2024年全国高中数学联赛初赛试题+答案

2024年重庆市高中数学联赛初赛试题..........................................................2

2024年浙江省高中数学联赛初赛试题..........................................................3

2024年四川省高中数学联赛初赛试题..........................................................4

2024年吉林省高中数学联赛初赛试题...........................................................5

2024年广西高中数学联赛初赛试题...........................................................7

2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题..........................................................9

2024年北京市高中数学联赛初赛一试..........................................................10

2024年北京市高中数学联赛初赛二试..........................................................11

2024年重庆市高中数学联赛初赛试题

一、填空麟本大摩共8小*每小题8分，满分64分.

1.已知复数Z使得Z—3为纯虚数，则|z-l-i|的最小值为.（其中i为虚数单位）

2.设函数/（x）=2*—2一工的反函数为y=/T（x）,则不等式|/-*（x-l）|<1的解集为.

4.在AABC中，已知您♦元=2BC•扇=3刀•赤，则AA8C最大角的正弦值为.

UG+a2a3H-----6a7=3,Ja024=___________.

5.数歹{a„}*黄足©=1,~~N*）,若axa2Fa贝!2

Q“a〃+2

6.由1,2,…，9这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为

7.已知四面体ABC。满足=1,且异面直线4D与2c所成的角为60°,

则四面体/BCD的外接球的体积为.

8.一珍稀物种出现在地球,对每个珍稀生物，每天有如下事件发生:有p（0<p<1）的概率消失，有二义的

概率保持不变,有与£的概率分裂成两个,有与？的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会

发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过。，则p至多

为.

二、解警星:共3小题，清分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演鼻步

9.（16分）已知函数/（x）=Inx—sinx,若两不相等的实数片,x2£（0,兀）满足曲线y=/（x）在点（xb/（xi））和

点（M，/（X2））处的切线斜率相等,求证:/（/）+/（必）>-2.

10.（20分）已知抛物线。：y=%2,动线段在直线y—3上（8在/右侧），且|/引=2，1.过/作。

的切线，取左边的切点为朋■.过8作。的切线，取右边的切点为N.当〃/8时，求点N的横坐标.

11.（20分）设无1=3,无”+1=Jx“+14—+2,求［无I+MH-----Fx„］的值.

（其中［x］表示不超过实数x的最大整数.）

2024年浙江省高中数学联赛初赛试题

一、填空题(每小摩8分，共计96分)

1.设集合/=卜|去：&()},集合8={xl』+2x+加W0}.若/£8,则实数加的取值范围为.

2.设函数/：{1,2,3}-{2,3,4}满足/(7(x)—l)=/(x),则这样的函数有个.

3.函数y=$品名吗+1的最大值与最小值之积为____.

sinx+1

4.已知数列{x„}满足：%=，xn+i=x„.I，">1，则通项x„=_________.

2Vx„+n(n+\)

5.已知四面体A-BCD的外接球半径为1,若8c=1,ZBDC=60°,球心到平面BDC的距离为.

6.已知复数z满足,=(z—1尸。=1,则复数z=.

7.已知平面上单位向量3,M垂直，3为任意单位向量,且存在/C(0,1),使得向量4+(1-。百与向量士一方垂

直，则\a+b~c\的最小值为.

2024

8.若对所有大于2024的正整数几,成立〃。。。,二WXC，qGN*,则41+42024=.

1=0

9.设实数a,6,cC(0,2］,且6>3a或■，则max{6—a,c—6,4—2c}的最小值为.

10.在平面直角坐标系了作上，椭圆E的方程为£+卷=1,E为E的左焦点；圆C的方程为(x—。丫+

3—6)2=为。的圆心.直线/与椭圆后和圆C相切于同一点P(3,l).当/O/R最大时，实数厂=

H.设〃为正整数，且鼠“£茨24=圭，则〃

12.设整数〃>4,从编号1,2,…，〃的卡片中有放回地等概率抽取,并记录下每次的编号.若1,2均出现或

3,4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为.

