山东省2021-2023年中考数学试题分类-二次函数

山东省三年中考数学真题一一中考数学试题分类汇总

二次函数

选择题（共9小题）

1.（2023•日照）在平面直角坐标系xOy中，抛物线（〃W0）,满足+已知点（-

（a+b<0

3,m）,（2,〃），（4,力在该抛物线上，则加，〃，/的大小关系为（）

A.Z<n<mB.m<t<nC.D.n<.m<.t

2.（2023•东营）如图，抛物线》=0?+法+。（aWO）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,对称轴

为直线I=-1.若点A的坐标为（-4,0）,则下列结论正确的是（

A.2。+8=0

B.4。-2Z?+c>0

C.x=2是关于x的一元二次方程依2+法+c=o（〃W0）的一个根

D.点（xi,yi）,（及，*）在抛物线上，当时，yi<y2<0

3.（2023•荷泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1,3）,B

（-2,-6）,C（0,0）等都是“三倍点”.在-3VxVl的范围内，若二次函数y=

的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）

6.（2022•泰安）抛物线yuaW+fex+c上部分点的横坐标羽纵坐标y的对应值如下表:

X-2-101

y0466

下列结论不正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴为直线尤鸟

C.抛物线与无轴的一个交点坐标为（2,0）

25

D.函数的最大值为二~

4

7.（2022•日照）已知二次函数y=o?+6x+c（aWO）的部分图象如图所示，对称轴为x=^,且经过

1

点（-1,0）.下列结论：®3a+b=0；②若点（刁，yi）,（3,”）是抛物线上的两点，则yi<*；

③10b-3c=0；④若yWc,则0W尤W3.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2021•淄博）已知二次函数y=2x2-8x+6的图象交x轴于A,8两点.若其图象上有且只有Pi,

P2,P3三点满足SAABP]=S&ABP2=SAABP3=M,则,n的值是（）

3

二.填空题（共6小题）

10.（2023•泰安）二次函数y=-/-3x+4的最大值是

11.（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的

水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1机处达到最高，高度为3根，水柱落地处

离池中心的水平距离也为3m,那么水管的设计高度应

为.

12.（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在

销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10W尤（20时，

其图象是线段A3,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润=

总销售额-总成本）.

13.（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结.如图,

二次函数（aWO）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1,

0）,对称轴为直线x=-l,结合图象他得出下列结论：①滴>0且c>0；

②a+%+c=0；③关于x的一元二次方程0?+笈+o=0（<?W0）的两根分别为

-3和1；④若点（-4,yi）,（-2,”），（3,”）均在二次函数图象上,

则尹<”<》3；⑤3a+c<0,其中正确的结论有.（填序号，多

选、少选、错选都不得分）

的正半轴交于点A,对称轴为直线x=L下面结论：

①abc<0；②2a+b=0；

③3a+c>0；

④方程aS+bx+cu。（。=0）必有一个根大于-1且小于0.

其中正确的是.（只填序号）

三.解答题（共7小题）

16.（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABC。的顶点A,8在x轴上，C（2,3）,D

（-1,3）.抛物线-2ax+c（a<0）与x轴交于点E（-2,0）和点足

（1）如图1,若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点尸的坐标;

（2）如图2,在（1）的条件下，连接CF,作直线CE,平移线段CR

图1图2

范围.

17.（2023•潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，

收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0WxW20）,并分别绘制

在直角坐标系中，如图所示.

产/克

20-,(5,19.5)20-

•(5,16)

15-・(10,16)ID-

・(15,10.5)

10-

口.(15,6)

5-D-

•(20,3)

,，：(20,l)

O5~~101520x/^041。152b工/嘉中

场景A场景B

(1)从y=ax+21(aWO),-(左WO),y=-0.04x2+i>.r+c中，选择适当的函数模型分别模拟

两种场景下y随尤变化的函数关系，并求出相应的函数表达式;

（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中，该化学试剂在哪

种场景下发挥作用的时间更长?

