二项分布 (典型题型归类训练)（解析版）-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题01二项分布（典型题型归类训练）

一、必备秘籍

1、伯努利试验与二项分布

〃重伯努利试验的定义

①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

②将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.

2、二项分布

一般地，在及重伯努利试验中，设每次试验中事件Z发生的概率为夕（0<0<1）,

用X表示事件Z发生的次数，则X的分布列为P（X=Q=Cf/（l—"=0」,2,…〃）

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomialdistribution）,

记作X〜

事件N发生的概率

事件/发生的概率/

汽X=k）=C：•〃。・（［］一"）1（其中4=0,］2・・・斯）

试监总次数事件/发生的次数

二、典型题型

题型一：利用二项分布求分布列

1.（2024•陕西榆林•统考一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛,

从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按［30,40）、［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、

［80,90］分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.

⑴请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格.从参

加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列及数学期望.

【答案】⑴68.3

(2)分布列见解析，E(X)=?

【分析】(1)将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出这100份

样本数据的平均值；

(2)由题意可知，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望公式可

求得£(X)的值.

【详解】([)解：由频率分布直方图可知，100份样本数据的平均值为

x=(35x0.005+45x0.010+55x0.010+65x0.020+75x0.032+85x0.023)x10=68.3.

3

(2)解：竞赛成绩不低于60分的频率为(0.020+0.032+0.023)x10=0.75=“

低于60分的频率为(0.005+0.010+0.010)x10=0.25=：.

1

由题意可知尸(x=0)=C；

1024

尸(X=l)=C：

P(X=2)=Cl45

[A)1024512

/1Y_270_135

P(X=3)=C；

-1024~512

1405243

尸(X=4)=C；x_—____尸(X=5)=C；

4-10241024

所以X的分布列为

X012345

11545135405243

P

1024102451251210241024

315

期望E(X)=5xa=T

2.(2024•广东中山•中山一中校考模拟预测)杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物"宸宸”，

"琮琮"，"莲莲"，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动

的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个"玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训

练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上

爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到

达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第〃

步台阶的概率为％(04〃V8),记。。=1.

⑴投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列；

(2)①求证:数列g-P,i}(1<»<7)是等比数列;

②求队员赢得吉祥物的概率.

【答案】(1)答案见解析

547

(2)①证明见解析；

21o7

【分析】(I)由题意可得爬一步台阶的概率为:2，爬两步台阶的概率为司1，列出随机变量X可能取值，求

出对应的概率，求出分布列即可；

(2)(i)由题意可得Pi-4=-;，分类讨论到达第〃步台阶的情况，求出对应的概率，进而

(〃=2,3,--,7),结合等比数列的定义即可证明；(ii)由(i),根据等比数列

的通项公式可得利用累加法求得"=泊，(〃=1,2,…,7)

令〃=8计算即可求

解.

21

【详解】(1)由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为:，爬两步台阶的概率为:，

所以随机变量X可能取值为4,5,6,7,8,

1630Y

可得尸(X=4)=尸(X=5)=C；x

尸(X=6)心电《Ijd，尸(X=7)=C：《)3X|哈

1

P（X=8）=

81

所以X的分布列:

X45678

16322481

P

8181818181

(2)(i)证明：n=l,即爬一步台阶，是第1次掷骰子,

21

向上点数不是3的倍数概率贝1]百-4=-]

到达第〃步台阶有两种情况:

①前一轮爬到第〃-2步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为;0一，

②前一轮爬到第n-l步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为

17

所以％2+§P,i("=2,3,…,7),

则。=一!(。"一1一。"2)(«=2,3,---,7),

所以数列｛%-外/(〃=1,2/-,7)是首项为-；，公比为一;的等比数列.