二、解警■(13题清分14分，14、15星清分各20分，合计54)

13.正实数左，左2,心满足左1<42〈人3;实数5,。2满足。1=左2—左1，C2—Q=2(岛一左2),定义函数

发iX,04x41

标x,0&x41

k?x—1Vx<2

/(X)=<左2%—3,1Vx&2,g(x)=,

左31—

Q,X>2k2x—正",x>2

试问，当发，左2,仅满足什么条件时,存在4>0使得定义在［04］上的函数g(x)+/(4—x)恰在两点处达至！J

最小值？

14.设集合S={1,2,3,…,997,998},集合S的左个4个元子集4,出，…，4满足:对S中任一二元子集8,均

存在在{1,2,…府，使得824.求发的最小值.

15.设/(x),g(x)均为整系数多项式，且degf(x)>degg(x).若对无穷多个素数p,pf(x)+g(x)存在有理根,

证明：/(%)必存在有理根.

2024年四川省高中数学联赛初赛试题

（考试时间：2024年5月19日9:00~11:00）

一、填空K：本大K共8小*每小题8分，4分64分.

1.设函数/（x）=ln|x|+|x］—2的零点都在区间［a,b］（a,bEZ,a<b）内，则b—a的最小值为.

2.已知a>b>1,若logab+log6a=■!■/1］.着的最大值为.

3.设aC尺,若函数/（x）="-告一21nx在其定义域内为单调递增函数,则实数a的最小值为.

4,用/（XI）表示点X与曲线「上任意一点距离的最小值.已知。。:炉+/=1及。。］：（x—4丫+/=4,设

P为OO上的动点，则〃P,OQ）的最大值为.

5.设ZUBC中，NC=2,248C=248/C,则“台。面积的最大值为.

6.将边长为1的正方体ABCD—的上底面48GA绕着其中心旋转45°得到一个十面体4BC。-

EFGH（如图）,则该十面体的体积为.

100

7.若7=^2"+k•3皿-则7的末尾数字0的个数为.

k=\

8.记/={1,4,5,6},U={1,2,3,­••,25},集合U的子集4={©，%必知,凭},满足|《一町|国7（VKz<j<5）,

则符合条件的集合/的个数为.（用具体数字作答）

二、解锄■:本大国共3小■，清分56分.保警应写出文字说明、证明过程或演算步事.

9.（16分）已知，为正实数,若曲线y=f-e，与椭圆C：彳+/=1交于力、8两个不同的点，

求证:直线的斜率左<夸.

10.（20分）设复数x,y,z满足：|x+2y+3z|=1.求|x|2+|y|2+|z|2+|x2+y2+z2|的最小值.

11.（20分）给定正整数〃>2,数组⑷”,…,得）称为“好数组”是指：即，均不为0,%=1,且对任

意的14左W〃-1,均有3+1+恁）（恁+1—恁-1）=0.求“好数组”（加的,…”）的组数.

2024年吉林省高中数学联赛初赛试题

一、选择一本大摩共6小*每小题x分，满分x分.

1.记s=^±;+5±，+妥;+…+肾4,则与s最接近的整数为()

3-44-45-413-4

A.14B.15C.16D.17

一一—>acu

2.在四边形45CZ)中，45〃。。，4。=/145+〃40(儿姓氏).若%+〃=5,则+=4=()

2网

A.yB.yC.1D.2

3.函数/(x)=ax3—6X(QGH),若|/(x)|&2对Vxe[―1,：]成立，则()

A.|/(x)|41对Vxe[―成立B.|/(x)|4-1■对w%e[—成立

C.l/(x)l418对Vxe[—成立D.|/(x)|《考■对Vxe[―]成立

4.在正四面体/BCD中，棱AD的中点和面BCD的中心的连线为MV,棱C£)的中点和面/BC的中心的连线

为PQ,则与P。所成角的余弦值为()

A[R]0[T')]

18171615

5.已知函数/(>)=盾口^百京^+幺-x+1,则()

A./(x)的最小值为8B./(%)的最小值为9

C./(x)=8有1个实根D./(x)=9有1个实根

6.已知/,8,C是平面上三个不同点，且BC=a,C/=6,/3=c，则々的最小值为()

a+bc

A.V2-^B.璋-JC.2-4D.1-浮

乙乙乙乙乙

二、填空:本大I■共6小*每小・龙分，清分无分.

7.设集合S={1,2,3,4,5}.若S的子集/满足:若xe/,则6—xe/,则称子集N具有性质小现从S的所有

非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质p的概率为.

8.函数/(x)=log“(4—ax)(a>0,且aW1),若/(x)>1对VxC[1,2]成立,则实数a的取值范围.