18.（2023•潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮A2CD跖中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所

示.经测量,AB〃DE,A8与。E之间的距离为2米,48=3米,AE=BC=1米，ZA=ZB=90°,

ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当必/的长度为多少时，矩形

铁皮的面积最大，最大面积是多少？

AMNB

19.（2022•钢城区）抛物线y=o?+导尤-6与x轴交于A（30）,B（8,0）两点，与y轴交于点C,

直线>=依-6经过点8.点尸在抛物线上，设点P的横坐标为日

（1）求抛物线的表达式和f,左的值；

（2）如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

（3）如图2,若点尸在直线BC上方的抛物线上，过点P作尸QL8C,垂足为0,求C0+*PQ

的最大值.

20.（2022•泰安）若二次函数y=o?+Zzr+c的图象经过点A（-2,0）,B（0,-4）,其对称轴为直

线x=l,与x轴的另一交点为C.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点M在直线A3上，且在第四象限，过点M作成,无轴于点N.

①若点N在线段OC上，且MN=3NC,求点/的坐标；

②以为对角线作正方形MPN。（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标.

（备用图）

21.（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌.在该

项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着

陆，再滑行到停止区终止.本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该

项目中的数学问题进行了深入研究：

如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区。所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直

的直线为y轴，。为坐标原点，建立平面直角坐标系.着陆坡AC的坡角为30°,OA^65m,某

运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的8处着陆，AB=100/W.在空中飞行过程中，运动员

至b轴的距离伏加与水平方向移动的距离尤具备二次函数关系，其解析式为尸-加2+M+C.

（1）求b,c的值；

（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离xGn）与飞行时间f（s）

具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，f=0,x=0；空中飞行5s后着陆.

①求x关于，的函数解析式；

②当/为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是多少？

OCD

22.（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相

关数据.无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不

计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，

它们距离地面的高度也相同.其中无人机离地面高度”（米）与小钢球运动时间无（秒）之间的

函数关系如图所示；小钢球离地面高度”（米）与它的运动时间无（秒）之间的函数关系如图中

抛物线所示.

（1）直接写出yi与尤之间的函数关系式；

（2）求出”与x之间的函数关系式；

（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

山东省三年中考数学真题一一中考数学试题分类汇总二次函数

参考答案与试题解析

选择题（共9小题）【点评】本题考查的是二次函数图象与系数

1.（2023•日照）在平面直角坐标系xOy中，抛的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟

知二次函数的性质是解题的关键.

物线y-ajc+bx（。力0）,满足

（a+b<02.（2023•东营）如图，抛物线yuaW+Zzr+c（a

已知点（-3,m）,（2,7i）,（4,力在该抛W0）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,

物线上，贝b小w,/的大小关系为（）对称轴为直线x=-1.若点A的坐标为（-

A.B.

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次

函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等

式组.

【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；

运算能力.

【答案】C

【分析】根据已知可得a>0,所以抛物线开

B.4a-2b+c>Q

口向上，再根据-3〃VZ?V-〃，得一V——

22a

C.%=2是关于x的一元二次方程"2+bx+c

3

<一，再由点（-3,m）,（2,n）,（4,力在

2=0（〃W0）的一个根

该抛物线上，即可得出〃，/的大小关系.

D.点（%i,yi）,（X2,>2）在抛物线上，当

【解答】解：・.・3〃+。>0,

xi>x2>-1时，yi<y2<0

2a+a+b>0Va+b<O

ff【考点】二次函数图象与系数的关系；二次

2a>0,

函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的

・•・抛物线开口向上，

交点；一元一次方程的解.

*.*-3«<Z?<-a,

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

1b3

.••一V——V一,

22a2【答案】C

•・,点（-3,m）,（2,几）,（4,t）在该抛物【分析】根据对称轴判断①，根据图象特征

线上，.••如〃，/的大小关系为：判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点

故选：C.判断③，根据抛物线的性质判断④.

【解答】解：•.•对称轴为直线彳=-1,函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；

推理能力.【答案】D

.,.2a-b—0,故①错误,

【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y

•••抛物线开口向上，

=3无，根据二次函数y=-/-x+c的图象上

；.a>0,,对称轴在y轴左侧，

至少存在一个“三倍点”转化为y=-?-x+c

，6>0,：抛物线与y轴交于负半轴，

和y=3x至少有一个交点，求A20,再根据

c<0,/.-4a-(2b-c)<0,

x=-3和x=l时两个函数值大小即可求出.

BP-4G-2b+c<0,故②错误，

【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线

.抛物线与无轴交于(-4,0),对称轴为直

为y=3尤，

线尤=-1,

在-3<尤<1的范围内，二次函数y=-/-

.•.抛物线与无轴的另一个交点为(2,0),

x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，

；.x=2是关于x的一元一次方程办2+笈+0=0

即在-3〈尤<1的范围内，二次函数y=-W

(aWO)的一个根，故③正确，

-x+c和y=3x至少有一个交点，

:抛物线开口向上，对称轴为直线x=-l,

令3x=-x2-x+c,整理得，/+4尤-c—0,

当尤>-1时，y随x的增大而增大，

贝必=房-4ac=16+4c20,解得c2-4,

.,.当尤1>尤2>-1时，yi>y2,故④错误，

把x--3代入y--x2-x+c得y—-6+c,

故选：C.

代入y=3x得y=-9,

【点评】本题主要考查的是二次函数图象与

•*.-9>-6+c,解得c<-3；

系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛

把x=1代入y=-x2-x+c得y=-2+c,代

物线与x轴的焦点情况，熟练掌握个知识点

入y=3x得y=3,

是解决本题的关键.

.\3>-2+c,解得c<5,

3.(2023•荷泽)若一个点的纵坐标是横坐标的

综上，c的取值范围为：-4Wc<5.

3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1,

故选：D.

3),B(-2,-6),C(0,0)等都是“三倍

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关

点”.在-3<x<l的范围内，若二次函数y

系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函

=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍

数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性

点”，则c的取值范围是()

质是解题的关键.

1

A.-4<c<lB.-4Wc<-3C.<c<6D.-4Wc<5

4.”(2022•烟台)二次函数y=ar2+bx+c(aWO)

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次

的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=

T，且与尤轴的一个交点坐标为（-2,0）.下4a-2b+c=0,

•：a=b,

列结论：①abc>0；®a=b-,③2a+c=0；④

2a+c=0,故③符合题意.

关于x的一元二次方程anr+bx+c-1=0有两

④由图象可知：二次函数丁=/+法+。的最小

个相等的实数根.其中正确结论的序号是

值小于0,

2

令y=1代入y=ax+bx+cf

/.ax1+bx+c=1有两个不相同的解，故④不符

合题意.

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的图象与系数的

关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、

③年的数量关系，知基础题型.

【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物

5.（2022•滨州）如图，抛物线与x

线与x轴的交点；根的判别式.

轴相交于点A（-2,0）、B（6,0）,与y轴

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

相交于点C,小红同学得出了以下结论：①

【答案】D

b2-4ac>0；②4a+6=0；③当y>0时，-2

【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的

<x<6；®a+b+c<0.其中正确的个数为

交点位置即可判断。、b、c与0的大小关系，

然后将由对称轴可知a=b.图象过（-2,0）

代入二次函数中可得4a-26+c=0.再由二次

函数最小值小于0,从而可判断a^+bx+c=l

有两个不相同的解.

【解答】解：①由图可知：〃>0,CV0,-4

<0,

・・・b>0,

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次

abc<O故①不符合题意.

f函数的性质.

②由题意可知：一白=一^

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

'.b=a,故②符合题意.【答案】B

③将(-2,0)y=ax1+bx+c,【分析】根据二次函数的性质和图象中的数

据，可以分别判断出各个结论是否正确，从函数的最值.

