高中数学-立体几何--空间几何体

高中数学立体几何——空间几何体一、单选题1．如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）

A．AC⊥平面ABB1A1 B．CC1与B1E是异面直线C．A1C1∥B1E D．AE⊥BB12．已知水平放置的ΔABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图A′B′C′，其中BA． B． C． D．3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3 B．4 C．5 D．64．据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=2，三棱锥外接球表面积为（）A．4π B．8π C．12π D．16π5．已知正方体外接球的体积是323A．22 B．223 C．426．在空间直角坐标系中，方程x2A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．球7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．72 B．66 C．60 D．308．已知l，m是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB．若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//mC．若l//α，m⊂α，则l//mD．若l⊂α，m⊂α，且l//β，m//β，则α//β9．空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a，b，c，则下列四个命题中正确的有（）P1：若α⊥β，α⊥γ，则β//γ；P2：若a⊥b，a⊥c，则b//c；P3：若a⊥α，b⊥α，则a//b；P4：若a⊥α，b⊥β，α⊥β，，则a⊥b.A．P1，P2 B．P2，P3 C．P1，P3 D．P3，P410．和直线l都垂直的直线a，b的位置关系是（）A．平行 B．平行或相交C．平行或异面 D．平行、相交或异面11．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为26A．33 B．23 C．3212．四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线PB与平面PAC所成角为（）A．π6 B．π4 C．π313．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿矩形对角线BD将ΔBCD折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当DA⊥BC时，BC⊥AC；②四面体ABCD的体积的最大值为245；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为π3；A．①④ B．①② C．①②④ D．②③④14．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，体积为43A．1：2 B．2：5 C．1：3 D．4：515．如图，四边形ABCD为矩形，AD=2AB，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折至△PAE的位置（点P∉平面AECD），设线段PD的中点为F，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（）A．CF//平面AEPB．异面直线CF与PE所成角的大小恒定不变C．AE⊥DPD．当平面APE⊥平面AECD时，AD与平面PDE所成角为3016．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+ B． C． D．1+17．四棱锥P−OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA=OP=a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE=a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（）A．23 B．26 C．3二、填空题18．圆锥侧面展开图是弧长为2π、半径为2的扇形，则该圆锥的体积为.19．若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的体积为．20．若直线AB∩α=A，则Bα．（用数学符号语言填写）21．若三棱锥A−BCD中，AB=CD=6,其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为．22．我国古代数学中提到一种几何体叫做“刍甍”，刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也.即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形ABCD，棱EF//AB，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长2的等边三角形，则此几何体的表面积为.23．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为.24．长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=225．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为cm326．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C27．某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．28．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．29．在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，△ABC是正三角形，E为PC中点，有以下四个结论：①若PC⊥BE，则三棱锥P−ABC的体积为22②若PC⊥BE，且三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为6π③若PA⊥BE，则三棱锥P−ABC的体积为23④若PA⊥BE，且三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为12π．其中结论正确的序号为．30．已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α且n∥α，则m∥n；②若m⊥β且m⊥n，则n∥β；③若m⊥α且m∥β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n．其中正确命题的序号为．31．已知球O的表面积为20π，在以O为坐标原点的空间直角坐标系中，点A(0，1，a)(a>0)，B都在球O32．如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为.33．已知四面体ABCD中，AB=33，其余各棱长均为6，则四面体ABCD外接球的表面积为34．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．三、解答题35．正四面体所有棱长都为2，求它的高.36．在三棱锥C−ABD中，△ABD是边长为2的等边三角形，BC=1，BC⊥CD且平面CBD⊥平面ABD，P，E分别为线段BD、CD的中点.（1）求证：AE⊥CD；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值.37．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，E、F分别是PB、AC的中点.（1）证明：EF//平面PCD；（2）求三棱锥E−ABF的体积.38．如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）ABC−A1B1C（1）求证：平面COD⊥平面ABB（2）求平面COD与平面CBB39．如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90∘,BE=BC,F为（1）求证：AE//平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面ACE．40．如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．41．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN//平面PAD.42．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BA\user1∥平面PCD，平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，PA=PD=2（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为1343．已知四边形ABCD,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=30°.现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD,AD⊥CD.点P在线段AD上，平面BPC（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离.44．如图,在四棱锥P−ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∕∕CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC．（1）求证：BM∕∕平面PAD；（2）若AD=2,PD=3,∠BAD=π3,求三棱锥45．已知正三棱锥S−ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点A′,B′,C′分别在正三棱锥的三条侧棱SA,SB,SC（1）求三棱柱的高；（2）当三棱柱的高小于三棱锥高的一半时，求三棱锥B′46．如图，△ABC中，AC=BC=22AB（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：AC⊥平面EBC；（3）求几何体ADEBC的体积V．47．如图示，边长为4的正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，M、Q分别是PC，AD的中点．（1）求证：PA∥面BDM（2）求多面体P﹣ABCD的体积（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使面PCN⊥面PQB？若存在，指出N的位置，若不存在，请说明理由．48．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2,AD=3，（Ⅰ）设G,H分别为PB,AC的中点，求证：CH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.49．如图，已知直三棱柱A1B1C1−ABC中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2（1）证明：C1（2）求二面角C150．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=AB=1，PA⊥底面ABCD，∠ABC=π3，E是（1）求证：PA//平面EBD（2）求证：平面EBD⊥平面PAC；（3）设点Q是平面PCD上任意一点，直接写出线段BQ长度的最小值.（不需证明）