9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表：

题号12345678910

甲XVXXVXVVVX

乙XXVVXVVVXX

丙VVXVVVXVXV

TXXVVXXVVXX

若甲、乙、丙三人均答对7题,则丁答对的题数为.

10.己知函数/(x)=lnx-V+——若三加>0,使得f(m)>/,则实数a的最大值为______

x

11.设函数〃x)=sinx-sin3x,若关于x的方程/(x)=。在(0,兀]上有奇数个不同的实数解,则实数a的值为

12.在△48C中，/P平分交2C于尸，BQ平分NABC,50交C4于0,/A4c=30°,且+8P

=/Q+02,则/ABC的度数为.

三、解答:本大题共4小题,每小题无分，满分无分.

13.已知椭圆Ci的中心为坐标原点。，焦点在坐标轴上.圆C2的圆心为坐标原点O,过点/(-2,0)且倾斜角

为30°的直线与圆。2相切.

⑴求圆。2的方程；

⑵过圆C2上任意一点尸(沏,%)(w为W0)作圆C2的切线，与椭圆G交于/,8两点,均有AAOB=90°成立.

判断椭圆G是否过定点？说明理由.

_]20241

14.已知数列{g}满足：«]=1,a2=2,an+i=—+a0_i(">2).求证：>88.

15.如图，。。1、外切于点/，过点/的直线交。。1于另一点8,交。。2于另一点c，CD切。Q于点

D,在BD的延长线上取一点F,使得BF2=BC2-CD2,连接CF交OO?于E,求证：£>£与。Q相切.

16.全体正有理数的集合。+被分拆为三个集合/,2,c(即/UBUC=Q+,且=c=cn/=。,

满足2*/=2,2*5=。，2*。=4,这里7/*长={h-k\hEH,kEK}.

⑴给出一个满足要求的例子(即给出42,C)；

(2)给出一个满足要求的例子，且1,2,…，35中的任意两个相邻正整数均不同时在/中.

2024年广西高中数学联赛初赛试题

一、填空摩（本大国共8小题,每小摩10分，共80分）.

1.设函数/（x）=|log2x|.若a<b且f（a）=f（b），则a+20246的取值范围是.

2.已知椭圆。+%=l（a>b>0）的焦点为后，为椭圆上一点，乙项V*=当，.则椭圆的

离心率为.

3.若正实数x,y满足x—=J2x—y,贝Ux的最大值为.

4.方程3工=/的正整数解为.

5.设Xi，X2,X3,X4均是正整数，且｛知/*I14Y/V左44｝=｛18,36,54｝.则^1+x2+x3+x4—.

6.正三棱雉P—/2C中，4?=3,/2=4.设。是直线2。上一点，面/如与直线3。的夹角为45°,则线段

PD的长度是.

7.已知四次多项式X,一25/+ax2+61x-2024的四个根中有两个根的乘积是一253,则实数a=.

8.设数列｛%｝满足为=2001,招+i=X"+%,其中为等于x„的个位数,则无2024=.

二、解警■（本大国共4小题，共70分.解警应写出文字说明、证明过程或演算步事.）

9.（15分）如图所示,AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE,NADC=ADPE=4BEC=90°.证明：

尸为线段N8的中点.

10.（15分）设/为数集｛1,2,3,-,2024｝的"元子集，且/中的任意两个数既不互素又不存在整除关系.求〃

的最大值.

11.（20分）用[x]表示不超过x的最大整数.设数列｛x.｝满足：Xi=1,X"+i=4x〃+[VlTx„].求X2024的个位数.

12.(20分)图G是指一个有序二元组(KE),其中k称为顶点集，£1称为边集.一个图G中的两点无，了的距

离是指从x到y的最短路径的边数，记作d(x,y).一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记

作力切”(G),即由。加(G)=max{d(x,y)\x,yEG}.

记Z,,={[0],[1],[2],…，[〃一1]}是模"的剩余类，定义Z,,上的加法和乘法,均是模〃的加法和乘法，

例如在Z|2={[0],[1],[2],…，[11]}中：[3]+[4]=[7],[6]+[9]=[3]；[3]-[4]=[0],[6]-[9]=[6].

在Z”中，设[尤]W[0].若存在[用手[0]使得[x].[力=[0],则称[x]是Z”的一个零因子.记Z”的所有零

因子的集合为。(Z“).例如。(ZQ={[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]}.Z”的零因子图，记为r(Z“)，它是以

D(Z〃)为顶点集，两个不同的顶点[x],[用之间有一条边相连当且仅当[x]-[旬=[0].