(ii)因为数歹是首项为-g,公比为的等比数列，

所以p“_p〃-1,所以“一夕0=_],P2~Pi,…'p“_p〃-,

各式相加，得：P「Po=_；1—，所以(题=1,2,…,7),

所以活动参与者得到纪念品的概率为

113116547

Ps=-P6=-x—+—x

4432187

3.(2024・全国•模拟预测)网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球

运动员提高自己的耐力.耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式.某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开

了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练.由训练计划知,

在封闭集训期间，若运动员第〃(八£N*,〃489)天进行有氧训练，则第〃+1天进行有氧训练的概率为■!，第

47

〃+1天进行无氧训练的概率为若运动员第〃天进行无氧训练，则第〃+1天进行有氧训练的概率为3,第

〃+1天进行无氧训练的概率为:,若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等.

⑴封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X,求X的分布列与数学期望；

⑵封闭集训期间，记某运动员第〃天进行有氧训练的概率为月，求

【答案】⑴分布列见解析，2

m1(2Y37

33⑺11

【分析】(1)分别求出运动员第2天进行有氧训练与无氧训练的概率，判断X服从二项分布并求概率，列

分布列，求数学期望；

(2)求/月的递推关系，构造数列［匕,一并证其为等比数列，利用等比数列的通项公式求结果.

【详解】(1)设运动员第2天进行有氧训练为事件第2天进行无氧训练为事件N,

­彳、1517122…八141231

则P(M)=—x—+—x—=——=—,P(N)=—x—+—x—,

2929183292993

所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数X〜,可知X=0,1,2,3,

贝ljP(X=0)=—,P(X=1)=C'x-x

2733I

尸-2)=需"=3)=88

27

所以X的分布列为

5727

⑵依题意可得心产7>3+(1-耳>5,即4用=一34+3(”eN*,且"489).

72，7、717

则心FFWFJUN*,且整89),且々-nF=-药"

所以数列［勺-:)是首项为-,，公比为-|的等比数列，

37

所以45=-——X+—=

2211

4.(2024•四川绵阳•统考二模)绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门

票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：

喜欢旅游不喜欢旅游总计

男性203050

女性302050

总计5050100

⑴能否有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关？

(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为乙求J的分

布列与数学期望.

n(ad-bcf

(a+b)(c+(/)(«+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关

4

(2)分布列见解析，£(,=]

【分析】(1)将表中数据代入K2的计算公式并将计算结果与3.841比较大小，由此可知结果；

(2)根据条件判断出J：然后计算出J在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求

%).

【详解】(1)因为K2J°°x(2°x20-30x30)2=4>3,841

50x50x50x50

所以有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关.

202

(2)由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为三,

由题意可知：4：台上，1；J的可能取值为0,1,2.

所以尸(八。)=当[1一|。1]=/

尸…心陋卜弓堞,

所以4的分布列为:

012

9124

P

252525

aio44?4

^^E(^)=Ox—+lx—+2x—=-(或者E(J)=2x、=三).

乙J乙J乙JJJJ

题型二：服从二项分布的随机变量概率最大问题

1.（2024•云南昆明•统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.

当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测

试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%,若出现语法错误，则应答被采纳的概

率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

⑴求一个问题的应答被采纳的概率；

（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X,

事件丫=上"=0,1,…,8）的概率为尸（X=左），求当尸（X=口最大时左的值.

【答案】（1）0.75

（2）6

【分析】（1）根据全概率公式即可求解，

（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.

【详解】（］）记"输入的问题没有语法错误"为事件A,"一次应答被采纳"为事件8,

由题意尸（N）=0.1,尸（叫工）=0.8,尸（8同=0.3,则

P(N)=l-P(1)=0.9,

尸(2)=尸(/B)+尸(1B)=尸(Z)尸+尸0.9x0.8+0.1x0.3=0.75.

(2)依题意，X~3(8,玄，P(X=fc)=C*(|)*(l)8-\

P(X=k)>P(X=k+l),

当尸（X=口最大时，有＜

P(X=k)>P(X=k-l),

上eN,

44

故当「（丫=左）最大时，k=6.