答案解析部分1．【答案】D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】因为三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，

所以对于A,AC与AB夹角为60°,即两直线不垂直，所以.AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A错误；

对于B,CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；

对于C,A1C1,B1E是异面直线；故C错误；

对于D,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；

故答案为：D.

【分析】主要考查空间中点，线，面的位置关系，（A）证明线面垂直关键线线垂直，A错；（B）与共面，B错；（C）A1C1,B1E是异面直线，C错；(D)线线垂直关键线面垂直，BB1⊥底面ABC可得，BB1⊥AE,AE⊥BC，则AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；D正确；2．【答案】B【知识点】斜二测画法直观图【解析】【解答】因为S直观图且若△A′B′C′的面积为12那么△ABC的面积为3，故答案为：B．【分析】根据直观图和原图的面积之间的关系S直观图S原图3．【答案】C【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】AB与CC1是异面直线，因此没有同时平行的，与AB平行且与CC1相交的有CD,C1D1，与AB相交且与CC故答案为：C.【分析】从平行和相交两方面分别考虑.4．【答案】C【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC，将三棱锥P−ABC补全图形为正方体如图所示，∴三棱锥的外接球即正方体的外接球.设外接球的半径为R，则(2R)2=2所以外接球的表面积为4πR故答案为：C

【分析】将三棱锥P−ABC补全图形为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，外接球的半径为正方体体对角线的一半，求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可求出结果.5．【答案】D【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，立方体的棱长为a

由球的体积公式得：V=43πR3=323π

解得：R=2

又∵球的直径即为内接正方体的体对角线

∴6．【答案】D【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）【解析】【解答】由x2+y表示空间中的点(x，y，z)到坐标原点(0，0，0)的距离为2，所以方程x2+y故答案为：D

【分析】将x2+y2+z2=4变形得(x−0)2+(y−0)7．【答案】A【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】解：由所给三视图可知该几何体为一个直三棱柱，且底面为直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，∴表面积为3×4+（3+4+5）×5=72，故选A．【分析】由三视图判断出该几何体为一个直三棱柱，求出它的高是5，底面为直角边长分别为3和4，斜边长为5的直角三角形，求出各个面得面积和，即所求的表面积．8．【答案】A【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定【解析】【解答】对A，根据线面垂直可知，l垂直平面中任意一条直线，故正确；对B，若l⊂α，m⊂β，α//β，则l，m异面或平行，故错误；对C，若l//α，m⊂α，则l，m异面或平行，故错误；对D，若l⊂α，m⊂α，且l//β，m//β，α//β或相交；故答案为：A