下图是「(ZQ的例子.

【91

证明：对一切的整数都有diam(f(Z„))W3.

2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题

(2024年5月19日,8:30-9:50)

一、填空国(本国满分64分,每小屋8分)

1.集合〃={1,2,3,5,6}的全部非空子集的元素和等于.

2.设a,b,c是实数，满足a+6+c=1,a2+ft2+c2=1,aW0,的取值范围为.

a

3.已知正三棱柱ABC-43cl的侧棱长为4,底面边长为2,过点/的一个平面截此棱柱,与侧棱BB1,CCX

分别交于点M,N,若/\MNA为直角三角形，则/^INA面积的最大值为.

4.已知在ZU5C中8C=，？，/=告，丽=。就,则线段AD的最大值为.

5.从1,2,…，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为.

6.O是原点，椭圆曰+(■=1,直线/过(1,0)且与椭圆交于N,8两点，则^ABO面积的最大值为.

[20241

7.数列{a„}中，=而，且对任意n^N*,a“+i=a：+,求汇一工工的整数部分是.

8.已知关于X的方程/—3x+4=0的三个复数根分别为Z1—则(Z「Z2)2(Z2—Z3)2(Z3—zj的值为

二、解锄■(本1分56分)

9.(16分)已知双曲线C：牛一弓"1,直线/：y=fcr+1与双曲线C的左右支分别相交于两点,双曲线

C在4,8两点处的切线相交于点尸，求A4AP面积的最小值.

10.(20分)已知函数/(x)=er——1二”

ax—2x+1

(1)当a=0时,讨论了(x)在(—4,：)上的极值.

⑵若x=0是/(x)的极小值点，求a的取值范围.

11.(20分)设"是一个给定的正整数，集合S.={(z,j)114i,/42%，,六犷1},求最大的正数c=c(〃)，使得对

任意正整数乩，必，都存在集合S„的子集P,满足集合P至少有cn2个元素，且集合P的任两个元素(z,j),

—均有(，一后I+(j—I)?片&,(AI)?+(/—I)?看办

2024年北京市高中数学联赛初赛一试

考试时间：8:00-9:20

一、填空题(1-8■每星8分，第9题16分，第10,11国每摩20分，共120分)

1.设整数集合/={可.,%,。.％}，若4中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为B={—30,—15,

—10,—6,—5,—3,2,6,10,15},则集合/={-30,—15,—10,—6,-5,—3,20,10,15},则集合6=.

fx+2,x<0；

2.已知函数/(x)=<zi八、八若关于x的方程/(/(%))=加恰有三个不相等的实数根修，必，必且

［In(了x+

满足/<X2<X3,则，―9,、的取值范围是

ln(x2+4)

3.从1,2,…，2024中任取两个数Q,则3。+7b的值中，个位数字为8的数有个.

4.设复数z满足|3z—2i|=6,令.=与筌4,则|zj的最大值是

z-3十/1

_卜，若X为无理数；

5.已知函数/(x)=(q+1q甘由.06店、

(----,右工=万,其中p,qGN,且〃，夕互质,p>q.

则函数在区间(1•磊)上的最大值为.

6.对于c>0,若非零实数a,b满足4a2—2ab+4/—。=0,且使\2a+b\最大，则+看的最小值为

7.已知函数/(x)=cos4x+sin%+asin4x—b,且/(工+专)为奇函数.若方程/(%)+机=0在［0,兀］上有四个

不同的实数解修，X2,不，羽，则/(X1+X^X3+X4)的平方值为.

8.已知NQ{1,2,…，2625},且N中任意两个数的差的绝对值不等于4,也不等于9,则\A\的最大值为

2023

9.设多项式/(X)=/24+»奴,其中c,.e{—1,0,1}.记N为/(X)的正整数根的个数(含重根).若八X)无负

i=0

整数根，N的最大值是.

10.在棱长为4的正方体/RR—中，E为棱N4上的一点，且4E=1,歹为截面4Ao上的动点，

则AF+FE的最小值等于.

H.数列{《,}定义如下:设写成既约分数后的分母为N(〃)，/等于2/(")的最大质因数，则劣,

加(〃+2024)!

