2024届上海市松江区高三年级下册质量监控高考数学模拟试题（含解析）

2024届上海市松江区高三下学期质量监控高考数学模拟试题

考生注意：

1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或

写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.

2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.

3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第卜6题每个空格填对得4分，第7~12

题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1.函数〉=恒（》~2）的定义域为

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2）,贝|i-z=.

3.已知随机变量X服从正态分布"（3，〃），且P（3WXW5）=0.3,则P（X>5）=.

4回无

4.己知点A的坐标为122将。/绕坐标原点。逆时针旋转5至。尸，则点尸的坐标为一

5已矢口/=&+（1—1）2+…+。7（1—1）7,则“5=

6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则此圆锥的体积为.（结果中保留

兀）

7.己知等差数列｛"」的公差为2,前〃项和为若％=邑，则使得成立的"的最大

值为.

8.已知函数/GAMgzx［若/&）=/（%）。产工2）,则4%+%的最小值为.

22

门口j_4=l（q>O,b>0）口

9.昂鸟是双曲线。b-'的左、右焦点，过久的直线/与双曲线的左、右两

支分别交于43两点，若即:阙M阻=3：4：5,则双曲线的离心率为

10.己知正三角形/3C的边长为2,点。满足丽=加直+〃而，且机>0,n>0,

2优+"=1,贝"的取值范围是.

J（a-2）x+4a+l,x<2

11.已知0<〃<2,函数12。*'x>2,若该函数存在最小值，则实数。的取

值范围是.

12.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,…，30,老师要随机

挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5,则有种不

同的选择方法.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14

题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分.

13,已知集合"={刈04苫<4},B={x\x=2n,neZ}则“口8=（）

A.{IaB.伉4}

C.{0」,2}D,{0,2,4}

14.垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措.

某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x（千克）所需的费用

了（角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到了关于

x的线性回归方程为了=0-7x+°4,则下列说法错误的是（）

X2345

y22.33.4m

A.变量无、了之间呈正相关关系B.可以预测当》=8时，）的值为6

由表格中数据知样本中心点为（・）

C.加=3.9D.3§285

15.已知某个三角形的三边长为。、b及其中.若a,b是函数>=依2-取+c的两个

零点，则。的取值范围是（）

fl石

3』

2'2J

A.B.、

10土

[45-11

2，

C.D.\7

设"为数列{"/的前〃项和，有以下两个命题：①若{"#是公差不为零的等差数列且

16.

上eN,k>2,则是％。=0的必要非充分条件；②若包}是等比数列

且上eN,左22,则E•邑…1=0的充要条件是&+%=（）.那么（）

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，①是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

f(x)=sin2—x+V3cos—xsin—x(<y>0)、

17.设222,函数>=图象的两条相邻对称轴之间的

距离为兀.

⑴求函数y=〃x)的解析式；

(2)在“3C中，设角A、3及C所对边的边长分别为。、6及c,若。=拒,b=6,

3

f(A)=-

2,求角C.

18.如图，在四棱锥尸一/BCD中，底面为菱形，PD1平面N2CD,£为尸。的中点.

(1)设平面/BE与直线尸C相交于点尸，求证：EF//CD.

⑵若4?=2,ND4B=60°,PD=4^,求直线班与平面所成角的大小.

19.某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派

一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛

胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为四、

必、P3,假定Pi、必、2互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.

321

P]=一夕2=_P?=一

⑴计划依次派甲乙丙进行闯关，若4,3,2,求该小组比赛胜利的概率；

(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求X的期望"(X)；

(3)已知1>口>02>03,若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确

定甲、丙谁先派出.

「•匕+*=1

20.如图，椭圆,2的上、下焦点分别为£、F2,过上焦点片与了轴垂直的直线交

椭圆于M、N两点，动点P、。分别在直线与椭圆「上.

M4E

(1)求线段"N的长；

(2)若线段P0的中点在x轴上，求△工0°的面积；

(3)是否存在以工°、工尸为邻边的矩形鸟使得点£在椭圆「上？若存在，求出所有满

足条件的点。的纵坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知函数>=x-lnx+a(“为常数)，记V=/(x)="g(x).