【分析】利用已知条件结合线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，从而找出结论正确的选项。9．【答案】D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质【解析】【解答】由空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a，b，c，知：在p1中，若α⊥β且α⊥γ，则β与γ相交或平行，故p1错误；在p2中，若a⊥b且a⊥c，则b与c相交、平行或异面，故p2错误；在p3中，若a⊥α且b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故p3正确；在p4中，若a⊥α，b⊥β且α⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面垂直的性质定理得a⊥b，故p4正确．故答案为：D【分析】根据两个不重合的平面垂直同一个平面，则这两个平面可能相交，p1错误；两条不同的直线垂直于同一条直线，则这两条直线可能异面、相交、平行，p2错误；根据线面垂直的性质定理，p3正确；根据线面垂直和面面垂直的定理，p4正确。10．【答案】D【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】如图，在正方体ABCD−AAB和BC都同时BBAB和A1B1都同时BAB和B1C1都同时B∴若直线a，b同时和第三条直线垂直，则直线a，b的位置关系是相交、平行或异面．故答案为：D．

【分析】根据空间直线与直线的位置关系即可确定.11．【答案】A【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；直线与平面所成的角【解析】【解答】如图，根据圆锥的性质得SO⊥底面圆O，所以∠OAS即为母线与底面所成角，设圆锥的高为ℎ，则由题意，有VSO=1所以母线的长为l=r则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为sin∠OAS=故答案为：A

【分析】根据圆锥的性质得SO⊥底面圆O，所以∠OAS即为母线与底面所成角，再利用圆锥的体积公式结合已知条件，进而求出圆锥的高与圆锥SO的底面半径的关系，再利用勾股定理求出母线的长与圆锥SO的底面半径的关系，再结合正弦函数的定义求出圆锥的母线与底面所成角的正弦值。12．【答案】A【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【解析】【解答】连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，

因此BD⊥平面PAC，故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=22，BO=所以sin∠BPO=BOPB故答案为：A【分析】连接AC交BD于点O，连接OP，可证BO⊥平面PAC，得到∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果.13．【答案】C【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质【解析】【解答】如图，当DA⊥BC时，∵BC⊥DC，∴BC⊥平面DAC，∵AC⊂平面DAC，∴BC⊥AC，即①正确；当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，最大值为13×1当平面BCD⊥平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，为∠CBD，而sin∠CBD=∴BC与平面ABD所成角一定小于π3，即③在翻折的过程中，ΔABD和ΔBCD始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中点，外接球的直径为BD，∴四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确.故正确的有①②④.故答案为：C.【分析】对四个结论逐一分析判断，对于①，利用翻折前后BC⊥DC这个条件不变，易得BC⊥平面DAC，从而BC⊥AC；对于②，当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，易得出体积；对于③，当平面BCD⊥平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，即∠CBD，计算其正弦值可得出结果；对于④，在翻折的过程中，BD的中点到四面体四个顶点的距离均相等，所以外接球的直径恒为BD，体积恒为定值.14．【答案】B【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：取BC中点E，由题意，正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，体积为43∴PE=32从而四棱锥P﹣ABCD的表面积为S=12×2×322∴内切球的半径为r=12设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，∴（2﹣R）2+12=R2，∴R=54∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．故选B．【分析】取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比．15．【答案】C【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【解析】【解答】对于A：如图，取AP中点G，连结EG､FG，又因为点F为线段PD的中点，所以FG//AD且FG=12AD，因为CE//AD且CE=12所以四边形CEGF是平行四边形，所以CF∥EG，CF=EG，因为CF⊄面AEP，EG⊂面AEP，所以CF//平面AEP；A符合题意；对于B：因为CF∥EG，所以∠PEG即为直线CF与PE所成角，在等腰直角△AEP中，EG为直角边AP上的中线，所以∠PEG是定值，B符合题意；对于C：设AD=2，则AB=BE=1，可得DE=AE=2，可得AE2+ED2=AD2，所以AE⊥ED，若AE⊥DP，ED∩DP=D所以AE⊥EP，即∠AEP=90∘，与∠APE=90对于D：由已知得AE⊥DE，当面APE⊥面AECD时，因为面APE∩面AECD=AE，DE⊂面AECD，所以DE⊥平面APE，因为AP⊂平面APE，可得DE⊥AP，又因为AP⊥PE，DE∩PE=E，所以AP⊥平面PDE，故∠PDA为AD与平面PDE所成角，在Rt△APD中，因为AD=2AB=2PA，可得∠PDA=30故答案为：C.

