2024陕西中考数学二轮训练：几何测量问题 (含答案)

2024陕西中考数学二轮专题训练题型八几何测量问题

类型一与锐角三角函数有关的几何测量

【类型解答】与锐角三角函数有关的几何测量应用题近10年解答题中考查3次，分值为6

分或7分.考查特点：设问均为底部不可及的测量问题，且都是通过在两个直角三角形中

解决问题.

1.西安奥体中心体育馆是第十四届全运会的主场馆之一，其顶部有16个角舒展绽放，像盛

开的花瓣.某日，家住附近的小华和小明想测量其中一个角顶部距离地面的高度43,由于

施工，点8周围设有20米宽的禁行区域如图所示，小明先在距离点M60米远的。处

用测倾器CD测得顶部A的仰角为30°,然后小华在距离点N30米远的F处用测倾器EF测

得顶部/的仰角为45。，已知测倾器的高C£>=E「=1.5米，点。、M、B、N、尸在同一条

直线上，CD、昉均垂直于DR求角顶部距离地面的高度/B.（结果用根号表示）

2.某广场的平面示意图大致如图所示，小明和小凯想用测量知识测量广场的南北长度.首

先，他们在广场最北边选取一点测得建筑物最西端〃位于点/南偏东37。方向，然后沿

着广场边缘向东行走10m,到达点8,测得该建筑物最东端N位于点8南偏东45。方向.已

知建筑物东西长度血W为60m,且点M、N在广场的最南端边上，求该广场的南北长度.（结

果精确到1m.参考数据：sin37°仁0.60,cos37°^0.80,tan37°20.75,也Q1.41）

,46___________________

广跖1

第2题图

3.［真实问题情境］如图①，是一个手动饴格机的实物图，图②是其示意图，已知手柄的长度

AB—36cm,BD—4cm,支架的高度EF=33cm.抬至最高时与水平方向的夹角/48C约为

52°,/、C、E、9四点共线.(结果精确到0.1cm,参考数据：sin52°-0.79,cos52°"0.62,

tan52°七1.28)

(1)求饴馀机手柄上的点/到水平面GF的距离；

(2)李师傅压制饴络时，某一时刻N3与水平方向的夹角为30。，则手柄N3上点/的高度降

低了多少？

/4

/%

m

第3题图

类型二与相似三角形有关的几何测量

【类型解读】与相似三角形有关的几何测量应用题近10年解答题考查6次.考查特点：以

利用“标杆”测高、中心投影、平行投影、镜面反射或固定视角等问题为背景，设问多为测

量高度.

1.大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度.如图①，他首先测

量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点用处，请人不断测量他

的影子夕C,当他的影子玄。和身高"夕相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子N与

相应底棱中点2的距离约为22.2米，此时点/与点3的连线恰好与相应的底棱垂直，即正

方形底座中心。与/和3在一条直线上，聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示

的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度.

第1题图

2,小唯想利用所学的知识测量学校旗杆的高度，一天下午，她和学习小组来到旗杆前，由

于旗杆下面有旗杆台，到旗杆底部的距离无法测量到，于是她们先在旗杆周围的空地上选择

一点E并放置小平面镜，小唯沿着3E方向移动到点。处，她恰好在小平面镜内看到旗杆顶

端/的像，此时测得DE=0.8m,然后小唯拿着自制的直角三角板月WN在方向移动，

在点G处用眼睛观察到斜边7^/■与点/在同一条直线上，测得DG=7.4m.已知直角三角

板的直角边MN=9cm,尸N=12cm,小唯的眼睛与地面的距离CD=RG=1.6m,AB,CD、

FG、MN均垂直于BG,求旗杆的高度/B.（平面镜大小忽略不计）

A

/:

C-/

/•JJJ

G”a

第2题图

3.如图，河岸旁种植了两排平行的树，且每排每两棵树之间的距离为3m,为测量这两排

树之间的距离PQ,小明先在中间两棵树。尸的延长线上选取一点/,恰好发现点4树8、

树C在一条直线上，然后小明后退10m到达点D处，发现点。、树E、树尸在一条直线上.已

知P。所在的直线垂直于两岸的树，且两排树均用图中的黑点表示，求河岸旁两排树之间的

距离PQ.

第3题图

类型三与全等三角形有关的几何测量

1.如图所示，物体从一个高为10米的高台4利用旗杆顶部的绳索，划过90。到达与高台

/水平距离为17米，高为3米的矮台瓦求旗杆的高度。河和物体在荡绳索过程中离地面

的最低点的高度WN.

第1题图

2.（北师九下P22活动二改编）如图所示，小明与小华计划测量学校春晖楼的高度/B.小明

先站在点E处，用测倾器所测得求实楼CD的顶端。的仰角为a,然后走到点C处，用测

倾器CG测得春晖楼的顶端8的仰角为人发现a+£=90。.已知EF,C£＞均垂直于

AC,即=CG=L6m,CE=25.2m,求实楼的高8=31.6m,两栋楼之间的距离/C=30加,

求春晖楼的高度/B.