(1)若函数>=g(x)在x=l处的切线过原点，求实数。的值；

(2)对于正实数，，求证：f^+f(t-x)>f(t)-t\n2+a,

ex

g(x)+cosx<一

⑶当。=1时，求证:X

1.(2

【详解】要使函数>=ig（x-2）有意义，

贝产一2〉0=>1〉2,

所以函数>=lg（x-2）的定义域为（2,

故答案为（2力0°.

2.-2+z##i-2

【分析】根据复数的乘法运算求解即可.

【详解】由题意知，z=l+2i,

贝iji-z=i-（l+2i）=-2+i,

故答案为：-2+i

3.0-2##5

【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解.

【详解】因为随机变量X服从正态分布NG。?），且「（34X45）=0.3,

可得尸（X>5）=0.5—尸（34X45）=0.5—0.3=0,2

故答案为：0.2.

6

__5~

【分析】由题意可求6,利用任意角的三角函数的定义即可求

7，7Z-XOA——

【详解】因为点A的坐标为2人可得3,

AxOP=一十—=

=cos一=-

所以点P的坐标为I

5.21

【分析】先将/变形为U+（xT）『的形式，再应用二项式定理求解即可.

【详解】尤'=[1+（无一1）『，

由二项式定理得：

%=C；=C"芸=21

所以

故答案为：21.

V3

——7t

6.3

【分析】通过侧面展开图的面积.求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可.

【详解】由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，设圆锥的母线长为，，底面半

径为〃,

2兀=_兀/2

则-2,所以/=2,则半圆的弧长为2兀,

所有圆锥的底面半径为2口=2兀，〃=1,

—X7txl2XV22-1=71

所以圆锥的体积为：33

V3

-----7T

故答案为：3.

7.5

【分析】根据题意，列出方程求得生=口，得到S“=/-5"且。”=2"-6,结合S"<a"，列

出不等式，即可求解.

【详解】由等差数列的公差为2,前〃项和为E，若见=工,

6+2x2=5%+型x24

可得2,解得％=-4

c.n(n-V)八2-

S=-4n-\-------x2=〃-5n(

所以2,且4=-3+("1)X2=2〃-6

因为即〃2-5〃<2〃-6,整理得/-7〃+6<0,解得1<〃<6,

因为〃eN",所以使得与＜为成立的〃的最大值为5.

故答案为：5.

8.4

【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得西子2=1,利用基本不等式即可求解.

-logx,0<x<1

/(x)=|logx|=2

2logX,X>1

【详解】2

若“占）=/62）。产马）,不妨设0＜再＜143,

则Tog2$=10g2%2,

所以1。82玉+1°§2X2=logz^l•%=°,即再,％=1,

所以4X|+X2N2四三=4,当且仅当再一5,巧二2时，等号成立.

故答案为：4.

9,屈

【分析】根据双曲线的定义可求得。=1,N/8月=90。，再利用勾股定理可求得2。=|月工|,

从而可求得双曲线的离心率.

【详解】解：Y/3H34|:|"初=3:4:5,不妨令|月8|=3,\BF2\=4^\AF2\=5^

2

AB^+\BF21=\AF2F,NABF2=90。，

又由双曲线的定义得：।如I神|=2a,|纽|_|得|=2a,

.•.|/月|+3—4=5—|4月|,.\|AFX|=3

?.|BFX\-\BF2|=3+3—4=2Q,

:.a=\

在片玛中，J取寸=|因『+|愿『=62+42=52

|2=4C\..4^=52,.-^=713

e=—=vl3

，双曲线的离心率a.

故答案为：jm.

10.。2）

【分析】取ZC的中点E,由题意可得函=2机无+"而，从而推得三点共线，进而

得出侬<必|<阳,即可得出答案.