【分析】取AP中点G，连结EG､FG，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而得出CF//平面AEP；再利用异面直线所成的角的求解方法，得出异面直线CF与PE所成角的大小恒定不变；设AD=2，则AB=BE=1，可得DE=AE=2，再利用勾股定理得出AE⊥ED，若AE⊥DP结合线线垂直证出线面垂直，可得AE⊥面DEP，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以AE⊥EP，即∠AEP=90∘，与∠APE=90∘矛盾，所以AE⊥DP不成立；再利用已知条件结合面面垂直的性质定理推出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，可得DE⊥AP，再利用AP⊥PE结合线线垂直证出线面垂直，所以AP⊥平面PDE，故∠PDA为AD与平面PDE16．【答案】A【知识点】斜二测画法直观图【解析】解答：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．17．【答案】B【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征；球的体积和表面积【解析】【解答】由题意，不妨设OP⊥OC,又OP⊥OA，底面OABC是正方形，所以可将四棱锥P−OABC放在一个正方体内，所以DO⊥面OABC，又OE⊂面OABC，则DO⊥OE，又DE的中点为Q，所以OQ=1即Q的轨迹是以O为球心，OQ=12a又因为8个一样的正方体放在一起，点Q的轨迹就可以围成一个完整的球，所以Q的轨迹是以O为球心，OQ=12a所以18×4π(故答案为：B

【分析】由题意，不妨设OP⊥OC,又OP⊥OA，底面OABC是正方形，所以可将四棱锥P−OABC放在一个正方体内，所以DO⊥面OABC，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，则DO⊥OE，又因为DE的中点为Q，再利用中点的性质，所以OQ=12DE=12a，即Q的轨迹是以O为球心，OQ=12a为半径的球，且点Q恒在正方体内部，又因为8个一样的正方体放在一起，点Q的轨迹就可以围成一个完整的球，所以Q的轨迹是以O18．【答案】π【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）【解析】【解答】设圆锥的底面半径为R，高为ℎ，母线长为l，因为扇形的弧长为2π、半径为2，所以2πR=2π，所以R=1且l=2所以ℎ=l2−故答案为π3

【分析】设圆锥的底面半径为R，高为ℎ，母线长为l，再利用扇形的弧长为2π、半径为2结合弧长公式得出R的值和l的值，再利用勾股定理得出h的值，进而结合圆锥的体积公式得出圆锥的体积。19．【答案】9【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】因为侧面对角线的长为2a，所以高为(2a)2−故答案为：92a20．【答案】∉【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：因为AB∩α=A，则直线AB与平面α只有A一个交点，所以B∉α.故答案为：∉.

【分析】根据线面之间的关系，即可得出点面之间的关系。21．【答案】63π【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】由题意得，易知内切球球心O到各面的距离相等，设E,F为CD,AB的中点，则O在EF上且O为EF的中点，在ΔABE中，AB=6,AE=BE=4,OH=3所以三棱锥内切球的表面积为S=4πR

【分析】利用已知条件结合三棱锥的结构特征，再利用三棱锥与内切球的位置关系，从而用球的表面积公式求出三棱锥内切球的表面积。22．【答案】8+8【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】由题得梯形ABFE和CDEF的高为22所以梯形ABFE和CDEF的面积的和为12矩形ABCD的面积为4×2=8，等边△ADE，△CBF的面积和为12所以此几何体的表面积为63故答案为：8+8

