山东省青岛市2024年高三年级第三次适应性检测考试数学试卷(附答案)

2024年高三年级第三次适应性检测

数学试彳2024.05

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改

动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知复数z满足*=i，则元的虚部为

1—1

A.-iB.iC.-1D.1

2.已知命题/VzC（0,£,sinx<x,则”

A.三>图(0,,sinx>xB.3xG07T,sinx>x

7T

C.mC(0,,sinx>xD.BxE0,sinx>x

3.为了得到y=sin2x+COS2H的图象，只耍把丫=V2COS2J:的图象上所有的点

A.向右平行移动f个单位长度B.向左平行移动f个单位长度

OO

C.向右平行移动f个单位长度D.向左平行移动f个单位长度

4.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布

N（100,，），已知P（90VX&100）=0.1,则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为

A.784B.490C.392D.294

5.定义[x]表示不超过工的最大整数.例如:口.2]=1,=—2,则

A.[x]+[y]=[z+y]B.Vn6Z[x+n]=[x]+n

C.f（£）=x—[x]是偶函数D.f（x）=z—[工]是增函数

6.在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则

该几何体的表面积为

A.337rB.397VC.487VD.577r

高三数学试题第1页（共4页）

7.已知函数f(z)=(二一2工)•(e-+ej),则满足不等式f(2z)Vf(4)的支取值范围为

A.(-oo,2)B.(-1,2)C.(2,+oo)D.(1,2)

22

8.已知O为坐标原点，椭圆E言+表•=l(a>b>0)的左,右焦点分别为H，F2,左、右顶点分

别为A,B,焦距为2c,以k版直径的圆与椭圆E在第一和第三象限分别交于M,N两点,

且丽•届=%后砒,则椭圆E的离心率为

V3

B.V2

3

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.某新能源车厂家2015-2023年新能源电车的产量和销量数据如下表所示:

年份201520162017201820192020202120222023

产量(万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

销量(万台)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

A.m=18.7

B.2015—2023年该厂新能源电车的产销率与年份正相关

C.从2015-2023年中随机取1年,新能源电车产销率大于100%的概率为4

D.从2015—2023年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于m的条件下，这2

年中新能源电车的产销率都大于70%的概率为［

6

10.已知动点M,N分别在圆G：包一1)2+。-2)2=1和。2：3一3)2+6-4)2=3上，动点P在工

轴上，则

A.圆。2的半径为3

B.圆G和圆Cz相离

C.\PM\+|PN|的最小值为2V10

D.过点P做圆Ci的切线，则切线长最短为行

11.若有穷整数数列A”:外,。?，(心3)满足:乐］一q€{-1,2}(i=l,2,…，1-1),且％=a”

=0,则称A“具有性质T.则

A.存在具有性质下的A

B.存在具有性质丁的A5

C.若A】。具有性质丁，则%,&2,…，ag中至少有两项相同

D.存在正整数k,使得对任意具有性质T的AA,都有a1，a2,…，4_】中任意两项均不相同

高三数学试题第2页(共4页)

三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.

14.已知长方体ABCD-AWCiDi中，A3=2,3C=3,AAi=4,点P为矩形4用心】内一动

点，记二面角P-AD—B的平面角为a,直线PC与平面ABCD所成的角为3若a=3则三

棱锥P-BBiD】体积的最小值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(13分)

15.(13分)

设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(B+C)=2V3sin2^

(1)求角A的大小；

(2)若b=3,BC边上的高为为£。求△ABC的周长

16.(15分)

为了研究高三年级学生的性别和身高是否太于170cm的关联性，随机调查了某中学部分

高三年级的学生，整理得到如下列联表(单位:人)：

身高合计

性别

低于170cm不低于170cm

女14519

男81018

合计221537

(1)依据a=0.1的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？

(2)从身高不低于170cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数

为X,求X的分布列及期望E(X).

⑶若低于170cm的8名男生身高数据的平均数为至=166.5,方差为©=9,不低于170cm

的10名男生身高数据的平均数为5=180,方差为=18.请估计该中学男生身高数据的平均数

和方差.

附丁二_______:胸一次)2________

X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

*2.7063.8416.6357.87910.828

高三数学试题第3页(共4页)

17.（15分）

如图所示，多面体ABCDEF,底面ABCD是正方形，点O为底面的中心，点M为EF的中

点，侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形，EF=4,其余棱长均为2.

(1)证明：MOJ_平而ABCD;

(2)若点P在棱CE上,直线BP与平面ABM所成角的正弦值为缥&,求EP

E

C

18.(17分)

在平面内,若直线I将多边形分为两部分，多边形在I两侧的顶点到直线I的距离之和相等.则

称I为多边形的一条“等线”,已知O为坐标原点,双曲线E：4-4=l(a>0,6>0)的左、右焦

ab

点分别为Fl,F2,E的离心率为2.点P为E右支上一动点，直线机与曲线E相切于点P且与E的

渐近线交于A,B两点.当P&_L工轴时，直线y=l为△FEB的等线.