2.（2024•江西•校联考模拟预测）近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业

态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为"喜欢网上

买菜"，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区市民网上

买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示:

喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计

年龄不超过45岁的市民401050

年龄超过45岁的市民203050

合计6040100

⑴是否有99.9%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？

(2)M社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从A,8两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.

4

如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为二；如果周一选择B平台买菜，那么周二选

择8平台买菜的概率为:，求李华周二选择平台B买菜的概率；

⑶用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X,事件

"X=左”的概率为尸(X=k),求使=k)取得最大值时的左的值.

2

2n^ad—bc\

参考公式:”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中〃=a+b+c+d.

P(K…)0.10.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴有99.9%的把握认为"社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.

(3)12

【分析】(1)根据题意，计算出/的值即可求解;

(2)根据概率的乘法公式求解；

(3)利用二项分布求出尸(X=左)，然后计算，可得结果.

【详解】(1)零假设4：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，

由题可得，

n[ad-bcy100x(40x30-10x20)?

r2=------r—y——-----r=----------------------46.667510.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x50x60x40

所以零假设不成立，

所以有99.9%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.

(2)周二选择3平台买菜的情况有：

①周一选择A平台买菜，周二选择B平台买菜，概率为耳=；x（l-g）=£,

②周一选择3平台买菜，周二选择B平台买菜，概率为月=gx（l

13

所以李华周二选择平台B买菜的概率为片+£=茄.

（3）由表知，喜欢网上买菜的频率为，泉=|,则X：^（20,1）,

所以P（X=左）x]|]（"=0,1,2,L,20）.

设,…3；g

又一…

令,=3（21：笈）＞],解得无＜12.6,P（x=k）＞P（x=k-l）；

2k

/=3（2i）＜],解得上＞12.6,P（x=k）＜P（x=k-D

2k

所以当上=12时，P（以=人）最大,

所以使尸（X=L）取得最大值时的无的值为12.

3.（2023•贵州贵阳•校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒

拒毒意识"，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录"禁毒知识竞赛/PP',参加各种学

习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1

个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效

局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名

的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后18局是无效

局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分,2分,1分的概

率分别为！，；，]，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为!，4，

⑴设小明每天获得的得分为X,求X的分布列和数学期望；

（2）若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为每局是否赢得

比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

13

【答案】⑴分布列答案见解析，数学期望：v

⑵在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大

【分析】（]）记事件4«=1,2,3）表示第一局获得i分，事件4«=1,2）表示第二局获得i分，X的可能值为

5,4,3,2,根据事件相互独立求出X的分布列、数学期望；

（2）设小工每天赢得的局数为y,则y〜从而得到关于左的不等式组，解之即可得解.

【详解】（1）记事件4«=1,2,3）表示第一局获得i分，事件瓦«=1,2）表示第二局获得i分，

这些事件相互独立，由条件知X的可能值为5,4,3,2.

P（X=5）=尸（4与）=尸（4）p（与）=。X<=［；

4410

P（^=4）=JP（451）+JP（452）=1X|+1X1=A;

13117

P(X=3)=P(A2Bi)^P(AiB2)=-x-+-x-=-

133

P-㈤干广正

则其分布列为

X5432

1573

P

16161616

厂八八l1“5_7_35213

以E(X)—5x----F4x----F3x-----F2x—二—二—

16161616164

（2）设小明每天赢得的局数为Y,则易知y〜台120,；

假设赢得先局的概率最大，则据条件得

」1>12

整理得］1721

解之得

.20^14-1+14

又因为左eZ,所以左=5,

因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.

4.（2023•广东广州・统考模拟预测）某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有

水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问

了100人，访问结果如下表所示.

使用人数未使用人数

女性顾客4020

男性顾客2020

（1）从被访问的100人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率;

（2）用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为X,问

位=0,1,2,…,10）为何值时，尸（X=k）的值最大？

【答案】（1）晨

163

（2）左=6

【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由二项分布的概率计算公式列出式子，然后即可得到其最大值.