【分析】由题意知两个三角形全等，两个梯形全等，由此求出此几何体的表面积。23．【答案】3【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）【解析】【解答】由题意得：r=1，ℎ=3，圆锥的体积为124．【答案】6【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【解答】如图所示，连接B1D1和AB1，因为B1D1//BD，所以∠AD1B1或补角为异面直线BD与A故答案为：66

【分析】连接B1D1和AB1，因为B1D1//BD，所以∠AD1B1或补角为异面直线BD25．【答案】7【知识点】由三视图求面积、体积；平行投影及平行投影作图法【解析】【解答】解：由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球，且圆柱的高为3，圆柱与球的半径都是1，∴几何体的体积V=π×12×3﹣23π×13=7故答案是：7π【分析】由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球，且圆柱的高为3，圆柱与球的半径都是1，代入体积公式求出圆柱的体积与半球的体积相减．26．【答案】2【知识点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】如图，在正方体ABCD−A1B1C则平面A1MCN即为平面由正方体的性质可知，A1M∥NC，则A1记CC1的中点为F，连接DF，易证DF⊥MC．连接EF，则所以MC⊥平面DEF，则DE⊥MC．同理可证，DE⊥NC，NC∩MC=C，则DE⊥平面A1所以平面A1MCN即平面α，且四边形A1MCN即平面因为正方体的棱长为2，易知四边形A1其对角线A1C=23，MN=2故答案为：2【分析】确定平面A1MCN即为平面α，四边形27．【答案】433【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P−ABCD图中长方体中P为棱的中点，BC=2,CD=2,P到BC的距离为3，∴四棱锥体积为V=13×4×3=433，四棱锥的表面积为【分析】由三视图还原出几何体是一个四棱锥,由体积和表面积公式求解.28．【答案】38；12【知识点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】解：由三视图得到几何体如图，所以几何体的表面积=4×2×4+（2×1+1×1）×2=38，体积V=4×2×1+4×1×1=12．【分析】由三视图得到几何体如图，利用表面积与体积计算公式即可得出．29．【答案】①②④【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积【解析】【解答】取AC中点F，连接BF，以F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴建立空间直角坐标系如图所示，设AB=a，则B(32a，0，0)，A(0，−a2，0)，所以VP−ABC由PA=PB=PC=2，△ABC是正三角形，得三棱锥P−ABC为正三棱锥，设外接球球心为O，半径为R，则OP=OA=R，且OP//z所以O(36a，0，解得R=2若PC⊥BE，则PC=(−36所以PC⋅BE=所以VP−ABC=3又R=24−223若PA⊥BE，则PA=(−所以PA⋅BE=425又R=24−(22)故答案为：①②④.

【分析】根据题意取AC的中点F，建立合适的空间直角坐标系，利用平面几何知识求出所需点的坐标，然后将垂直关系转化为向量的数量积为0，求出AB的长度，再利用球的体积公式和表面积公式进行判断即可得到答案．30．【答案】③【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，对于①若m∥α且n∥α，则m∥n；也可能相交，也可能异面，所以①不正确；对于②若m⊥β且m⊥n，则n∥β；也可能n⊂β，所以②不正确；对于③若m⊥α且m∥β，则α⊥β；由直线与平面垂直的性质可知③正确；对于④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n．错误，如果m∥α，但是平面α内有无数条直线与m垂直，特例例如正方体中的棱的位置关系．所以④不正确；故答案为：③．【分析】利用直线与平面的位置关系，通过反例判断命题的真假即可．31．【答案】(15【知识点】数量积表示两个向量的夹角；球的体积和表面积【解析】【解答】设球O的半径为r，则4πr2=20π由|OA|=12+a2设B(x，y，z)，则所以cos∠AOB=OA⋅又x2+y2+z2则点B的一个坐标为(15故答案为：(15