【详解】取/C的中点E,则05=2赤，

CD=mCA+nCB=2mCE+nCB?又因为2加+〃=1,

故民2E三点共线，即点。在中线班上运动，

在正三角形Z5C中，BE1AC,

又心>0,〃>0,则13<\CD\<\CB\

故|西4,2）,

故答案为：（L2）

{a10<a<—

11,2或。="

【分析】令g（x）=（”2）x+4a+l,xe（-8,2],〃（乃=2。1,xeQ+oo）,分类讨论。的取值

范围，判断g（x）,〃（x）的单调性，结合"X）存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案.

x

【详解】由题意，令g（x）=（。-2）x+4a+l,xe（-<»,2]h{x}=1a~'；xe（2,+8）,

当Ova<1时，g（x）在（-002]上单调递减，〃（x）在（2,+8）上单调递减，则〃（x）在（2,+co）上的

值域为（°，2。），

因为"X）存在最小值,故需g（2）=（"2）x2+4a+140,解得“.，

0<tz<—

结合Ova<l,此时2；

当l<a<2时，g(x)在(一*2］上单调递减，〃(x)在(2,+co)上单调递增，则人(x)在(2,+oo)上的

值域为(2a,+8),

<3

因为/(X)存在最小值，故需g(2)(2。，即("2)x2+4a+142a,解得“一

这与1<。<2矛盾；

当。=1时，尔)=-》+5在(-8,2］上单调递减，且在(一*2］上的值域为［3,+吟，h(x)=2,

此时存在最小值2；

{a10<a<—

则实数。的取值范围为2或a=D.

{a10<a<—,、

故答案为：2或a=D.

12.1540

【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为x,v,z,不妨设x<〉<z,结合题

意转化为x+G-x-4)+(z一，一4)+(31-Z)=23,进而转化为四个正整数的和为23,结合隔

板法，即可求解.

【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为x,了，z,不妨设x<P<z,

则有恒等式x+3-x)+(z-y)+(30-z)=30(*),

其中x21,y-x>5fz-y>530-z>0,

即x21,y-x-4>l；z-y-4>lf31-z>l,

故(*)式为x+&-x-4)+(z-y-4)+(31-z)=23,

上式四个正整数的和为23,相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故

有G=1540种方法.

故答案为：1540.

13.D

【分析】直接根据交集概念求解.

【详解】因为集合/={x1°WxV4},B={x\x=2n,neZ}

所以/n5={0,2,4}

故选：D.

14.C

【分析】利用回归直线方程可判断A选项；将尤=8代入回归直线方程可判断B选项；计算

出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD选项.

【详解】对于A选项，因为回归直线方程y=0-7x+°4,故变量x、了之间呈正相关关系，

A对；

对于B选项，当x=8时，>=0.7X8+0.4=6,B对；

-2+3+4+5c=

**JQ-_________=35-

对于CD选项，-4,则>=0.7x3.5+0.4=2.85,

故样本的中心点的坐标为OS2-85),

—2+2.3+3.4+m

y=--------------------=2.85

另一方面，4,解得s=3.7,C错D对.

故选：C.

15.B

【分析】由a,6为函数〃x)="-6x+c的两个零点可得加-"(a+6)x+a"="2-6x+c

b=£~cLa。

即可得1—Q、1-〃，由两边之和大于第三边，结合题意可得22

由为函数/㈤=加+的两个零点,故有°2

【详解】a/af_c(xax-bx+c

2

即"~a(a+b^x+a'b=ax2-反+。恒成立

,Cl272。

由a,b,c为某三角形的三边长，且。<6,

"q1<.<1

故1-八0,且1一。,则2因为b+c>a必然成立,

a4a2

a-\------>------

1—Q1—Q

八0<a<-生-----1-

a+c>ba2a42

a-\------>------

即0<6Z<1

所以a+b>c,1—a1—Q解得

1V5-1

—<a<----

所以22

'1A/5-1

252

故。的取值范围是:

故选：B.

16.C

【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前九项和性质分析①的真假，由等比数列和等

比数列的前〃项和性质分析②的真假，综合可得答案.