的最大值等于

2024年北京市高中数学联赛初赛二试

考试时间：9:40—12:30

1.（40分）设a,6,c是三个正数,求证：

2af2b+2c<3VI（a+b+c）

V2a2+b2+c2Va2+2b2+c2^/a2+b2+2c2y/5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca

2.（40分）如图所示,锐角4ABC的三条高线AD,BE,CF交于点〃，过点尸作尸G〃/C交直线8c于点G,

设△CFG的外接圆为。O,与直线/C的另一个交点为P,过尸作P0〃Z）E交直线于点°,连接

OD,O0.求证：OD=OQ.

3.（50分）有〃个球队参加比赛,球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配

好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好

是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于

他们之间的比赛总场次.

请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.

4.（50分）设m，w为〃个两两不同的正整数且。图2…恰有4048个质因数.如果ax,a2,…，a.中任

意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求”的最大值.

2024年重庆市高中数学联赛初赛试题..........................................................2

2024年浙江省高中数学联赛初赛试题..........................................................3

2024年四川省高中数学联赛初赛试题..........................................................4

2024年吉林省高中数学联赛初赛试题...........................................................5

2024年广西高中数学联赛初赛试题..........................................................7

2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题..........................................................9

2024年北京市高中数学联赛初赛一试..........................................................10

2024年北京市高中数学联赛初赛二试..........................................................11

2024年重庆市高中数学联赛初赛试题

一、填空麟本大题共8小*每小题8分，满分64分.

1.已知复数z使得Z—3为纯虚数，则|z-l-i|的最小值为2—血.(其中i为虚数单位)

【答案】2-

【解析】z—@为纯虚数nz—"=一仔-2)=z+》=(1).

ZZ\Z)ZZ

当z+5=0时，，|z—l—i|min=1；

当z+NW0时，，则|z|=2,,此时|z—1—i|min—2—A/2V1,,当z=V2(1+i)可取等号.

2.设函数/(x)=2'—2一"的反函数为〉=/TQ),则不等式v1的解集为(一十卷).

【答案】(一

【解析】因为/(X)为R上单调递增的奇函数，，且值域为心,所以/T(x)也为R上单调递增的奇函数.

注意/⑴=等,，故\f~\x—1)|<1=-1~Vx—1<-1-Q―VxV-1".

3.若点4(—关于直线尸点对称的点在圆(%—2)2+J；2=1上，则左=.

【答案】遮

［解析】注意点4在圆/+y2=1上，，且4关于直线V=Ax对称的点必然在圆¥+J?=1上，，而圆了2+,2=

1与圆(x—2y+/=i仅有唯一公共点8(1,0),,因此对称点只能是9易知乙4。3=120°,,因此左=tan600

=A/3.

4.在A4BC中，已知丸•元=2BC-BA=3CA-CB,^\AABC最大角的正弦值为.

【答案】甘

【解析】设馆？。的内角4,2,,C所对的边分别为。，，6,,c,,由条件知

川十厂=02+02—从=3("+,/),,解得62=/“2=’,,故最大角为角C,,

tz2+Z?2—c2V10一•厂3V10

由余弦定理得cosC=

5.数列｛四｝满足％=1,6N*)，若处出+42a3H--------ha6a7=3,则tz2024=2029

。〃+2

【答案】6

2029

［解析］由="—+|可得-^+—L='一，，则数列［工1为等差数列，，首项为」-=1,,设公

册为+2册为+2。什1I为J5

差为”则“22+”2“3+一.+°6。7=士+(i+d)；i+2d)+…+(1+54)1(1+64)=

Xrfi____L_UM_______i—［+…(一i_______i—口=_2=3ndJ

dlA1+""+d1+2"十"+5dl+6d〃―1+6Q—6

6

故1=112023=2029=42024=

“2024662029,

6.由1,2,…，9这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为

21600.

【答案】21600

【解析】一个圆排列满足要求当且仅当该排列中8,,9与7,,9这两对数均不能相邻.设满足8,,9相邻的圆

排列有M个，，满足7,,9相邻的圆排列有％个，，满足8,,9相邻且7,,9相邻的圆排列有M个，，则N1=

电=①-7!,,'3=4》6!,,从而由容斥原理，，满足要求的排列的个数为"=8!-(凡+电一乂)=21600.

7.已知四面体/BCD满足45_L8C,8C_LCD,=3C=CO=1,且异面直线/。与8c所成的角为60°,

则四面体4BCD的外接球的体积为1A.

