2023年初三数学九年级上册圆的知识点总结和常考题型练习题

圆知识点

一、圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长口勺点日勺集合；

2、圆目勺外部：可以看作是到定点的距离不小于定长的点口勺集合；

3、圆日勺内部：可以看作是到定点口勺距离不不小于定长日勺点日勺集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点时距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;

（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等日勺点日勺轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）;

3、角的平分线：到角两边距离相等日勺点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点日勺轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等时点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等日勺一条

直线。

二、点与圆日勺位置关系

1、点在圆内=>d<r=>点。在圆内；

2、点在圆上=>d=rn点5在圆上；

3、点在圆外=>d〉r=>点A在圆外；

三、直线与圆日勺位置关系

1、直线与圆相离口>d>rn无交点；

2、直线与圆相切=>d=rn有一种交点;

d<r=>有两个交点;

四、垂径定理

垂径定理：垂直于弦日勺直径平分弦且平分弦所对日勺弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）日勺直径垂直于弦，并且平分弦所对日勺两条弧;

（2）弦口勺垂直平分线通过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对日勺一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要懂得其中2个即可推出其他3个结论,

即:

①A3是直径②③CE=DE④瓠BC=弧8。⑤弧AC=弧4。

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆日勺两条平行弦所夹的弧相等。

即：在。。中，•：AB//CD

.♦.弧AC=弧3。

五、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等口勺圆心角所对的弦相等，所对的弧相

等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中,

只要懂得其中的1个相等，则可以推出其他日勺3个结论，

即：①AAOB=NDOE；②AB=DE；

③OC=OF；④弧BA=弧8。

六、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心日勺角的二分之一。

即:NAOB和ZACB是弧A3所对时圆心角和圆周角

/.ZAOB=2ZACB

2、圆周角定理的推论:

推论1：同弧或等弧所对日勺圆周角相等；同圆或等圆中,相等口勺圆周角所对日勺弧是

等弧;

即：在。。中，•；NC、/£＞都是所对日勺圆周角

NC=ND

推论2：半圆或直径所对日勺圆周角是直角；圆周角是直角所对日勺弧是半圆，所

对的弦是直径。

即：在。。中，:AB是直径或•.•NC=90°

ZC=90°：.AB是直径

BA

0

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的二分之一，那么这个三角形是直角三角形。

即：在^ABC中，,:0C=0A=OB

.1△ABC是直角三角形或NC=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上日勺中

线等于斜边的二分之一日勺逆定理。

七、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在。。中，

•/四边形ABCD是内接四边形

ZC+ZBAD=1SO0ZB+ZD=180°

NDAE=NC

八、切线日勺性质与鉴定定理

(1)切线口勺鉴定定理：过半径外端且垂直于半径口勺直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，两者缺一不可

即：：MN_1_04且MN过半径0A外端

.•.加乂是。。口勺切线

(2)性质定理：切线垂直于过切点时半径(如上图)

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线口勺直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理:

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中懂得其中两个条件就能推出最终一种。

九、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆日勺两条切线，它们口勺切线长相等，这点和圆心

的连线平分两条切线日勺夹角。

即：•.•/%、PB是曰勺两条切线

：.PA=PB

尸。平分/BE4

十、圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有关计算在RtABOD中进行：

0D:BD:0B=l：32；

(2)正四边形7

同理，四边形的有关计算在RtAOAE中进行，A

OE:AE:OA=l:l：y/l：

(3)正六边形

同理，六边形的有关计算在MAOLB中进行，AB:OB:OA=l:j3:2.

十一、扇形、圆柱和圆锥日勺有关计算公式

,nnR

1＞扇形：(1)弧长公式：I=；

loO

c"兀氏21f

(2)扇形面积公式：S=——=-lR

3602

n,圆心角R：扇形多对应的圆日勺半径/：扇形弧长S：扇形面积

(1)圆柱侧面展开图(选学)

底面圆周长

S=S+2S=2兀泌+2兀「2

表底

(2)圆锥侧面展开图(选学)

(1)S=S+S=兀氏厂+兀厂2

表他底

AB

十二、圆与圆的位置关系（选学）

外离（图1）=>无交点二d>R+r；

外切（图2）=>有一种交点nd=R+r；

相交（图3）=>有两个交点=>R~r<d<R+r

内切（图4）n有一种交点nd=R-r;

内含（图5）二>无交点=>d<R-r-

圆练习

一.选择题

1.在。0中，弦AB<CD,OE、OF分别是0到AB和CD日勺距离，则（）

A.OE>OFB.OE=OFC.OE<OFD.无法确定

2.如图,AB是。。的直径，CD是弦，若AB=1Ocm,CD=8cm,则A、B两点到直线CD曰勺距离之和为（）

6cm

3.下列命题对时的是（）

A.相等日勺圆心角所对日勺弧是等弧B.等圆周角对等弧

C.任何一种三角形只有一种外接圆D.过任意三点可以确定一种圆

4.如图，圆内接四边形ABCD中，AC、BD交于E点，且BC=DC,则图中共有相似三角形（）

A.2对B.4对C.6对D.8对

5.如图，弦AB〃CD,E为弧CD上一点，AE平分则图中与4政相等（不包括』近）口勺角共有

（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

Qoc—tt—

6.两个扇形口勺面积相等，其圆心角分别为a、0,且2~,则两个扇形日勺弧长之比：：一（）A.1:2

B.2：1C.4:1D.1：④

7.一段铁路弯成圆弧形，圆弧的半径是2km,一列火车以每小时28km日勺速度行驶，通过10s通过弯

道，那么弯道所对的圆心角口勺度数为（）

A.4.4°B.44°C.2.2°D.22°

8.在半径为4日勺圆中，垂直平分半径日勺弦长为（）

A.6B.2^C,3百D,4g

9.如图4,AD,8C是。。日勺两条互相垂直的直径，点尸从点。出发，沿O—CT。一。的路线匀速运动,

设（单位：度），那么y与点P运动日勺时间x（单位：秒）日勺关系图是（）

二、填空题

1.若三角形日勺三条边长分别为5,12,13,则这个三角形外接圆日勺半径为.

2.一条弦把圆提成2:3两部分，那么这条弦所对日勺圆周角日勺度数为.

3.如图,A、B、C是。0上顺次三点，若/OAB=44。，贝1/ACB=

4.如图AABC是圆内接三角形，AB是直径，BC=4cm,NA=30°,则AC=.

5.如图，NAOB=IOO。，则圆周角/ACB=,

6.已知扇形周长为14cm，面积为12cm2,则扇形的半径为cm.

7.如图，以正方形ABCD的边AD、BC、CD为直径画半圆，阴影部分日勺面积记为m,空白部分的面积记为n,

贝ijm与n的关系为.

8.若。0是4ABC的外接圆，OD_LBC于D,且/BODM^OJIJZBACM.

9.如图，正方形ABCD边长为1,以AB为直径作半圆，点尸是CD中点，2尸与半圆交于点Q,连结。。.给

出如下结论：①。。=1；②；③鼠户以=;®cosZADQ=.其中对的结论是

.(填写序号)

三、解答题

1.如图27T3,某排水管模截面，已知原有积水口勺水平面宽CD=O.8m时最大水深0.2m,当水面上升0.2m

时水面宽多少？

2.已知圆环内直径为acm,外直径为bcm，将50个这样口勺圆环一种接一种环套环地连成一条锁链，那

么，这条锁链拉直后的长度为多少？

3.如图，一只狗用皮带系在10X10日勺正方形狗窝的一角上，皮带长为14,在狗窝外面狗能活动的范围面

积是多少？

4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC中