2024年中考数学提高复习讲义：圆的基本性质(二)

圆的基本性质（二）

知识梳理

1.弧长

在半径为r的圆上，圆心角a所对的弧长1的计算公式为I=篝

loU

由上述弧长公式可推出：践=竺%r=理

nrmi

2.扇形的面积

如果扇形的半径为r,圆心角为a,扇形的弧长为1,

那么扇形面积的计算公式为：S=喏="r

如果弓形的面积是s,弓形所在扇形的面积是St,圆心角是a,扇形的两条半径与弓形的弦所成的三角形面

积是S2，则当a=180。时，叫％;当a<180。时,S=S2;当a>180。时,S=Si+S2.

3.圆锥的侧面积和底面

圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧

面.无论转到什么位置，这条斜边都叫作圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫作圆锥的底面.如果记圆锥的高

线长为h,底面半径为r,母线长为1,则兴+产=巴

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长1,弧长是圆锥的底面周长C=27rr,侧面积

S=nrl.

侧

4.圆锥的全面积

圆锥的侧面积与底面积的和叫作圆锥的全面积（或表面积）,Sx=nrl+nr2.

其中，（1）（2）中的1代表扇形的弧长，与⑶中的1表示的意义不一样.（3）中的1表示圆锥的侧面展开图的扇形的

半径.圆锥的底面圆的周长为圆锥的侧面展开图的扇形的弧长.

典型例题

例1

如图所示，在扇形OAB中，半径（0A=4„C是0B的中点，乙40B=120°,,则阴影部分的面积为

解析过C作CDLAO的延长线于D.

因为乙40B=120°,

所以4DOB=60°.

因为,C是OB的中点，

所以CO=2.例1图

又因为CDXAO,

所以DC=CO-sinzDOB=V3,

所以S0Ac=|x£)CxXO=|xV3x4=2丹

_120K,42_16K

所以Sa”“"=360°=V

=

所以SRMM介SMKAOU~S^OAC=­2>/3.

例2

解析已知以AB,AC为直径作半圆.

所以Si+53=芳"=2兀,S2+S4=p

例3

如图所示，一张扇形纸片，圆心角乙40B=120。,半径AO的长为2,用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不

计),则该圆锥底面的半径为一.

解析因为NAOB=120。,半径AO的长为2,

所以弧48=鬻=?兀.

lol)3

将扇形纸片围成一个圆锥，则弧AB=圆锥底面的圆的周长.例3图

设底面圆的半径为r,

4

侑

则

-兀

32w,该圆锥底面的半径为|.

双基训练

1.下列结论中，正确的是().

A.圆周角相等，则它们所对应的弧相等B.90。的圆周角所对应的弦是直径

C.顶点在圆周上的角是圆周角D.圆周角度数等于圆心角度数的一半

2.如图所示,AB为。0的直径，点C在。0上，若NC=30。,则NBOC=().

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.如图所示,。0的半径为2,NACB=60。,!^AB=().

42遍B.V3C.2D.1

A

A

第2题图第4题图

4.如图所示，点E为BC的中点,AB为。O的直径,AB=4,/BED=120。厕阴影部分的面积之和为（）.

A.1B.叵C.V3O.2V3

2

5将一个圆心角为90。的扇形围成圆锥的侧面,则该圆锥的侧面积SM与底面积SK的关系为（）.

A.S=S^B.S=2S^C.S—=3S-D.S=^S^

侧底侧底底底侧底

6.如图所示.四边形ABCD为菱形,/A=6（F,AB=2扇开?BEF的半径为2.圆心角为60°，则图中阴影部分的面

积是（）.

A.-----V3C.n--D.7T-V3

3232

7.如图所示，在。O中,弦AB〃CD,若/ABC=3。。,贝!!/BOD=.

第6题图

8.如图所示点A.B,C,D在。。上,OB，AC,NAOB=60«!J/BDC=

9.如图所示,在0O中,/AOB=120。,贝U/ACB=

10.已知△ABC内接于OO,NOCB=25。,则NA=

11.如图所示是仆ABC的外接圆,AD为。O的直径,NB=40。,贝U/DAC=

12.如图所示，已知AB为。O的直径,NOCB=25。,则/D=

第9题图

第11题图第12题图

13.如图所示,已知点A,B,C,D都在。O上.弧CD的度数等于84°,CA是/OCD的角平分线厕/ABD+NCAO-

14.设圆的半径为r,60。圆周角所对的弧长为1,贝山与r的关系为

15.如图所示有两个同心圆泮径OA=4,OB=2,/AOC=120。,则阴影部分面积为

第15题图第16题图

16.如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°,半径为4,CD分别为弧AB的三等分点，则阴影部分的面

积等于.