【详解】根据题意，对于命题①，｛g｝是公差不为零的等差数列，

若可•出…七=0,则在％，。2,…,如中，至少有一项为。,

(2"I)，+*)=(2〃7_1以=0

假设册=0,（"〃日），则

必有S•$2…s2k_x=o,

反之，在等差数列.J中,若…〃-3,

则%=-1,。2=1,有邑=0,则…5上=0成立,

但丹•生•••%=。不成立，

故邑…$21=0是％・。2•・q=0的必要非充分条件,故①正确；

对于命题②，若｛%｝是等比数列，设其公比为若上eN,上22时,

有S].邑…邑=0,则与邑，…M中，至少有一项为0,贝

SyG"o

假设鼠二°，则有""q，必有q"=i,

又由q―,必有机为偶数且O=T,故处+-=°,

反之，若如+&+i=°,贝1]夕=-1,必有$2=°,则有AeN,k>2,

贝/，S2…S=°,

若｛"'｝是等比数列且上eN,k>2,则山邑…S「0的充要条件是%+软+1=0,

故②正确.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求

和公式，从而分析得解.

兀1

/(x)=sin(x--)+-

17.(1)62

71

(2)12

【分析】(1)根据降募公式，二倍角公式及辅助角公式化简“X),再根据＞=图象的两

条相邻对称轴之间的距离为兀求出。即可;

f(A)=-A=——ZACD=-

(2)由2得出3,过点C作/5,CD于点。，得出6,分别求出

ND,CD的长，结合即可得出30=进而得出/5四，根据

/4CB=/BCD-ZACD即可求得答案.

r,、1-C0SGXV3../71.1

/(X)=--------+——sina)x=sm(公r——)+—

【详解】⑴2262,

因为函数昨"X)图象的两条相邻对称轴之间的距离为兀,

T2兀

­=717=——二2兀

所以2，则。，解得。=1,

TT1

f(x)=sin(x--)+-

所以62.

/U)=sin(^--)+-=-^^--=2foi+-^GZ

(2)由f(A)=-2得，/62262

.7171.271

A——=—A=——

因为“e(0,n),所以62,即3,

cos/」+"《.2+。2-3___V6—V2

2bc2也。2,解得”一2—(舍负),

过点C作/3LCD于点。，如图所示,

Z.D——,Z.BAC=ZACD=-AD――AC—-^-,CD—ACxcos—=

由23得，6,则2262,

所以222则BD=CD,

rrTT7TTT

ZBCD=-/ACB=/BCD—/ACD=-----二—

所以4,则4612.

18.(1)证明见解析

⑵6

【分析】(1)根据线面平行的判定定理，证出/2//平面PCO,然后根据平面NBEc平面

PCD=EF,利用线面平行的性质定理证出EF//CD.

(2)连接8。，取/。中点H,连接28、9，根据线面垂直的判定定理，证出3"，平面

PAD,可得ZBE〃是直线3E与平面的所成角，然后在RtABE”中利用锐角三角函数

的定义算出答案.

【详解】(1)证明「•平面4班与直线PC相交于点尸，.•.平面48EC平面尸四=斯，

；四边形"CD是菱形，，/2//CO,

:48(Z平面尸CD,CDu平面尸CD,48〃平面尸CD,

•••48u平面/BE,平面平面PC£>=£7"

:.EFIICD.

(2)连接8。，取/。中点H,连接出/、EH,

菱形/BCD中，AB=AD,/D4B=6Q°,.“4BD是等边

三角形，

是/。中点，BHLAD,

・・・PD_L平面A8C。，BHU：^^4BCD,;.BHLPD,

PDAD=D

;PD、4Du平面P4D,C\tSH_L平面尸40.

•­•NBEH是直线BE与平面PAD的所成角，

r:.DE=-PD=142

是尸。中点，PD=32,2

PD_L平面ABC。，

;H为4D中点、，…0”2，D1,RtZ"?£77中，EH=VDE2+DH2=3,

•.•等边△/BD中，高2

tanZBEH=—道

/.Ri小BEH中,EH3,

可得6,即直线BE与平面PN。的所成角等于6.

23

19.(1)24

⑵月。2-2巧-A+3

⑶先派出甲

【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；

(2)由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3,利用独立事件的概率乘法公式求出相应的

概率，进而得到X的分布，再结合期望公式求解；

(3)分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，

再利用作差法比较大小即可.

