四川省仁寿第二中学2025届高三数学第三次模拟试题理含解析

PAGE20-四川省仁寿其次中学2025届高三数学第三次模拟试题理（含解析）一､选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】求解二次不等式可得：，求解对数不等式可得：，结合交集的定义有：.本题选择A选项.2.设为虚数单位，若复数满意，则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意得到，，依据复数的除法运算法则，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.3.的绽开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简得到二项式的通项，求得的值，即可求得绽开式的常数项.【详解】由题意，二项式的绽开项通项为，令，解得，故常数项为.故选：B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中娴熟应用二项绽开式的通项，精确计算是解答的关键，着重考查运算与求解实力.4.“”是“为锐角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】依据充分条件与必要条件的定义推断即可.【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必要条件；反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条件.故“”是“为锐角”必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.5.若双曲线的离心率为2，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线的离心率为2，，可得，从而求出的值，即可得答案.【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以双曲线的标准方程为.故选：B【点睛】此题考查双曲线的方程和离心率，属于基础题.6.设函数，则下列结论正确的是（）A.的一个周期为 B.的图象关于直线对称C.的一个零点是 D.在单调递增【答案】B【解析】【分析】依据周期公式计算可知，选项A错误；依据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；依据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.【详解】因为，所以选项A错误；因为，所以选项B正确；因为，所以选项C错误；的最小正周期为，在内不行能是单调的，选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则推断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先推断循环结构类型，得到推断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，推断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．【详解】经推断此循环为“直到型”结构，推断框为跳出循环的语句，第一次循环：；其次次循环：；第三次循环：，此时退出循环，依据推断框内为跳出循环的语句，，故选D．【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时肯定留意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)留意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)留意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时肯定要正确限制循环次数；(5)要留意各个框的依次，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要依据程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．8.已知正三棱柱的高为，它的六个顶点都在一个直径为4的球的球面上，则该棱柱的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合体积公式，即可求解.【详解】由题意可知球的半径，因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，依据球的截面圆的性质，可得，即，解得，棱柱底面与球的截面圆的半径，三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，所以三角形的面积为，该棱柱的体积为.故选：D.【点睛】本题主要考查了棱柱的体积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中合理应用求得性质，以及正三角形内切圆的性质，结合棱柱的体积求解是解答的关键，着重考查推理与运算实力.9.已知是数列的前n项和，且点在直线上，则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由题得，利用，求出且，，从而推断出数列是等比数列.再利用等比数列求和公式，即可求出比值.【详解】点在直线上，，当时，，两式相减，得：且，又当时，，则，是首项为1，公比为3的等比数列，，.故选：B.【点睛】本题考查了数列中由与的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前项和公式，属于中档题.10.已知，是双曲线的左，右焦点，其半焦距为，点在双曲线上，与轴垂直，到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】在焦点三角形中，可通过解直角三角形得到，结合双曲线的定义可求的关系式，从而得到所求的离心率.【详解】因与轴垂直，所以为直角三角形且直角顶点为.因为，到直线的距离为，故.因为为锐角，故，.在中，，.由双曲线的定义可得，故.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解决此类问题的关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则须要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组.11.已知函数有奇数个零点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易得，函数关于直线对称，结合函数有奇数个零点，可得，建立方程求得的值即可.【详解】，所以函数关于直线对称，函数有奇数个零点，则有，即，化简得：，解得.故选：A.【点睛】本题考查函数零点，解题关键是得出函数图象关于直线对称，考查逻辑思维实力和运算求解实力，属于常考题.12.在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（）A. B.1 C.-1 D.【答案】C【解析】分析】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，求出圆的标准方程，可得的坐标的参数形式，再由用坐标表示，这样就可表示为的三角函数，由三角函数恒等变换可求得其最小值．【详解】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，直线，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径，圆C的方程为，设点，即，又，∴，所以.