17.正△ABC内接于半径为4的圆，则弧BC的长为—.

18.圆锥的底面半径为1,母线为3，则圆锥表面积为一.

19.用半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为一.

能力提升

20.如图所示,AB是。。的直径,C,D为半圆的三等分点，则NC+/D+NE=（）.

A.90°B.105°C.120°D.150°

21.如图所示,四边形ABDE内接于。O.对角线AD,BE相交于点P,C为弧AB的中点，则图中与/AOC相等的角

有（）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

小|

路

ED

B

休-

草

闲-

坪

区

小尚-

一

C。

第20题图第21题图第22题图

22如图是公园一角,/AOB=90。,弧AB的半径OA长是6m,C是OA中点，点D在弧AB上,CD〃OB,则图中休

闲区的面积是（）.

A.^12TT—1m2B.（n-m2

C.^6n—|m2D.（16TT—9V3）m2

23.如图所示,OA与。B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点若/CED=xO,NECD=yO,G）B的半

径为R,则弧DE的长度是（）.

4-（9。-%）RB以90y）Rc以18。-%）RD.（180-y）八

'9090'180'180

24.如图所示，在。O中,AC交BD于E,且AB=BC前，若/AED=140。,则/ACD=.

25.如图所示，在。0中,AD为直径,OBLAD交AC于点B,乙4=30°,BC=5,则OB=

26.如图所示,△ABC内接于。O,并有乙B=AOAC,AC=4&c科则04=.

27.如图所示,在扇形OAB中，半径0A=12,C为0B的中点乙4。8=150。,则阴影部分的面积为.

28.如图所示，扇形AOB的圆心角为90°,分别以OA,OB为直径在扇形内作圆，交点为O,P和Q分别为

阴影部分的面积，那么P和Q大小关系为—.

29.如图所示，已知一个圆锥的底面直径EF=10,母线OE=10,FA=2,则E到A的最短距离为

拓展资源

30.如图所示，点A,B,C,D为圆的四等分点，动点P从圆心。出发，沿O-CTD-O的路线做匀速运动，设运动

时间为t秒，ZAPB的度数为y。，则下列图像中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）.

31.如图所示，在边长为2的正方开?ABCD中，以A为圆心，分别以AB,AD为半径作圆，弧AB与弧AD

交于O,则阴影部分的面积为

第31题图

32.如图所示,AB是。0的弦,。0的半径为10,OE,OF分别交AB于点E,F,OF的延长线交。0于点D,且4E=

BF/EOF=60°.

(1)求证:△OEF是等边三角形.

(2)当4E=OE时，求阴影部分的面积(结果保留根号和71).

第32题图

33.如图所示，直线MN交。O于A,B两点,AC是直径,AD平分.NC4M交。O于点D,过D作DE1MN,垂足为

(1)求证:DE是。O的切线.

⑵若^ADE=30°,OO的半径为2,求图中阴影部分的面积.

第33题图

1-6BBABDB

7.60°8.30°9.120°10.65°11.50°

12.25°13.48°14J=-r15.8兀16.—

39

17.7t1总4兀19.1

20-23CBCB

24.120°25.526.4cm27.60K-1828.相等29.2旧

30.动点P从圆心。出发，沿OTCTD-O运动的过程中，分为以下三个部分.

(1)0-C,/APB逐渐变小；

(2)CTD，点P在移动的过程始终对应的弧AB的圆周角，由圆周角定理知，ZAPB大小不变；

⑶DTO,/APB逐渐变大.

因此，本题的正确选项为C.

31.如图所示，弧AD与弧AB的交点为0,连接直线BD与AC,则两直线必经过京

将弓形AMO逆时针旋转90。,与弓形B0重合.

将弓形ANO顺时针旋转90。,与弓形OD重合.

则所求阴影部分的面积为弓形BD的面积.

SB]gg—,加水ABD-'ABD

miR21.„BC

=----------xABxAD

3602第31题答图

907rx2：

-—x2x2

3602

=71-2

32.(1)因为AB是。O的弦,OA,OB均为。O的半径,

所以△OAB为等腰三角形，

所以NOAB=NOBA.

在4OAE与AOBF中，

因为OA=OB,/OAB=NOBA,AE=BF,

所以△OAE^AOBF,

所以OE=OF.

又因为/EOF=60。，

所以△OEF是等边三角形.

⑵过。作OG±AB于G,如图所示

因为由(1)得AOEF是等边三角形，

所以OE=EF=OF,ZOEF=ZOFE=ZEOF=60°.

又因为