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文档简介

江苏省盐城2024高三上学期四校联考

数学试卷

(考试时间:120分钟,满分:150分)2024.12.15

一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

1.已知集合4={彳|-1<%<3},B=,则Ac3=()

A.(-l,+oo)B.(L3)C.(-1,1)D.(1,+co)

2.下列说法正确的是()

A.圆(x-iy+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径为5

B.圆(x+2)2+y2=Zj2(bwO)的圆心为(-2,0),半径为6

C.圆(x-石『+卜+夜『=2的圆心为(血「后),半径为血

D.圆(%+2)2+(丁+2)2=5的圆心为(2,2),半径为百

3.已知向量m”(2,小,〃〉O,b>0,则下列说法正确的是()

A.若Q+/?=1,则加.〃有最小值5+26B.若必=1,则“九有最小值几

C.若m〃n,则叫式次,)的值为TD.若加则的值为1

3

4.2024年4月29日,中国空间站天和核心舱放射升空,这标记着中国空间站在轨组装建立全

面绽开,我国载人航天工程“三步走”战略胜利迈出第三步.到今日,天和核心舱在轨已经九个

多月.在这段时间里,空间站关键技术验证阶段完成了5次放射、4次航天员太空出舱、1次载人

返回、1次太空授课等任务.一般来说,航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆,其中地球的

球心是这个椭圆的一个焦点,我们把椭圆轨道上距地心最近(远)的一点称作近(远)地点,近

(远)地点与地球表面的距离称为近(远)地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行,

它的近地点高度大约351km,远地点高度大约385km,地球半径约6400km,则该轨道的离心率为

()

,17.17八385r6785

A.----B.---C.---D.-----

676836873613536

5.把一条线段分为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比,其比值是一

个无理数避二1,由于按此比例设计的造型非常漂亮柔软,因此称为黄金分割,黄金分割不仅

2

仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不行忽

视的作用在一ASC中,点。为线段BC的黄金分割点(3£>>DC),AB=2,AC=3,ZBAC=60°,

AD-BC=()

,76-9R9-76R9A/5-7n7-96

2222

6.如图,由于建筑物的底部8是不行能到达的,/为建筑物的最高点,须要测量43先实行

如下方法,选择一条水平基线的,使得〃,G,8三点在一条直线上,在G,〃两点用测角仪测得

4的仰角为a,P,CD=a,测角仪器的高度是力,则建筑物46的高度为(

asinPasma

A'sin(a_Q)B,sin((z-^)+h

asinasin£asinasin0

C——----3+/7z+h

•sin(a一夕)D.COS(6Z-y0)

7.已知数列{4}是公比不等于±1的等比数列,若数列{。“},{(-1)

,2的前2024项的和分别为如8-m,20,则实数r的值(

A.只有1个B.有2个C.无法确定D.不存在

8.若x,ye(0,+oo),x+lnx=e>+siny,则()

A.ln(%—y)<0B.ln(y-x)>0C.x<eyD.y<lnx

二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知数列{%}为等比数列,则()

A.数列。2,&,。8成等比数列

B.数列4%•4成等比数列

C.数列q+的,%+4,为+4成等比数列

D.数列弓+%+/,%+%+&,%+4+。9成等比数列

TT

10.函数/(x)=Asin(s+e)(0>0,0<。<乃),力>)图像一个最高点是A(§,2),距离点/最

TT

近的对称中心坐标为(7,0),则下列说法正确的有()

4

A.。的值是6

TTTT

B.xe(-二,/)时,函数/(x)单调递增

1212

13乃

C.x=时函数"X)图像的一条对称轴

12

D.Ax)的图像向左平移。(。>0)个单位后得到g(x)图像,若g(元)是偶函数,则。的最小

值是g

6

11.已知函数无),g(x)的定义域均为R,它们的导函数分别为((无),g'(x).若—1)

是奇函数,g'(x)=cos(G),/(%)与8(尤)图象的交点为(孙川,(如明),…,(为“,%,),

则()

A.f(x)的图象关于点(TO)对称B.尸⑺的图象关于直线x=l对称

c.g(x)的图象关于直线X=g对称D.Z(x,+M)=7”

i=\

12.已知正四面体/腼的棱长为2拒,其外接球的球心为"点£满意4E=XAB(O<4<1),

CF=juCD(O<〃<1),过点£作平面«平行于/C和BD,平面a分别与该正四面体的棱BC,CD,

49相交于点四G,H,则()

A.四边形砌组的周长为是改变的

64

B.四棱锥A-的体积的最大值为

781T

C.当2=1时,平面a截球。所得截面的周长为叵兀

42

14

D.当4=〃=万时,将正四面体/及力绕斯旋转90。后与原四面体的公共部分体积为1

三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

13.已知i为虚数单位,且复数z满意:z.i=l-2i,则复数z的模为.