【答案】空

【解析】由题设条件，，可将四面体补成直三棱柱NBA-aCD,，如图所示.由题知/4/。=60°,,44]=1,,

于是4。=/仅=,,又=BA=1,,则NAB"=120°.设四面体ABCD的外接球球心为O,,则O在平

面ABD｛的投影Q为△48,的外心，，且OQ=。.由正弦定理知，，Q/=1,,从而外接球半径R=OA=

今,，于是『=1收=上要.

236

8.一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生:有p(0W〃Wl)的概率消失，有与R的

概率保持不变，有的概率分裂成两个，有的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会

发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过!，则P至多

为♦.

I答案1备

【解析】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为/(I)=4<。，，那么若开始有〃个珍稀生物、最终灭绝

的概率则为/(〃)=q".由题知，,f⑴=p+130/(1)+131/(2)+13°八3),,从而有q=0+13+

~~^~cC---即(q-])[~y^(/+2q+3)一]"=0,,由于qW：,,则0=—^-(^2+2^+3)—14

——1,,得0W京故。至多为-j^-.

注:该题也可以用母函数.其第"天的母函数为fM(x),,

其中f(x)=P+1)x+1Jd+1」工3,，考虑lim(0)&]即可.

二、解警星:共3小■，清分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演莫步索.

9.(16分)已知函数9(%)=Inx—sinx,若两不相等的实数为，x2G(0,兀)满足曲线y=/(%)在点(卬/(修))和

点(%2，/(必))处的切线斜率相等,求证:/(X1)+/(x2)>-2.

【解析】先证一个引理:对、>0,,有sinx<x.

引理的证明：令9(x)=sinx—x9,9'(x)=cosx—1<0,,故夕(不)为减函数，，

所以当x>0时，，夕(工)<^(0)=0,,引理得证！4分

=z

回到原题：/'(X)~~~cosx,,由题知:(修)=/(x2).

不妨看>孙，则冯(0,3)，，于是由广(看)=/(不)并结合引理可得

修一M。.Xl+%2.占一》2

-----=cosx2—cos%]=2sin—T—sm————8分

%1%2----------------------------------22

7c.X]~X2-X]—X2r-,3

<2sm—工—<2x---二修一小，，因立匕/工2>1-12分

所以/(修)+/(汹)=lnX[X2—sin%1—sinx2>—sinxi—sinx2>—2.16分

10.（20分）已知抛物线。：y=¥,动线段在直线＞=，1%一3上（5在/右侧），且［45|=2，J.过4作。

的切线，取左边的切点为".过5作Q的切线，取右边的切点为N.当时，求点4的横坐标.

【解析】设,Ng瀚,,

工2—工2

21

注意kMN=_=Xi+x2,，从而当MN//AB时，，=kAB=V3^X1-\-X2=V3.5分

-2-

因为y=2x,,所以kAM=2xi,,可得切线的方程为y—Xi=2修(工一修)，，即y=2xix—Xj.

y=%2.

同理可得切线BN的方程为2X2X—

由题设中4,,B的要求,,可设,,5(Z+V3,V3r),,10分

将代入切线4M的方程，，

得A/Yt—3—Ztx、—X；,,即xj—1tX\+A/3-t—3—0,,

可求得X]=%—V—A/3-t~\~3,,

这里取较小的根是因为/为左边的切点.

同理可求得%2=f+A/3^+^+3.15分

于是修+M=A/3"nt—y/12—V3/+3+£+y/3+J)+/+3=A/3-,,

整理得《1+=0=>/=0.

故点/的横坐标为0.20分

11.(20分)设X]=3,X"+i=〃招+14―〃x,,+2(”CN")，求[xi+xzH--Fx„]的值.

(其中[x]表示不超过实数x的最大整数.)

[解析】设/(x)=Vx+14-4+2=—==j—==.

Vx+14+vx+2

对于尤>0,,7(x)连续且单调递减.

由于龙1>2,,则0<%2=/(尤1)</(2)=2,,

进而依次可以得到x3>2,,0<I4<2,,即0左<2,,M左+i>2.5分

令g(x)=X+/(无).由于g，(x)=1+0-0>。恒成立，，

2Mx+71T4z2vx+2

故当x>0时，，g(x)单调递增.