而可以解答本题.【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；

【解答】解：由图象可得，推理能力.

该抛物线与X轴有两个交点，则b--4ac>Q,【答案】C

故①正确；【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物

抛物线y=ax1+bx+c与x轴相交于点A(-线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即

2,0)、B(6,0),可判断各个选项中的说法是否正确.

该抛物线的对称轴是直线x=二^蛆=2,【解答】解：由表格可得，

'4a—2b+c=0

•_—2a—b+c=4,

、c=6

b+4a—0,故②正确；

CL=一1

解得b=1,

由图象可得，当y>0时，x<-2或x>6,

.c=6

故③错误；

；.y=-7+x+6=-(x—?+竽=(-x+3)

当x=l时，y=a+b+c<0,故④正确；

(x+2),

故选：B.

.,.该抛物线的开口向下，故选项A正确，不

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关

符合题意；

系、二次函数的性质，解答本题的关键是明

该抛物线的对称轴是直线犬=全故选项2正

确题意，利用数形结合的思想解答.

6.(2022•泰安)抛物线y=a^+bx+c上部分点确，不符合题意，

的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：*.*当x=-2时，y=0,

1

X-2-101・••当x=[X2-(-2)=3时，y=0,故选

y0466项C错误，符合题意；

下列结论不正确的是()25

函数y=ax2+bx+c的最大值为一，故选项D

4

A.抛物线的开口向下

正确，不符合题意；

B.抛物线的对称轴为直线故选：C.

C.抛物线与无轴的一个交点坐标为(2,0)【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、二

25

D.函数yuQW+Zzx+c的最大值为一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特

4

征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数的

线的解析式.

性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次

7.（2022•日照）已知二次函数yuaf+bx+c（〃・・•抛物线开口向上，点（士yi）到对称轴的

2

#0）的部分图象如图所示，对称轴为x=|,

距离小于点（3,>2）的距离，

且经过点（-1,0）.下列结论：①3a+6=0；故②正确；

1...........・・,经过点（-1,0）,

②若点（］,yi）,（3,>2）是抛物线上的两点，

•.a-/?+<?=0,

则yi<”；③106-3c=0；④若yWc,贝U0

,**对称轴光=一白=怖，

WxW3.其中正确的有（）

・・a=—qb,

1

—-^b-b+c=0,

.•.3c=4b,

...46-3c=0,故③错误；

,对称轴x-2>

...点（0,c）的对称点为（3,c）,

二.•开口向上，

3个D.4个

.,.yWc时，0W尤W3.故④正确；

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次

故选：C.

函数图象上点的坐标特征.

【点评】本题考查了二次函数的性质及二次

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的

【答案】C

性质是解题的关键.

【分析】由对称轴为x=|即可判断①；根据

8.（2021•淄博）已知二次函数y=2x2-8x+6的

1

点（万，V），（3,”）到对称轴的距离即可判图象交x轴于A,8两点.若其图象上有且只

断②；由抛物线经过点（-1,0）,得出有Pl,P2,P3二点¥两足S3BPi=S^ABPz=

hq1S44BP3则m的值是（）

6+c=0,对称轴x=-2^=2,得出a=—g。，

3

A.1B.-C.2

代入即可判断③；根据二次函数的性质以及2

抛物线的对称性即可判断④.【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数图

【解答】解：•••对称轴x=-象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；

:.b=-3a,

推理能力.

.*.3tz+Z?=0,①正确；

【答案】C

11

【分析】由已知条件可判定三点中必有一点-b+c>m(am+b)+c(其中正确的

4z

在二次函数y=2x?-8x+6的顶点上，通过求

结论有()

解二次函数的顶点的坐标及与x轴的交点坐

标利用三角形的面积公式可求解m值.