【详解】（］）设事件A为"从被访问的100人中随机抽取2名，所抽取的都是女性顾客且使用该软件"，从

被访问的人中随机抽取名，共有个基本事件，事件共有个基本事件，

1002AC^o

则尸⑷卷喂

（2）由题意，X服从二项分布，且使用该软件的概率为需=g

k10-*

32

所以尸(X=左)=Cf°x\XI(左=0,1,2,…,10).

5

IOHI

3

p(x=k)c'°xX

t]，

设公西Rf—k-\L0,12,…,10).

3、2K

jox|IX

若/＞1,则左＜6.6,尸（X=左）＞尸（X=左一1）；

若，＜1,贝!］，＞6.6,尸（X=左）〈尸=

所以左=6时，尸（X）最大.

题型三：建立二项分布模型解决实际问题

1.（2023•全国•模拟预测）5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创

企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片

的次品率为1.5%,且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测

方法：

方法1：对10000个芯片逐一进行检测.

方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片

组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测.

⑴按方法2,求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；

（2）从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.

参考数据：0.985晨0.8861,0.985晨0.8728,0.98510«0.8597.

【答案】（1）0.1309

⑵方法2较好，理由见解析

【分析】（］）由题意根据二项分布的概率公式直接计算即可.

（2）对于方法一，其检测次数为10000,对于方法二，分析得出每组芯片需要被检测的X次数的所有可能

取值为1,11,分别求出尸（X=1）,P（X=11）,再结合均值公式即可得解，比较大小即可判断.

【详解】（1）因为每个芯片是否为次品相互独立，

所以所求概率P=C；°X0.015X（1_0.015）9=0.15X0.9859«0.1309.

（2）方法1的检测次数为10000.

方法2：对于某组芯片，如果进行一次检测且通过，那么对这10个芯片只检测1次；

如果检测不通过，那么需对这10个芯片再逐一进行检测，这时共需进行11次检测.

每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1,11,

且若一组芯片均为正品，则X=l;若含有次品，则X=ll.

因止匕p（X=l）=0.985i°70.8597.

jp（X=ll）=l-P（X=1）«0.1403,

所以E（X）=1x0.8597+11x0.1403=2.403,

所以1000组芯片的检验次数的均值为1000x2.403=2403.

因此方法2较好.

2.（2023•山东烟台•统考二模）某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样

方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm）得到如下统计表，其中尺寸位于［55,58）的

零件为一等品，位于［54,55）和［58,59）的零件为二等品，否则零件为三等品.

生产线[53,54][54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]

甲49232824102

乙214151716151

⑴完成2x2列联表，依据e=0.05的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联?

一等品非一等品

甲

乙

（2）将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以4表

示这4个零件中一等品的数量，求J的分布列和数学期望£仁）;

⑶已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行

检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执

行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三

等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为

决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

n(ad-咐

2=其中n=a+b+c+d；■^o.os=3.841.

(a+6)(c+”Xa+c)3+4)

【答案】⑴填表见解析；可以认为零件是否为一等品与生产线有关联

（2）分布列见解析；期望为言

⑶应对剩下零件进行检验，理由见解析

【分析】（1）由表格填写列联表，计算卡方，与3.841比较后得到结论;

（2）首先计算出任取一个甲生产线零件为一等品和任取一个乙生产线零件为一等品的概率，求出J的可能

取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；

（3）设余下的50个零件中的三等品个数为X,求出£（X）,再设检验费用与赔偿费用之

和为匕得到y=10x5+120X,求出£（¥）=350,计算出若对余下的所有零件进行检验，则检验费用

60x5=300元，比较后得到结论.

【详解】（1）由题意得列联表如下:

因为4.621>3.841=，依据小概率值a=0.05的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关

联.