第2题图

类型四与勾股定理有关的几何测量

九［数学文化］（北师八上P15习题1.4T5改编）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今

有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”

题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇N2生长在它的中央，高

出水面部分5c为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部8

恰好碰到岸边的夕（如图）.水深和芦苇长各多少尺？

illF

第1题图

2.一天，小明带着弟弟去图书大厦买书，已知该图书大厦装有一个自动感应门，当人体进入

感应范围内，感应门会自动打开，小明发现门打开时，自己和弟弟距离门的位置不相同，于

是小明利用所学的知识计划测量该感应门的最大感应范围.小明先站在。处，门恰好自动

打开，然后小明后退，让弟弟去打开门，发现当弟弟站在点尸处时，门恰好自动打开，且

小明发现自己与弟弟所站的位置中间相隔2个地砖.已知小明的身高C〃=1.6m,弟弟的身

高斯=1.3m,感应器距离地面的高度48=2.5m,每个地枝的宽度为15cm,AB、CD、EF

均垂直于3。，求该感应门的最大感应距离NC（或/£）.

第2题图

参考答案

类型一与锐角三角函数有关的几何测量

1.解：如解图，连接CE交于点G,由题知，CD、E产均垂直于DR且CO=EF,

.,•四边形CDFE为矩形,

尸=60+20+30=H0.

在RtZX/GE中，；/4EG=45。,

：.AG=EG.

设NG=EG=x,

:在RtZUCG中，ZACG=30°,

：.y/3x+x=H0,

解得x=553-55,

;CD=EF=L5,：.BG=1.5,

；.AB=/G+3G=553-55+L5=(553—53.5)米.

答：该角顶部距离地面的高度N8为(55由一53.5)米.

2.解：如解图，过点N作4B_L九W于点E,过点8作8于点凡则四边形N3EE是

矩形，

由题意可知/£/M=37。，NFBN=45°,

设月/=》，则EM=10+x,FN=60+x,

在RtZ\8尸N中，VZFBN=45°,

:.BF=FN=6Q+x.

：.AE=BF=60+x.

在RtzX/EM中，VZEAM=31°,

：.tanZEAM=-=^：1^0.75,

AE60+x

解得x=140,

・・・4£=60+140=200m,

答：该广场的南北长度约为200m.

!!\\X

!

II\、\

第2题解图

3.(1)解：在RtZ\/3C中，•；/4CB=9Q°,ZABC^52°,AB=36cm,

：.AC=ABsm52°-36X0.79=28.44cm.

,：BD1DE,BD±BC,BCLAF,

四边形BDEC是矩形.

:.CE=BD=4cm.

又：M=33cm,

，/尸=/C+CE+即=28.44+4+33=65.44265.4cm.

答：饴络机手柄上的点A到水平面GF的距离约为65.4cm；

(2)由(1)知，/C=28.44cm,

当/A8C=30。时，AC=ABsmZABC=36X-=lScm,

2

二手柄48上点4的高度降低了28.44-18^10.4cm.

类型二与相似三角形有关的几何测量

1.解：由题意可知，△尸。4s△/'B'C,

.PO^A'B'

"OAB'C

'：A'B'=B'C,

：.OP=OA.

..•金字塔正方形底座的边长为230,点。为正方形的对称中心，点3为正方形边上的中点,

.•.03=115,

：.OA=OB+AB=\\5+22.2=U7.2,

/.OP=137.2.

答：金字塔的高度约为137.2米.

2.解：如解图，延长FN交AB于点、H,贝

・••四边形产G5H是矩形，

由题意可知△/5Es/\CQE,AMFNs丛AFH,

.AB=BEAH=MN=9=3

,,CDDEFHFN124

设45=x,则AH=x—1.6,

则上=吗

1.60.8

.,.BE=0.5x,

：.FH=BG=GD+DE+BE=7A+0.S+0.5x^8.2+0.5x,

.x~1.6_3

"8.2+0.5%4,

解得x=12.4,

答：旗杆的高度为12.4m.

第2题解图

3.解：设4P=x,

由题意可知，BP=3,PE=6,CQ=6,FQ=9,EP//FQ,

：.△/0C,XDPES/\DQF,

.AP=BP=3=1

"AQ~CQ~6~2f

：.AQ=2AP=2x,

：.DP=x+]0,DQ=2x+10,

.DP=PE"+10=6=2

"DQ~FQ2X+10-9-3，

解得x=10,

：.PQ=10,

答：河岸旁两排树之间的距离PQ为10m.

类型三与全等三角形有关的几何测量

1.解：如解图，过点4作于点过点5作5(W于点R

,/ZAOE+ZBOF=ZBOF+ZOBF=90°f

：.ZAOE=ZOBF.

在△4OE和△08尸中，

2OEA=/BFO

<NAOE=NOBF,

OA=OB

：.△4OE也△O5F(AAS),

：.OE=BF,AE=OF,

：.OE+OF=AE+BF=CD=17,

：・2EO+EF=VL

"：EF=EM—FM=AC—BD=10—3=7,

：.EO=5,：.AE=12,

・••在RtZUOE中，OA=^OE2+Ae2=13.

U：OM=OE+EM=\5,

・・・JW=15—13=2.

答:旗杆的高度。河为15米，物体在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米.

2.解：如解图，延长G方交45于点H,

'：ABLAC,EFA.AC,CDLAC,EF=CG,

J四边形/9H、四边形EFGC、四边形NCG〃均为矩形.

:・HG=AC,ZBHG=ZFGD=90°.

：.a+ZFDG=90°.

・・・。+£=90。，/.ZFDG=/3.

即NO=NBG〃.

又・・・M=CG=1.6m,CD=31.6m,AC=30mf

・・・HG=30m,GD=CD~CG=30m,

：.HG=GD.

在△BHG和△尸GO中,

ZBHG=ZFGD

HG=GD，

/BGH=/D

：.△bGO(ASA).

：.BH=FG=CE=252m.

AB=BH+AH=BH+EF=26.8m.

答：春晖楼