2024长沙中考数学二轮复习：几何证明与计算 (含答案)

2024长沙中考数学二轮专题复习题型二几何证明与计算

类型一与全等有关的证明与计算

典例精讲

例如图，在菱形ABC。中，/A=60。，AO=2,点E是A。边上一点(点£不与点A、D

重合)，点厂在A8的延长线上，MBF=DE,连接EP交8。于点G.

(1)求证：4BDE咨4CBF；

【思维教练】在含60。角的菱形中常利用等边三角形性质，找到等边和等角，利用SAS证明

全等.

(2)当BE_LA£)时，求C尸的长；

【思维教练】出现垂直和60。角时，考虑用三角函数求线段长.

(3)求证：EG=FG；

【思维教练】过点E作8尸的平行线，构造8字型全等，利用全等三角形的性质证明边相等.

(4)设。E=x,DG=y,求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围.

///

//

4aif

例题图

【思维教练】表示出线段BG的长度，结合等边三角形性质及(3)中结论，得到等式，转化求

解.

针对训练

1.如图①，AB^AC,NBAC=90。，点。是AB上一点，连接CD过点2作BF_LC。，与

CD的延长线交于点E,交CA的延长线于点F,连接AE,过点A作AG±AE交CD于点

G.

(1)求证：CD=BF；

(2)如图②，若。是4B的中点.求证：DG=DE+BE.

2.如图，在正方形A8CD中，E是8C边上一点(不与8、C重合)，将正方形A8CO沿AE

折叠，使点8落在点尸处，延长EF交C。于点G,连接AG.

(1)求证：△ADG四△APG；

(2)若AB=2.

①求△CEG的周长；

②若点E是BC的中点，EM是NCEG的平分线，求GM的长.

第2题图

类型二与相似有关的证明与计算

典例精讲

例如图，在矩形ABCD中，AB=12,尸是边AB上一点，把△P8C沿直线PC折叠，点、B

的对应点是点G,过点8作8EJ_CG,垂足为E,且E在上，BE交PC于点、F.

⑴求证：BP=BF；

【思维教练】由折叠的性质及等角对等边求证.

⑵若40=25,且AEVOE.

①求AE的长；

②求tan/PCB的值；

【思维教练】①利用等角的余角相等及相似三角形的性质求解;

②利用折叠和相似的性质求解.

⑶当BP=9时，直接写出BEEF的值.

例题图

【思维教练】要求8£・£凡则可作辅助线构造包含BE、EF线段的三角形相似求解.

针对训练

1.(2023长沙黑白卷)如图，在正方形A3C。中，42=4,连接点X是BD上一点，连

接AH并延长交8c边于点G,过点。作DELAG于点E,过点8作BfUAG于点孔

(1)求证：AABF名ADAE；

lBF

(2)若EF=2小一2,求瓦；

(3)设和四边形CDHG的面积分别为N和S2,若已去求BG的长.

第1题图

2.(2023长沙开福区一模)如图，在矩形ABC。中，AC为矩形A2C£＞的对角线，DG1AC

点G,OG的延长线交于点E,已知4。=6,8=8.

⑴求AE的长;

(2)ZACD的平分线CF交AD于点F,求tanZDCF的值;

⑶若。1、。2分别是△ADG、△OCG的内心，求5、。2两点间的距离.

第2题图

参考答案

类型一与全等有关的证明与计算

例（1）证明：•・•四边形A3CD是菱形，

：.AD=AB^BC=DC.

・・•NA=60。，

AAAB£>,4BCD都是等边三角形.

:・DB=BC,ZCBF=ZBDE=60°,

在△5DE和△C3尸中，

DB=BC

<ZBDE=ZCBFf

DE=BF

：.ABDEW△CBF(SAS)；

(2)1?：由(1)知△3OE也△C8R

:・CF=BE,当时，VAZ)=2,ZA=60°,四边形A5CD为菱形.

：.BD=AD=2,ZEDB=60°,

：.BE=BDsin60°=小

;.CF=6

(3)证明：如解图，过点石作即〃A5,交BD于点H.

例题解图

・•・ZDEH=ZA=60°,

又•・・ZADB=60°,

是等边三角形,

：.EH=DH=DE,

•：BF=DE,

；・EH=BF.

*：EH//AB.

：・NHEG=NBFG,/EHG=/FBG,

・•・△E"G之△bBG(ASA),

：.EG=FG；

(4)解：如解图，••,△AOB是等边三角形.

：・DB=AD=2,

9：DG=y,

：.GB=2-y,

•:DH=DE=x,

：.HG=DG—DH=y—x.

由(3)得△E"G丝△b3G,

：・HG=BG.

•\y-x=2—y,

・・.y=g+l,x的取值范围为0<xV2.

1.证明：(l)VZBAC=90°,

・•・ZBAF=ZBAC=9Q°,

：.ZF+ZABF=90°,

VBFXCD,

AZF+ZACD=90°,

：.NABF=ZACD,

VAB=AC,

JAABF^AACD,

:・CD=BF：

(2)如解图，过点A作于点M,

VZBAC=90°,AG±AE,

JZBAE+ZDAG=NOAG+NCAG=90。,

J/BAE=NCAG,

*：AB=ACf

且由(1)知ZABF=ZACD,

：.AABE^AACG,

：.AE=AGf

AA£G是等腰直角三角形，

'：AM.LCD,

：.AM=EM=GM,

VBFXCD,AMLCD,

ZBED=ZAMD=90°,

；BD=AD,NBDE=NADM,

:.ABDEHADM,

:.DE=DM,BE=AM,

：.BE=MG,

•：DG=DM+MG,

：.DG=DE+BE.

第1题解图

2.⑴证明：：四边形ABC。是正方形，

NB=ND=90°,AB^AD,

由折叠的性质得/AFE=/B=90。,

J.AD^AF,ZD=ZAFE^ZAFG^9Q0,

又：AG=AG,

AADG^AAFG；

(2)解：①由(1)可知

:.DG=FG,

由折叠的性质得BE=EE,

.♦.△CEG的周长=CE+CG+EG=CE+EF+CG+FG=CE+BE+CG+OG=2AB=4；

②是8c的中点，且A8=BC=2,

:.BE=EC=L

在RtZXECG中，GC=2~DG,EG=l+DG,

VEG2=£C2+CG2,

.•.(1+Z)G)2=12+(2-£>G)2,

2

解得£>G=w.

4

・・・CG=y

如解图，过点“作MNJ_EG于点N,

VZC=90°,EM是NCEG的平分线,

:・CM=MN,EN=CE=\,

・••点N与点歹重合,

:・NG=DG=^.

在RtZXMNG中，GM2=MN2+NG2,

即(41—CM)2=CM2+q2)2,

解得CM=^,

GM=T.

6

第2题解图

类型二与相似有关的证明与计算

例(1)证明：在矩形ABC。中，ZABC=90°,

ABPC沿PC折叠得到△GPC,

ZPGC=ZPBC=90°,ZBPC=ZGPC,

VBEXCG,

：.BE//PG,

：.ZGPF=ZPFB,

:・NBPF=NBFP,

：.BP=BF；

(2)解：①当A£>=25时,

VZBEC=90°,

・•・ZAEB+ZCED=90°f

'：ZAEB+ZABE=90°,

：.ZCED=ZEBAf

9：ZBAD=ZEDC=90°,

：.AABE^ADEC,

・ABDE

••AE=5C,

设AE=相，

.*.DE=25—m,

.1225~m

工石=12，

解得加i=9,恤=16,

9：AE<DE,

：.AE=9；

②由①可得DE=16,

・••在RtZXDCE中，CE=ylDC2+ED2=20,在中，BE=yjAB2+AE?=15,

由折叠性质得3P=PG,

：.BP=BF=PG,

■:BE//PG,

：.AECFs^GCP,

・EFCE

^~GP=~CGf

设BP=BF=PG=n,

.15—n20

**n=25J

：.BP=y,

：2C=A£>=25,

25

.PB31

tanZPCB=^=25=3；

(3)解：如解图，连接FG,

例题解图

'：ZGEF^ZPGC^9Q0,

：.BF//PG,

由(2)知BF=PG=BP,

，四边形8PGE是菱形，

C.BP//GF,BP=GF=9,

：.ZGFE=ZABE,

:AGEFs丛EAB,

.EF_AB

••而一国

：.BE-EF=AB-GF=12X9=108.

1.(1)证明：：四边形A8C£)是正方形,

：.AD=BA,ZBAD=9Q°,

：.ZDAE+ZBAF=9Q°,

■:DELAG,BFLAG,

：.ZAED=ZBFA=90°,

：.ZDAE+ZADE=90°,

：.NBAF=ZADE,

：.AABF^△ZME(AAS)；

(2)解：AABF^ADAE,

：.BF=AE,AF=DE,

在中，BF2+AF2^AB-,

：.AE2+(AE+EF)2=AB1,

即AE2+(AE+2^3-2)2=42,

；.AE=2或AE=—2小(舍去)，

：.BF=2,DE=AF=AE+EF=2y[3,

.BF__2__V3

•3E—2H3；

(3)解：如解图，连接CH,设8G=x,

第1题解图

•・,瓦)是正方形ABCD的对角线，

S\=S4ADH=S△CHD，

:・Sz=S四边形CZ)HG=SACHD+S^CHG=SI~\~SACHG，

..S"HGBGx

*S/^CHGCG4-xf

.(4—x)SABHG

••、4CHG-~，

(4—.X)S/XBHG

•・白2=31十",

・・•四边形ABC。是正方形，

：.AD//BC,

：.AADHsAGBH,

.SABHGz5G2-X2

・・&9=(而)=169

・^2S^AHDA251

••o/\BHG-]6-]6，

।4—xj^S\16+4J;—x2

・・.S2=s+丁•记=—Lm,

.S1_16_4

**Si16+4x—x25'

=

解得x2f

:・BG=2.

2.解：(I)...四边形ABC。是矩形，

ZEAD=ZAZ)C=90°.

,CDGLAC,

：.ZACD+/GDC=ZEDA+ZGDC=90°.

：.ZEDA=ZACD.

：.AEDA^AACD.

.CDAD„8__6

••万汗=瓦，n即乙=靠；

.__9

••2；

(2)如解图①，设。右交CT于点H,

・・・ZADG+ZGAD=ZADG+ZCDH=90°9

:./GAD=/CDH,

•・・。/平分NACD,

・•・/ACF=/DCH,

：.ACAF^ACDH,

：.ZCHD=ZAFCf

：.ZFHD=ZDFH,

：.HD=FD,

由题易得AC=yjAD2+CD2=10,

・ACAFAF5

99DC=DH=DF=4f

设则当，

6~x43

DF=^,

.