(1)求E的方程；

(2)若》=方工是四边形ARB第的等线，求四边形的面积；

⑶设前=得用,点G的轨迹为曲线「证明T在点G处的切线”为△耳总的等线

0

19.(17分)

已知0为坐标原点，曲线f(*)=aln上在点P(1,O)处的切线与曲线g(0=e*+b在点

Q(0,1+b)处的切线平行，且两切线间的距离为方，其中b>0.

(1)求实数a,b的值；

(2)若点M,N分别在曲线3-=f(0，y=g(©上，求NONP与ZOMQ之和的最大值；

(3)若点A,B在曲线y=f(z)上，点C,D在曲线y=g(0上,四边形ABCD为正方形，其面

积为S,证明:S>2(逐一/I

附:ln2«0.693.

高三数学试题第4页(共4页)

2024年高三年级第三次适应性检测

数学参考答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1-8:CDACBCBD

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.ACD10.BD11.ACD

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.105;13.f（x）=sin（—x+；14.,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(13分)

解：(1)因为a民。为△ZB。的内角，

所以sin(8+C)=sinA...................................................................................................1分

.2月1—cosA

因为snr^=--..........................................................................................................2分

22

1-AL

所以sin(8+C)=2j3sin?,可化为：sinA=V3(l-cosA)......................................3分

即sinJ+V3cosA=y/3................................................................................................4分

即2411（4+三）=石.........................................................5分

因为2+方6（三,与），解得：..........................................6分

（2）由三角形面积公式得,b-csin力=gx亚后a,所以a=gc........................9分

2272

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA^：c2+4c-12=0...........................................11分

解得：c=2或。=-6舍去

所以△力8C的周长为5+近................................................13分

16.（15分）

解：（1）根据列联表中的数据，经计算得到:

100x(15x35-5x45)2

Z2

«3.278>2.706=X。」3分

60x40x80x20

根据小概率值a=0.1的独立性检验，可以认为性别与身高有关联.................4分

（2）由题可知X的可能取值为0,1,2,3,

p（X=0）=4=%P（^=l）=^^-=—,

P（%=2）=^2-=—,尸（X=3）=与=Z,.............................................................8分

'，&9117991

数学评分标准第1页（共6页）

所以X的分布列为:

X0123

2445202

P9?9?9?9?

所以£(X)=0X24+1X45+2X20+3XA=I.

91919191

所以X的数学期望为1.......................................10分

-45

(3)由题，18名男生身高数据的平均数z=,xl66.5+§xl80=17411分

1810

18名男生身高数据的方差?=—[X(演-刃2+Z(»一刃2]

18/=!/=|

1810

=与2(菁一亍+x-z)2+£(y,.-y+7-z)2]

13/=11=i

1810

=-E(X,.-X)2+8(X-刃2+£(乂一歹)2+10(歹一书2]

13/=!/=!

42,25292

=-x[51+(X-Z)]+-x[52+(y-Z)]

=59

所以，该中学男生身高数据的平均数约为174,方差约为59...................15分

17.(15分)

解：(1)取力8,8中点K,。，连接FK,KQ,QE,则。为KQ的中点，

因为侧面力。即是等腰梯形，所以EF//AD,又KQ〃AD,所以KQ〃EF....1分

又FK=EQ,所以四边形EK0E为等腰梯形

因为点"为所的中点，所以所以MO_LK0.................................2分

因为A48产是等边三角形，所以AB上FK3分

又ABLKQ,所以48_L平面心0E...........

所以平面FKQE1平面ABCD................

故MO_L平面Z8C。.........................

(2)在梯形FKQE中，EF=4,KQ=2,

FK=EQ=C,由勾股定理得"0=0,

取8C中点N,由(1)知，OKQNQM

两两垂直，以。为原点，分别以OK,ON,。/

所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示

空间直角坐标系，....................8分

则。(0,0,0),M(0,0,V2),K(l,0,0),C(-l,l,0)

设平面ABM的法向员为n=(x,y,z),AB=(0,2,0),万7=(-1,1,0),

数学评分标准第2页(共6页)

n-AB=2y=0

则则令z=l,得〃=(五,0,1)..................10分

n-AM--x+y+y/2z=0

T^CP=/ICE(0<2<1),5P=5C+CP=5C+ACE=(-2-2,-A,厄).......12分

设直线BP与平面ABM所成角为e,

|2A/2|2四

所以sin。=|cos<n,BP>1=〃」14分

|明・|〃|73^4^+42+421

解得4=］（负值舍去），所以点尸为棱CE的中点，所以EP的长为1

15分

2

18.(17分)