14.若直线心2x+ay-2=0与直线小尤-y+a=0平行,则直线人与4之间的距离为

15.已知曲在尤=1处的切线与直线》u+y+2=0垂直,则实数机=.

16.有一张面积为8近的矩形纸片A5cD,其中。为AB的中点,为8的中点,将矩形

ABC。绕。«旋转得到圆柱。Q,如图所示,若点M为8C的中点,直线AM与底面圆。所

成角的正切值为正,跖为圆柱的一条母线(与AD,BC不重合),则当三棱锥

4

的体积取最大值时,三棱锥A-■/外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.已知函数f(x)=cosx(sin,r-A/3COSX)(XeR).

⑴求〃力的最小正周期和单调增区间;

⑵在ABC中,角A,3,C的对边分别为a,6,c.若(。=_字b=6,求ABC的面积的

最大值.

13

18.在①S"=”2+]“+/;②%=3,4,4,%成等比数列;③2s.=片+%-2;这三个条件中

任选一个,补充在下面试题的空格处中并作答.

已知{%}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前〃项和为乂,且___________.

(1)求数列{%}的通项公式;

(2)定义在数列{4}中,使Iog3(%+1)为整数的叫做“调和数”,求在区间[1,2024]内全部

“调和数”之和

19.如图所示,在三棱锥/-比》中,已知平面平面BCD,且BD=®AD=6,AB=2叵,

BCLAC.

(1)证明:兆工平面4①;

⑵若点尸为棱"的中点,AE=2EF,且CD=6,求平面

。应与平面夹角的余弦值.

20.如图,半径为1的光滑圆形轨道圆。।、圆5外切于点M,点”是直线°02与圆02的交点,

在圆形轨道。I、圆。2上各有一个运动质点P,Q同时分别从点"、”起先逆时针绕轨道做匀

速圆周运动,点尸,Q运动的角速度之比为2:1,设点。转动的角度为6,以。为原点,。。2

为x轴建立平面直角坐标系.

(1)若6为锐角且sin(6-=求尸、Q的坐标;

⑵求|尸。|的最大值.

21.定义椭圆+4=1(。>6>0)的''蒙日圆”的方程为炉+12=/+廿,已知椭圆c的长轴

ab

长为4,离心率为e=1.

(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”£的方程;

⑵过“蒙日圆”£上的随意一点〃作椭圆C的一条切线M4,4为切点,延长协与“蒙日圆”£

交于点。,。为坐标原点,若直线隔切的斜率存在,且分别设为勺,&,证明:4•融为定值.

22.已知函数/(x)=2e*sinx-冰.(e是自然对数的底数)

(1)若。=0,求/(%)的单调区间;

⑵若0<。<6,试探讨AM在(0,万)上的零点个数.(参考数据:一々4.8)

数学试卷参考答案

1.B2.C3.A4.A5.A6.C7.B8.C

解:设/(x)=x-sinx,x>0,则/(x)=l-cosx上。(不恒为零),

故在(0,+刈上为增函数,故/(x)>/(0)=0,

所以x>sinx,故y>siny在(0,+oo)上恒成立,所以x+lnx<e>+y=e,+lne1

但g(x)=x+lnx为(0,+8)上为增函数,故无<e》即lnx<y,所以C成立,D错误.

取了=€,考虑l+e=e>+siny的解,若yNe+1,贝ije,26叩>5>e+221+e-siny,冲突,

故y<e+l即y-尤<1,此时ln(y-x)<0,故B错误.

取y=l,考虑尤+lnx=e+sinl,若x42,贝ljx+ln尤V2+ln2<3<e+,<e+sinl,冲突,

2

故x>2,此时此时ln(x-y)>0,故A错误,

故选:C.

9.BD10.AD11.BC12.BD

【详解】对于边长为2的正方体ABCR-4台£。,则/颇为棱长为2&的正四面体,则球心

。即为正方体的中心,连接g2,设ACI42=N

,/BB,DD-8旦=。2,则B8QD为平行四边形二3。用2,

又,:BD平面。,四,①平面a,,BQ平面a,

XVAC,平面1,ACIB,D,=N,AC,耳D/平面ABCQ,.•.平面a平面A耳CQ,

对A:如图1,

•.•平面a;平面ABC",平面a「,平面ABC=EM,平面AgCp一平面ABC=AC,

:.EMAC,则生=二=1一X,即£河=(1—X)AC=2夜(1一九),

ACAB

同理可得:HEGMB、D\,HE=GM=2应九,EMGHAC,EM=GH=26(1-入),

二四边形包侬的周长L=EM+MG+G//+EH=4A6(定值),A错误;

对B:如图1,由A可知:HEGMBR,HE=GM=2A/2A-EMGHAC,

EM=GH=2A/2(1-2),

•.•ABCA为正方形,则AC,4A,为矩形,

依据平行可得:点4到平面。的距离[=4明=22,

故四棱锥A-EMGH的体积V=;x2Xx2仞义2&(1一#=T(3一分),则V'=g2(2-3彳),

VO<A<1,则当0<4<]时,则S>0,V在[0,§J上单调递增,当]<2<1时,则V'<0,V

在[jl[上单调递减,.•.当2=|时,V取到最大值栋,

故四棱锥A-EMG"的体积的最大值为暮,B正确;

对C:正四面体4以力的外接球即为正方体A8|CR-A8G。的外接球,其半径R=G,

设平面0截球。所得截面的圆心为a,半径为厂,当力=:时,则oq=;,

VOO;+r2=R2,则产一oo:=誓,

,平面a截球。所得截面的周长为2“=而n,C错误;

对D:如图2,将正四面体四(力绕环旋转90。后得到正四面体ABiGS,设

A.IAD=P,AiCtIBD=K,BiClIBC=Q,BRIAC=N,

2=〃=g,则E,F,P,Q,K,N分别为各面的中心,

...两个正四面体的公共部分为跳PQKN,为两个全等的正四棱锥组合而成,

依据正方体可得:EP=M,正四棱锥K-PE。尸的高为:44,=1,

故公共部分的体积V=2匕^即/=2xgxlx0x0=:,D正确;

故选:BD.

解:设圆柱的高为〃,底面半径为,,贝I2历=80,即所=4点.

因为直线■与底面圆。所成角的正切值为手,所以"手,即9叵

rh=4母

.连接BE,由题意得AELBE,AEVEF,

又BE「EF=E,所以A£_L平面闻所,而A£u平面A£下,所以平面AER_L平面ME/.

过点“作MN_L跖于点N,则MN_L平面A£户.

设AE=a,BE=b,则1+62=16,

a+b

于是三棱锥A-£W的体积匕EFM=-x-a^2^/2xb=—ab<—x~=^-,

EM323323

当且仅当a=b=20时取等号,

设此时三棱锥A-£W外接球的球心到平面AEF的距离为x,外接球半径为R,

则1+4=2+(2行-x『,解得才二手,于是氏2=『+4=|+4=%,

所以当三棱锥A-EFM的体积取最大值时,

三棱锥A—EFM外接球的表面积S=4兀R~=—n.故答案为:—兀.

22

17.解:(1)/(x)=cosxsinx-^/3cos2x=^sin2x-A/3x+C°S

cos2x-JmD-g・・・/(尤)的周期T=7l,

=lsin2v_V3

222I2

JIjijijIj।

由---F2far<2x<—+2kn,kwZ,得----\-kn<x<---卜hi,keZ

2321212

兀5兀

所以/(X)的单调递增区间是kn-—,hi+—,kez.

(2)==gpsin^--|^=0,又Be(0,兀),二8=三,

,上=」=上=,=4若

由正弦定理有sinAsinCsin3sin三'

SAABC=—acsinB=—•4V3sinA•4括sinCsinB=12V3sinAsinC

=12A/3sinAsinf—7i-A|=12V3sinAcosA+—sinA=18sinAcosA+6gsin2A

=9sin2A+6gxi°s2A=6石sin[2A-工]+3出

•••3』=9』,

当2A-=g,即A=g时取得最大值.

623

另解:卜in[--*-*即sin(B-])=O,又3«0,兀),:.2=三,

由弦定知:〃=Q2+c2-2QCCOS836=Q2+—2QCCOS—=a?+c2—etcN2ac—ac—cic,

3

即ac<36,当且仅当a=c=6时,等号成立.

AS.ARC=—acsinB=^-ac<9A/3,・,•当a=c=6时,(S=96.

△A6C24V''^max

i3

18.解:(1)选①解:因为5〃=/九之+^^十^,所以当〃=1时,"I=S]=2+£,

]3(13)

当〃22,时=S“一S"_1=不〃2+-n+Z--(^-l)2+-(n-l)+r="+],

乙乙\乙乙J

因为{%}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,所以f=0,an=n+l.

选②解:因为对外,%成等比数列,所以解=%•%,

因为{为}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,设其公差为d,

a=a+d=3[勾=2,、

所以](q2+2x"j.(q+6d)'所以口=1'所以%i+(〃T)dr+L

选③解:因为23〃=%+〃〃—2,所以当九=1时,2s1=aj+4-2.