即时，取得最小值．故选：C．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量用两种不同方法表示，从而把表示为参数的三角函数，利用三角函数学问求得最小值．二､填空题13.设等比数列满意，，则______.【答案】1【解析】【分析】依题意得到方程组解得即可；【详解】解：等比数列，有，两式相除可得，所以，代回可得.故答案为：1【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的运算，属于基础题.14.已知抛物线C：，则抛物线C与过焦点且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积为______.【答案】【解析】【分析】先由焦点坐标求出，从而可得抛物线的方程，然后利用定积分的几何意义求出所求图形的面积即可.【详解】解：因为抛物线的焦点为，所以，所以抛物线方程为，所以所求面积，故答案为：【点睛】此题考查抛物线的定义，利用定积分求曲边图形的面积，属于基础题.15.已知，，函数，若对于随意的都有恒成立，则实数m的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】依据向量数量积的运算公式化简，并求函数的值域，并且依据不等式求的范围，转化为子集关系求实数的取值范围.【详解】，的值域为，要使恒成立，即，所以，解得.【点睛】本题考查向量数量积与三角函数的恒等变形，以及性质，依据不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算实力，属于中档题型.16.下列推理正确的是______.①，，，②，③，④，⑤，【答案】①②④【解析】【分析】由平面的性质：公理1，可推断①；由线面垂直的定理可推断②；由线面的位置关系可推断③④；由直线与平面平行的性质定理可推断⑤.【详解】解：①，，，，即，故①对；②，，故②对；③，，可能l与相交，可能有，故③不对；④，，必有故，④对；⑤，，则l，m可能平行，也可能异面，⑤不对，故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系，属于基础题.三､解答题17.在中，角的对边分别是，的面积为，且.（1）求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用面积公式和正弦定理可得，结合及两角和的余弦可得的值，从而求出的值.（2）利用余弦定理可得，再依据面积及正弦定理可求与的关系，从而可关于的方程，解方程后可得的值.【详解】解：（1）由题意得：，由正弦定理得：（为外接圆的半径），，，.（2）由正弦定理可得，又，故.由余弦定理得：，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，一般地，假如题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.本题属于中档题.18.期中考试后，老师把学生的成果分为较低､及格(不含优秀)､优秀三类，制成下表.类别较低及格优秀人数7其中低分率与优秀率分别是与.（1）求全班人数及，的值；（2）老师重点关注成果较低的及成果优秀的学生，利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访，为了保证电话家访的质量，他每天随机打给三位学生的家长，求在第一天老师抽取的三位学生中成果优秀者的人数X的分布列及数学期望.【答案】（1）全班人数为50人，，；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）依据低分率和较低人数求得全班人数，再依据优秀率求得，最终求得即可.（2）由题知须要家访的共11人，其中成果优秀的有4人，依题意可得全部可能的取值为，分别求出相应取值的概率，最终求得即可.【详解】解：（1），，.（2）须要家访的共11人，其中成果优秀的有4人，依题意可得全部可能的取值为.；；；，X0123P.【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算实力，属于中档题.19.如图，在四面体中，直角三角形，且有，为正三角形，且有.（1）证明：平面平面；（2）延长到点E，运用得，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可知，又由于，可得平面，从而可证平面平面；（2）由得，然后如图以A为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，若设，则表示出图中点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用空间向量可求出二面角的余弦值.【详解】（1）是直角三角形，，所以，又，，所以平面，平面，平面平面.（2），两个三棱锥的高都可以是点C到平面的距离，所以与的面积相等，即可得出，以A为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，建立如图的空间直角坐标系，设，则，，，，，所以有，，，设向量是平面的一个法向量，则，即，令，则；同理设向量是平面的一个法向量，则，即.，令，则，所以，且二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】此题考查空间图形中证面面垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，考查了运算实力，属于中档题.20.已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线C于A，B两点，圆M以线段为直径.（1）证明：圆M与直线相切；（2）当圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】（1）证明见解析；（2直线l的方程为，圆M的方程或直线l的方程为，圆M的方程..【解析】【分析】（1）由题可知直线l的斜率存在，设线为，与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系，从而可求出圆心坐标，然后利用弦长公式求出的长，可得半径的长，再求圆心到直线的距离，即可证明结论；（2）由（1）可得圆方程为，由于圆过点，所以将点的坐标代入圆方程中可求出的值，从而可求出直线l与圆M的方程.【详解】（1）直线l过抛物线C的焦点，且交抛物线于A，B两点，所以直线的斜率肯定存在，可设直线为，与抛物线联立有，，，则有，圆M的半径为，的中点即圆M的圆心为，圆心到直线的距离为等于圆M的半径，所以在圆M与直线相切.（2）由（1）知圆M的方程可写为，把点代入后得，解得或.当时，直线l的方程为，圆M的方程；当时，直线l的方程为，圆M的方程.【点睛】此题考查抛物线与直线的位置关系，圆与直线的位置关系，点与圆的位置关系，考查运算实力，属于中档题.21.已知函数.（1）若恒成立，求m的最大值；（2）设a为整数，且对于随意正整数n，，求a的最小值.【答案】（1）1；（2）3.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，推断函数的单调性，最终求出最小值，由题意可得m的最大值；（2）由(1)可得时，，令对此进行放缩，最终利用裂项相消法求出的最小值.【详解】（1），当，，为减函数；当，，为增函数，所以在处取得最小值，且，因为恒成立，所以，即所以m的最大值为1.（2）由（1）知当时，，令，则有，即有，即有，即，对随意恒成立，又，所以整数a的最小值为3.【点睛】本题考查了利用导数探讨函数的单调性并求最小值问题，考查了通过放缩法求不等式恒成立时参数的取值问题.22.在直角坐标系中，