255

由ABC的面积器_=—xbxADxsina+—xcxADxsino,

522

即噌=1x5xAOx曰+(x3xAOx与，解得.故AD的长为:.

19.为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数）,收集数据如下：

天数X123456

繁殖个数y612254995190

⑴在图中作出繁殖个数y关于天数了变化的散点图，并由散点图判断＞=以+&（为常数）与尸金产

（AC为常数，且A＞。心*。）哪一个适宜作为繁殖个数，关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断

即可，不必说明理由）

（2）对于非线性回归方程9=（ac为常数,且6＞0,。2*0），令z=lny,可以得到繁殖个数的对数z

关于天数x具有线性关系及一些统计量的值.

6

£(x,-可2

Xyz^(x,.-x)(z,.-F)

1=1«=1Z=1

3.5062.833.5317.50596.5712.09

（i）证明：“对于非线性回归方程/,令z=lny,可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性

关系（即0=历+蜃反&为常数）”；

（五）根据（i）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）.

附：对于一组数据（如匕），（%，％），，（",,加"）,其回归直线方程。=加+&的斜率和截距的最小二乘估计分别

f（"L区）（匕一少）

为8-------------,a=v-pu.

f（%一才

Z=1

【答案】⑴选择F=。眈为回归方程较宜出（i）证明见解析；（ii）Re…2

【分析】⑴根据散点图趋势选择；⑵将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，结合所给数据求解.

【详解】（1）作出散点图如图所示.

X

由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y=。声”的周围，

故选择$=¥&、为回归方程较宜.

C1X

(2)(i)证明：由已知：令Z=lny,则z=lny=ln(qe。")=Inq+Ine=Inq+c2x,

贝（j6Z=lnG,ft=c2,gpz=（3x+a.所以繁殖个数的对数二关于天数l具有线性关系.

（ii）由（i）知繁殖个数的对数，关于天数x可以用线性回归方程来拟合.由表中数据可得，

6

P=----------------=—^«0.69

Zaf17.5

i=l

a=z-^=3.53-0.69x3.5~1.12,

得到z关于I的线性回归方程为z=0.69%+1.12,又z=lny,

因此细菌的繁殖个数）关于天数X的非线性回归方程为夕=e,O.69x+1.12

20.如图，A8是半球的直径，。为球心，AB=2,C为半大圆弧的中点，尸为同一半大圆弧上的任意一点

（异于A,3,C）,P在水平大圆面AOB内的射影为。，过。作QR，AB于R,连接PR,OP.

⑴若c,尸为不同的两点，求证：OC//PR;

jr

⑵若半大圆面ACB与水平大圆面夹角大小为§,求三棱锥尸-。。氏体积的取值范围.

【答案】（1）证明见解析（2）（。，］

I36」

【分析】（1）根据线面垂直可证AB上PR,从而可得。。/依.

（2）由（1）可得4RQ为半大圆面ACB与水平大圆面夹角的平面角，设/B0P=6,根据体积公式

V=^-（cos^-cos30）,利用换元法和导数可求其取值范围.

【详解】（1）因为PQ垂直于水平大圆面AOB,而ABu平面A03，所以尸QSA5,

因为QR_LAB,PQQR=Q,PQ,QRu平面PQR,所以平面PQR,

而尸Ru平面PQR，所以3PR,

因为C为半大圆弧的中点，所以ABLOC,

因为C,P为不同的两点，且AB,OC,PR在同一个平面内，

所以OC//PR.

(2)^AB±PR,AB_LRQ得，

IT

/依。为半大圆面ACB与水平大圆面夹角的平面角，所以/PRQ=§,

设NBOP=e,由于对称性，不妨设,

因为AB=2,所以8=1,

所以PR=sin6,OR=cos6,RQ=PRcos^=*,PQ=PRsin-=^Sm3,

3232

所以三棱锥尸-。QR体积为：

V=1~O/?J?2.Pe=^sin26»cos<9=^(cos6»-cos36»),

设r=cosee(0,l),所以v=*(j3),

令V'=W(1-3/)=。，得f=¥，

当o<r<3时，，■▽>()♦；当£r<i时，r<o,

33

所以V=3)在上为增函数，在上为减函数,

故当7=3时，V取得最大值为£,而叭0)=^1)=。，

所以三棱锥P-O0R体积的取值范围为Io，A-

I36」

21.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线"质+〃?与椭圆交于A,B两点，。为坐标原点，求4A03面积的最大值.

【答案】(1)=+丁=1；(2)g.

22

【详解】试题分析：(1)根据点在曲线上，将点代入曲线可得到方程；(2)联立直线和椭圆得到二次方程,

根据弦