【解答】解：..•二次函数y=2W-8x+6的图

象上有且只有Pl,尸2,尸3三点满足SAABP]=

S^ABPz=5A4BP3~m,

，三点中必有一点在二次函数y=2x2-8x+6

C.4个

的顶点上，

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次

：y=2/-8x+6=2(x-2)2-2=2(尤-1)

函数图象上点的坐标特征.

(x-3),

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

・••二次函数y=2f-8x+6的图象的顶点坐标

【答案】B

为(2,-2),

【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半

令y=0,贝!]2(x-1)(x-3)=0,

解得了=1或x=3,轴及对称轴为了=会推导出a<0,b>0.c

・•・与I轴的交点为(1,0),(3,0),>0以及。与6之间的关系：b=-a；根据二

：.AB=3-1=2,次函数图象经过点(2,0),可得出0=4a+26+c；

1

•\m=2X2x2=2.再由二次函数的对称性，当a<0时，距离对

称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口

故选：C.

11

【点评】本题主要考查二次函数的图象与性向下，对称轴是直线1=2，可知当时，

质，二次函数与无轴的交点，二次函数图象y有最大值.

上点的坐标的特征，判定尸1,Pl,P3点的位【解答】解：・・•抛物线开口向下，且交,轴

置是解题的关键.于正半轴，

9.(2021•枣庄)二次函数>=/+桁+。(aWO).•.“VO,c>0,

的部分图象如图所示，对称轴为直线彳=最,对称轴x=—即b=-a,

且经过点(2,0).下列说法：①。阮<0；②；・b>0,abc<0,

1

-2b+c=0；③4a+2/?+c<0；④若(―)1)，故①正确；

•・,二次函数丁=总+法+。(〃#0)的图象过点

(1,")是抛物线上的两点，则⑤

(2,0),「♦0=4〃+2Z?+c,

故③不正确；【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，

又可知b--a,利用二次函数的性质，即可解决最值问题.

/.0=-46+26+c,即-2b+c=0,【解答】解:y--f-3x+4=-（无+擀）2+竽.

故②正确；

"：a=-1<0,

•••抛物线开口向下，对称轴是直线x另，且

•••当x=-|时,y取得最大值,最大值=竽.

1151

一一（——）=1,一—一二2,

212，22故答案为：—.

4

【点评】本题考查了二次函数的最值，牢记

故选④不正确；

“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线

•••抛物线开口向下，对称轴是直线无另，

顶点坐标的纵坐标”是解题的关键.

・••当时，抛物线y取得最大值ymax=11.（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，

计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷

（力2。+]/）+C=4力+C,

水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池

当x—m时，ym—arr^+bm+c=mQam+b）+c,

中心的水平距离为1相处达到最高，高度为

且2，

3m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3m,

>9

••ymax^ymt那么水管的设计高度应为-m.

-4

故⑤正确，

【考点】二次函数的应用.

综上，结论①②⑤正确，

【专题】二次函数的应用；应用意识.

故选：B.

9

【答案】-m.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关4

【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，

系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充

再令x=0,求得相应的函数值，即为所求的

分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟

答案.

二次函数图象之间的联系.

【解答】解：由题意可知点（1,3）是抛物

二.填空题（共6小题）

线的顶点，

10.（2023•泰安）二次函数y=-/-3x+4的最

设这段抛物线的解析式为y=a（x-1尹+3.

大值是Y-

:该抛物线过点（3,0）,

【考点】二次函数的最值.

；.0=a（3-1）2+3,

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

解得：a--7.

【答案】今

.*.y=—4(x-1)2+3.【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，

然后根据“利润=单价商品利润X销售量”

•.•当尤=0时，尸一9(0-1)2+3=一;3=

列出二次函数关系式，从而根据二次函数的

性质分析其最值.

9

•••水管的设计高度应为.【解答】解：当10WxW20时，设

把(10,20),(20,10)代入可得：

(10k+b=20

l20fc+b=10'

解得｛仁盖

每天的销售量y(个)与销售价格无(元/

个)的函数解析式为y=-x+30,

设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利

【点