⑵由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为土『q,任取一个乙生产线零件为一等品的

15+17+163

概率为

805

J的所有可能取值为0,1,2,3,4.

11224

P(^=0)=-x-x-x-=——,

4455400

2

i321:36

P(^=l)=C^x-x-x

52554400

2222

3213117

尸6=2)=x+x+Cjxlx-xCx|x|

4545244400

2

33i2162

尸6=3)=xC；

42552445400

2

33I281

尸e=4)=x

454005

所以《的分布列为

401234

43611716281

P

400400400400400

三+当+风上

£0=0x4+lx2xm+3x4x

40040040040040010

4+2+2+11

（3）由已知，每个零件为三等品的频率为

180--20)

设余下的50个零件中的三等品个数为X,则X,

所以£（8）=50':=?

设检验费用与赔偿费用之和为Y,

若不对余下的所有零件进行检验，则丫=10x5+120X,

£（丫）=50+120xE（X）=50+120x|=350.

若对余下的所有零件进行检验，则总检验费用为60x5=300元.

因为350>300,所以应对剩下零件进行检验.

3.（2023•河北张家口•统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱

500个.

⑴若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱

存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成2x2列联表，并

依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为"有不合格品"与"设备"有关联？

单位：箱

是否有不合格品

无不合格品有不合格品合计

设备

新

旧

合计

（2）若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱口罩中任取

20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验.设每个口罩为不合格品的概率都为

P（O<P<1）,且各口罩是否为不合格品相互独立.记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为求〃0）

最大时〃的值。。.

⑶现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的为作为〃的值.已知每个口罩的

检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用.以检验

费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？

附表：

a0.1000.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

附._____加d-be)?_______其中

-a+b+c+d

•(Q+b)(c+d)(a+c)3+d)、

【答案】⑴填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联

⑶应该对余下的480个口罩进行检验

【分析】（1）根据题中的条件可填写2x2列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判

断出关联性；

（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为了（p）的表达式，利用求

导方法解出的最大时的P;

（3）先设y表示余下的480件产品中不合格品的数量，y符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用

与赔偿费用的和记为x,找出x、y的等式关系，即可求出y,进而判断结果.

【详解】(1)解:单位：箱

是否有不合格品

无不合格品有不合格品合计

设备

新9010100

旧7525100

合计16535200

零假设为有不合格品与新旧设备无关联.

由列联表可知/的观测值

2n(ad-be/200x(90x25-10x75)2

r=---------------=--------------®7.792>6.635=x,

{a+b\c+d\a+c\b+d)100x100x165x350n0n1l

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断

犯错误的概率不大于0.01.

(2)由题意，得/(p)=C；oP"l-0。

则HP)=CL[3/(l-rt17-17^(l-rt16]=以。2(i_(3_20。)，

216

4f'(P)=C[0p(1-p)(3-2Qp)=0,又0<”1,得PJ.

当Pe1O，*1寸，f'(P)>Q，当时，f'(P)<0,

3

所以/(2)最大时夕的值“)=：.

3

(3)由(2)矢口夕=三.

设Y表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知Y〜B[480,京)，

3

所以£(y)=480x、=72.

若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,则X=0.2x20+5y,

所以E(X)=0.2x20+5xE(Y)=364.

如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为0.2x500=100(元).

364远大于100,所以应该对余下的480个口罩进行检验.

4.(2023•全国•东北师大附中校联考模拟预测)调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问

题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的

真实情况，现利用"随机化选答抽样"方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球

和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答"你的性别是否为

男性？"如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是"或"否"回答.

⑴共收取调查问卷100份，其中答案为"是"的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，己知

该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；

(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出

两个有待改进的问题.