所以。;一%-2=0,所以〃1=2或4=-1,

因为{%}是各项均为正数的等差数列,所以。1=2,

又当z?=2时,2s2=Q;+%—2,所以2(%+%)=〃;+2—2,所以2(2+g)=♦;+2—2,

所以蜡一%-6=0,所以2=3或〃2=-2(舍去),

其公差1=%-4=1,所以%=4+(〃—l)d=〃+l.

(2)设b=log3(a“+l),所以。〃=3、-1,令1功42022,且6为整数,

6767

又由log33=l,log33=729,log33=2187,log33<2022<log33,

所以6可以取1,2,3,4,5,6,此时为分别为3,一次一13-1,3,-13-13-1,

所以区间[1,2024]内全部“调和数”之和

2345623456

Tn=(3'-1)+(3-l)+(3-l)+(3-l)+(3-l)+(3-1)=(3*+3+3+3+3+3)-6

U.6=1。86.

1-3

19.⑴证明:由条件可得%>2+A£>2=Afi2,所以4?_L劭.

因为平面/应LL平面及刀,平面力劭n平面及力=初,

所以儿LL平面及所以4LL及7.XBCLAC,AC^AD=A,所以比人平面4az

⑵解:因为及?_L平面/切,所以员工".所以叱目.

以「为坐标原点,直线CD,"分别为x,y轴,过点,且垂直于平面版的直线为z轴建立如图

所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),。(括,0,0),2(0,石,0),A(A/3,0,^2),F0,-^-,0,E

\7\/

-~,­Q--o-1,

则cr)=(若,0,0),CE=

I355

n-CD==0

设平面建的法向量为H=(%y,z),则73V3V2

n•CE=——x+-^―yH-----z=0

I333

取>=&,贝i」〃=(O,0,-®

A5=(一0,6,-啦),AD=(0,0,-行),设平面ABD的一个法向量为m=(a,b,c),

m•AD=-A/2C=0

取a=l,次=(1,1,0),

m-AB=-A/3(2+A/3Z?-后c=0

设平面67处与平而/初的夹角为夕,.

EI八I/\i\m'n\V2A/5

贝!Jcos0=cos(m,力=-----=—f=——尸=——

1'〃|m||H|75x725

故平面。阳与平而/必的夹角的余弦为好.

5

20.解:(1)因为,为锐角,所以夕一

因为sin[e_四]=走,所以cos(e」]=Jl_sin21e_2]=仁二=述,

I4)10I4)丫4Jv10010

所以sin6=sin[0-^\+—=^-x^-+x^-=—,所以cos。=J1-sin>。,

4j4j10210255

247(1341(724

所以sin2e=2sin6cose=—,cos20=2cos20-1=----,所以。一,P\----,一

252515I2525.

(2)因为点尸,Q分别运动的角速度之比为2:1,

所以当点。转动的角度为。时,P转动角度为26,

因此尸(cos26,sin2。),2(2+cos0,sin^).|°尸「=(cos2夕一cos夕一+(sin26—sin。)?

=cos220+cos28+4—2cos26cos0-4cos28+4cos^+sin22^+sin20-2sin20sin0

=6-2(cos2。cos0+sin20sin一4cos26+4cos6=6—4cos29+2cos0

=—8cos28+2cose+io,

所以当cos6=g时,|尸0『取得最大值一j+2x"+10=£,所以|PQ|的最大值为尊.

「1丫2、,

21.解:(1)由题意知2a=4,e=—=;;.•.,=:!,〃=3,故椭圆的方程土+匕=1,

a243

“蒙日圆”E的方程为尤2+/=4+3=7,即尤?+丁=7

(2)当切线M4的斜率存在且不为零时,设切线的方程为1=辰+机,则

y=kx+m

由y2,消去y得(3+4灯d+8"依+4帆2-12=°

,T+T-

A=64%*-4(3+4/)(4疗-12)=0I=3+4/,

由,消去y得(1+/)/+2mkx+m2-7=0

A=4用标—40+左2)(m2_7)=16+12左2>0

设产区,%),Q(X2,必),贝I]占+々=3^,占尤2=贮?,

1+k21+k2

72加之一71…-2mk।…2

22m2+m2

%%_(句+m)(H2+m)_kxlx2+km(xi+x2)+m_五产+\+k_府一7k

[八22r72r7

XyX2XjX2XjX27/i-zm-7

1+k2

,,而一7心3+4k2-Ik23

.m2=3+4左2,kK=——;----=------、---=—,

-m2-73+4

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