r2

解：(1)由题意知尸(G—),耳(一c,0)，E(c,0),显然点P在直线丁=1的上方，

a

Z,2

因为直线y=l为△尸6名的等线，所以一一1=2,e=-=2,c2=a2+b2.......2分

aa

解得a=l,b=JJ,所以E的方程为x2-三=1.............................4分

(2)设PG。,％),切线加：=%(x-Xo),代入X?-得：

2222

(3-k)x+2k(kx0-y0)x-(kx^+y0-2kx0y0+3)=0,

所以A=[24(Ax。-%)F+4(3-/)(左2叶+y2_23。+3)=0,

2

该式可以看作关于k的一元二次方程(x0-l)V-2xoy.k++3=0,

所以卜=誓匕=—笔一="，即加方程为一冬=1（*）

/T（1+线）—1%3

当机斜率不存在时，也成立...................................................6分

渐近线方程为'=±△，不妨设力在5上方，

111

联立得--一

%一忑…忑%一忑*。+方

所以产是线段48的中点7分

因为月，入到过。的直线距离相等，则过。点的等线必满足：A,8到该等线距离相等

且分居两侧，所以该等线必过点P,即0尸的方程为丫=岳,

y=>/2x

由，d,解得：P®响.......................................9分

x2-^-=l

3

所以“底片*=七=33,

°6

数学评分标准第3页（共6页）

所以PB=~^XB=-----------=y/6-3,

x+久瓜/%

°V3

所以-%1=6,所以,88=gl片段•旧一为1=2旧一为1=12.........11分

(3)设G(x,y),由0G=；0尸，所以％=3x,%=3'，

故曲线「的方程为9x2-3/=l(x>0)....................................12分

由(*)知切线为〃为?x-普2=1,即x°x-牛=；即3。》一歹0、-1=0....13分

易知力与用在〃的右侧，片在〃的左侧，分别记耳，F2,4到〃的距离为4,d2,4,

山>"旦/I-6x（）-116—0+116%—][6-0-1

由""导人河京"河京'〃『河常"河获15分

因为〃2+%=I-+/:2=-=&,

49%+"J9片+y0J9x0+yl

所以直线〃为△）大鸟的等线........................................17分

19.（17分）

解：(1)因为/'(x)=g,所以/'(l)=a,又因为g'(x)=e、,所以g'(0)=l,

x

解得。=1.............................................................1分

所以/(%)在(1,0)处的切线方程为：y=a(x-l)=x-1,

所以g(x)在(0,1+b)处的切线方程为：y=x+\+b,

所以五==空，解得b=0.....................................3分

y/25/2

(2)(法一)由(1)知：尸(1,0),0(0,1),记直线NP,ON的倾斜角分别为a,夕，斜率分

别为左”左2，所以40NP=a-。，设N(x,e)xH0且XHI,

数学评分标准第4页(共6页)

所以tanZ.ONP=tan(a-。)=~———25分

1+桃2i+工之x-x+e2x

x-\X

xr22x

A..e,八八，，/、e(x-3x4-1-e)

令〃()=7^7^(、*°户")'则〃"止叶3)2

当x>0时，设函数〃(x)=e'-x—1,则〃'(x)=e'-l>0,

所以〃(x)在(0,+8)单调递增,所以〃(x)N〃(0)=0,即e'Nx+l>l,

所以x2-3x+l-e2*一3%+1一(x+l)2=-5x<0,

所以〃7(x)在(0,1),(1,-K»)均单调递减，且7/7(1)=-<1......................6分

e

当x<0时，x2-3x+l-e2r>l-e2x>0,所以加(x)在(-00,0)单调递增，

所以〃z(x)<〃7(0)=1..................................................8分

当x=0时，tanZ.ONP=\；当x=l时，tanZ.ONP=-,

e

所以，当点N坐标为0(0,1)时，NCWP最大为£

4

同理，函数/(x)=lnx与g(x)=e'的图象关于直线y=x对称，且P,。也关于直线y=x

717C

对称，所以NOM0最大为w，所以NONP与/。同。之和的最大值为5.......10分

(法二)由(1)知：尸(1,0),。(0,1),点。，尸在圆沙：(x—g)2+(y—g)2=g上..…5分

下面证明：直线/：y=x+l与圆形和曲线J=g(x)均相切，

因为圆形的圆心到直线/的距离为1==4,所以直线/与圆力相切，

V22

即，除点(0,1)外，圆力上的点均在直线/：歹=x+l下方.........................6分

又因为〃?(x)=ev-(x+1),则"(x)=e'-1,

所以a(x)在(F,0)单调递减，在(0,+8)单调递增，

所以m(x)N，”(0)=0,

即，除点(0,1)外，曲线y=g(x)上的点均在直线/：y=x+l上方................8分

7C

所以，当点N坐标为0(0,1)时，NONP最大为:

4

同理，函数/(x)=lnx与g(x)=e、的图象关于直线y=x对称，且尸,0也关于直线y