又由于g(2)=4,,故当尤>2时，，g(x)>4;当0<%<2时，，g(无)<4.10分

当〃为偶数时，，设〃=2左依CN*),,有

X]+…+当无=(X1+X2)+(X3+X4)+…+。2"1+%2。=g(xj+g(X3)H-----bg(X2”i)>4左，，

且---\-Xlk—Xx+(X2+X3)+(X4+X5)H----H(X2"2+X2"1)+xlk

=Xi+g(x2)+g(X4)+••-+g(X2”2)+x2t<4k+1,,

故[xi+xzH---\-x2k\=4k=2n.

当"为大于1的奇数时，，设〃=2上+1依6N*),,

有X)H-----\-Xlk+\=(X1+X2)+(X3+X4)H-----1"(尤2无-1+尤2*)+尤2%+1

=g(Xl)+g(》3)+…+g(X2"l)+X2斤+1>必+2

X1+…+X2"+i=Xi+(x2+x3)+(X4+X5)+…+(必《+应"+1)

=%i+g(%2)+g(%4)+…+g(%)V4左+3,,

故［XI+MH----左+i］=4左+2=2〃.

当〃=1时，，［xj=3.

综上，，当〃=1时，，［修］=3;当〃>2时，，［XI+MH-----=2n.20分

2024年浙江省高中数学联赛初赛试题

一、填空题(每小屋8分，共计96分)

1.设集合N=|x|券=<()},集合8={x1』+2苫+加40}.若NQ8,则实数加的取值范围为“W—3.

【答案】加《一3

【解析】集合/=卜|十<xWl},,要使NU3,,则l?+2x1+加W0,,解得加W—3.

2.设函数/：{1,2,3}r{2,3,4}满足-1)=/(x),则这样的函数有10个.

【答案】10

【解析】令尸/(X)-1e{1,2,3},,则=y+1.

对/(I)=2以下三种情况都满足条件

/⑵=/⑶=2；〃2)=/(3)=3;42)=/⑶=4,,共3种.

同理对/(2)=3,,/(1)=/(3)有3种情况；

[(3)=4,,/(1)=/(2)也有3种情况.

又/(I)=2,,/(2)=3,,/(3)=4显然满足条件.

所以满足已知条件的函数共有3X3+1=10个.

(可以看出这种映射的限制仅在值域上，，因此也可对值域大小分类讨论.)

3.函数y=而号叫+1的最大值与最小值之积为1.

sinx+1

【答案】等

【解析】令/=sinx,,一W1,,原式变形歹=1H-----,当，W0时

当方=0时，,y=1.所以y的最大、最小值分别为,其积为等.

4.已知数列{X〃}满足：修二，xn+x-xn./，〃>1，则通项xn—N3H—1.

【答案】J茄M

【解析】将已知条件变形得------Wr，，将上式从1到"叠加得到

—........-=1----即工=/n

焉mJ।%V3«-l-

5.已知四面体力—BCD的外接球半径为1,若8c=1,/8OC=60°,球心到平面8OC的距图为二^.

【答案】呼

【解析】因为球心在平面BDC上的投影就是4BDC的外心，，由已知求得&BDC的外接圆半径为?，，所以

球心到平面BDC的距离为看?=空.

1.V3•

6.已知复数Z满足Z?4=(Z—1产。=1,则复数Z=1土>1.

【答案】。土与i

【解析】由已知得以I=|z—1|=1,,解得z=。土空.显然这两个解满足题设条件.。

7.已知平面上单位向量3,3垂直，+为任意单位向量，且存在/e(0,1),使得向量3+(1—与向量才一3垂

直，则\a+^-c\的最小值为.

【答案】，IT

【解析】令日=(0,1),,1=(1,0),,c-(cos6,sin。)，,6&［0,2%)，，于是

4+(1一,)5=(1—%,1=(cos0,sin0—1).

由向量1+(1—/访与向量3—G垂直，，得到COS0+sin8=1+tcos®.

\a+b-c\=j3_2V?sin((9+号),，当6>=£,"=2—JI时，，j+5—@取到最小值，I—1.注：本题由向量

的几何意义也直接得到答案.。

2024

2024

8.若对所有大于2024的正整数n,成立«=，凡CN*,则由+a2024=1+2024!.

z=0

【答案】1+2024!

【解析】因为"=&,,"2=2!&+&,,/=3!d+6d+&,,