【详解】(1)设事件A表示“该小组比赛胜利”，

z.x31211123

尸D(4)=—+—X—+—X-X—=—

贝［j',44343224.

(2)由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3,

则P(X=1)=R,P(X=2)=(l-Pl)p2j尸(X=3)=(1-R)(1-2),

所以X的分布为：

X123

PPl"PM(1-01)(1-2)

所以E(X)=月+2(1-pl)p2+3(1-)(1--20-2+3；

(3)若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为耳，

由(2)可知，E\=p、p「2p「p33,

若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为当，

贝心2=202_203_02+3,

贝E「E]=(。也-2。1-P2+3)-血。2-2P3-+3)=-2。1-+2P3

=Pi（A-A）-2（AA）=（A-P3）（02-2）,

因为所以Pl-P3>0,P「2<°,

所以片一m<0,即&<玛，

所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲.

20.⑴刈=也

交

⑵2

⑶-2+收或-1.

【分析】（1）根据已知求出点N的横坐标，根据对称性可得线段"N的长；；

（2）线段尸。的中点在x轴上，得。点纵坐标，代入椭圆方程得。点横坐标，此时

。月,X轴，易得其面积；

（3）假设存在鸟尸为邻边的矩形耳°"尸，使得点E在椭圆C上，设尸

0日,必），颐々,力），由平行四边形对角线互相平分把£点坐标用P，°点坐标表示，然后把

21坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0,得出再，必广。的关系，结合起来可得

%=°或％=一毛，再分别代入求得％,得结论.

「.y.__i-x2=1_____

【详解】（1）由,2'可得：a=亚,b=l,从而c=〃2_/=i,

12।

1—+x=lx=±

所以令>=i,则2,解得:2,

所以幽M=血.

（2）线段P°的中点在x轴上，则力=L所以j=T,即名轴,

_4-X=1

所以令>=T则2,解得:2

S.POF=-|^2|-|^1=-><—x2=—

所以"帙21211121222.

⑶%帙=；四M用=gx*2=S

假设存在以8°,马尸为邻边的矩形与使得点E在椭圆C上，

设。（王,必）E（x2,y2）7^（0,-1）

因为四边形骂QEP是矩形，一定为平行四边形，所以鸟尸+尸2。=尸2%

则％2=%o+项,%=必+2,所以£（/+再，必+2）,

^+x'=1

<

（必+2）"6।%y=l,

©E都在椭圆上，[2'变形得/+2网％+2弘+2=（）9,

又QF[[PF],所以尸2。•62=0,即（x”M+1>（%,2）=2（乂+1）+匹/=0,

则2%+2=-%/②，

②代入①得x；+%*=0,解得：％=°或％=f।,

X=±交（土"T）

若％=°时，必=T,'2,此时尸与耳重合，0点坐标为2'；

金+"1

若％=一王时，联立"2）*=[

消去为可得：弁+4弘+2=0,解得：乂=一2士/，

因为“十立回，所以弘=-2+亚，

所以存在满足题意的。点，其纵坐标为-2+后或-1.

【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下:

第一步：假设结论存在；

第二步：结合已知条件进行推理求解；

第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设;

第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.

21.(1)2

(2)证明见解析

(3)证明见解析

Xa

g(x)-lnx+—>0g'(x)=

【分析】(1)根据题以，得到x，求得一,结合导数的几何意义,

求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解;

itz\]n4

(2)设函数"(x)=/(x)+“/-x”>°,求得W-n,—x,求得函数'(无)的单调性和最

//(—)A(x)>A(—)

小值为2,得到2,即可得证；

।1ex।1d1

mx+—<-----cosxInx+—<-----1

(3)根据题意，得到1%，结合COSX£[-M],把转化为1工，设

/、le"

k(x)=InxH----------F1,x〉0

'xx利用导数求得上(无)的单调性和最大值"°)=2-e,即可得证.

【详解】(1)解：由题意，函数昨"Inx+a,且"〃x)=x-g(x