(i)若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决

定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为:，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问

题，求某个问题能够被解决的概率P。；

(ii)假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为外，并且都相互独立.物业每解决一

个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%,试估计至少要访谈多少位

业主？

3

【答案】⑴"人

(2)(i)—：(ii)至少要访谈48位业主

81

【分析】(1)根据红球与白球的个数比例以及问卷调查的情况，通过比例求解即可；

(2)(i)由每位代表投赞同票的概率均为;，且方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，根据二项分布

的概率公式运算求解即可；

(ii)由(1)知，该小区业主对物业工作满意的概率为一3,要使满意度提高到80%,可设设至少要访谈〃位

业主，列出关于〃的不等式，解不等式即可.

【详解】(1)记：事件"业主对物业工作表示满意”，则尸(/)xg+gx；=?^=尸(/)=；,

3

所以'500xr375（人）’

故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人;

(2)(i)由己知得，每位代表投赞同票的概率均为:，

方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以《=仁("02+＜；]41+仁,]=那,

17

故某个问题能够被解决的概率々=£；

O1

3

(ii)设至少要访谈〃位业主，由(工)知，该小区业主对物业工作满意的概率为

要使业主满意的比例提高到80%,则有

x2>fso%—L100^>n>—°47£

4J81I4j17

故至少要访谈48位业主.

三、专项训练

1.(2023•湖南永州•统考二模)在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道

题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立.已知甲、乙两

人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为g.

⑴若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量X,求X的分布列与期望；

(2)若甲参加了2M〃eN*)局禁毒知识挑战赛，乙参加了2〃+2,eN*)局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识

挑战赛中获得的总分大于4〃的概率为0,乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于4〃+4的概率为。2,证明:

Pi<P2-

【答案】⑴分布列见解析；6

(2)证明见解析

【分析】(1)确定随机变量X的可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得期望；

(2)设在甲参加了的2〃(〃eN*)局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为匕可得y>〃，由此求出百的表达

式没利用作差法，即可证明结论.

【详解】(1)依题意可得，随机变量Xe{3,5,7,9},

设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为尸，则尸=；，

P(X=7)=C；［£|=|,尸(X=9)=

故X的分布列为:

(2)证明：设在甲参加了的2〃(〃eN*)局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为匕

则所获总分为3丫+(2〃-y)=2Y+2〃，若2y+2〃>4〃，则Y>〃,

则口=尸(y>〃)，因为MY>")=。(丫<〃)，

2n

1-c

故i-p（y=«）_^I，同理可得

Pl=

22

则p「Pz=c黑2_c，“）

（2"+2）!（2"）!

（2）4（M+1）!（M+1）!n\n\n\

_n『+i（2”）![（2〃+2）（2〃+1）-4（〃+1）2]

一⑴4（??+l）!（n+l）!

（2〃）!（一2~2）4

⑸4（«+1）!（«+1）!

故Pl<P2-

2.（2024•广东广州•广州市培正中学校考二模）某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备

了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有"奖"字.

⑴采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有"奖"字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；

（2）采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有"奖"字卡片的条件下，第三次抽到未印

有"奖"字卡片的概率.

Q1Q

【答案】⑴分布列答案见解析,E（X）=-,D{X）=—

呜

【分析】（I）分析可知，X〜由二项分布可得出X的分布列，利用二项分布的期望和方差公式

可得出X的期望和方差;

（2）记事件/:第一次抽到印有"奖"字卡片，事件8:第三次抽到未印有"奖"字卡片，计算出尸（4）、P[AB）

的值，利用条件概率公式可求得尸（8⑷的值，即为所求.

【详解】（[）解：由题意可知，X〜8（3,1

则p（x=o）=

2■53）=

尸（X=2）=c]

5

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X0123

8365427

P

125125125125

aq12

所以，E（X）=3x《=『£>（^）=3xjx-=—.

（2）解：记事件/:第一次抽到印有"奖"字卡片，事件3:第三次抽到未印有"奖"字卡片,

则尸⑷43,尸（码=空4

1UJAo15,

由条件概率公式可得尸（z叫./