【分析】设球O的半径为r，利用球的表面积公式得出球O的半径长，再利用两点距离公式结合已知条件和a的取值范围，进而得出a的值，设B(x，y，z)，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和已知条件得出y+2z=52，32．【答案】36π【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【解析】【解答】该几何体的直观图如下图所示分别取AD，BC的中点O∵PO=2∴O又∵PO⊥AD，所以由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系A(2设四棱锥P−ABCD外接球的球心N(0∵PN=NA，∴4+(2−a)2设平面PBC的法向量为n=PBPB.n=0PC.四棱锥P−ABCD外接球的球心到面PBC的距离为d=|又|NP|=2所以平面PBC所截的圆面的面积为πr故答案为：36π

【分析】先由线面垂直判定定理证明PO⊥平面ABCD，进而建立空间直角坐标系，根据球心的性质列出方程得出球心坐标，再求出平面PBC的法向量，最后由向量法得出四棱锥P−ABCD外接球的球心到面PBC的距离，再计算出半径即可求解出平面PBC所截的圆面的面积。33．【答案】52π【知识点】球的体积和表面积【解析】【解答】如图，设外接球的球心为O，半径为R，底面ABC的外心为O1，底面外接圆的半径为r，因为AB=33，其余各棱长均为6，所以可得cos∠ABC=62+(33)2−622×6×33=34，所以故答案为：52π。

【分析】设外接球的球心为O，半径为R，底面ABC的外心为O1，底面外接圆的半径为r，利用AB=33，其余各棱长均为6，再利用余弦定理可得cos∠ABC的值，再结合同角三角函数基本关系式得出sin∠ABC的值，由正弦定理得出r的值，从而得出O134．【答案】2π【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；球的体积和表面积【解析】【解答】如图，由题意可知，AH=3圆锥内半径最大的球O满足与底面相切于H，与侧面相切于点B，则△AOB∼△ACH，所以AOAC设球O的半径为r，则AO=22所以22解得r=22，故故答案为：2π。

【分析】由题意结合勾股定理求出AH的长，再利用圆锥内半径最大的球O满足与底面相切于H，与侧面相切于点B，再结合两三角形相似的判断方法，得出△AOB∼△ACH，再利用两三角形相似对应边成比例，所以AOAC=OBCH，设球35．【答案】解：因为正四面体V−ABC所有棱长都为2，所以正三角形ABC边长为2，设正三角形ABC的中心为O，∴AO=2在RtΔAOV中，四面体V−ABC的高VO=4−故答案为2【知识点】棱锥的结构特征【解析】【分析】先做出正三角形的中心O点，连接AO，VO构成直角三角形AOV，根据题意由勾股定理即可得出答案。36．【答案】（1）证明：作CM⊥BD于M，连接AM，如图所示：由平面CBD⊥平面ABD，且平面CBD∩平面ABD=BD，得CM⊥平面ABD，所以CM⊥AM.因为CB=1，BD=2，∠BCD=90所以CD=22−BM=12−在直角三角形ACM中，可得AC=(又AD=2，E为CD的中点，所以AE⊥CD.（2）解：以M为坐标原点，MD，MC为x,z轴，平行AP的直线为y轴建系，M(0,0,0)，B(−12,0,0)，A(12,−∴BA=(1,−3,0)，BC设n=(x,y,z)是平面ABC则n⋅BA=x−设θ为直线AP与平面ABC所成角，所以sinθ=【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)根据题意作CM⊥BD于M，推导出CM⊥平面ABD，从而CM⊥AM，推导出AC=AD=2，E是CD中点，由此能证明AE⊥CD．

(2)结合题意取BC中点Q，连结AQ、PQ，推导出BC⊥平面APQ，过点P作PH⊥AQ，垂足为H，推导出PH⊥平面ABC，从而∠PAH是直线AP与平面ABC所成角，由此能求出直线AP与平面ABC所成角的正弦值．37．【答案】（1）证明：取PC的中点G，CD的中点H，连接EG,HG,FH，∵EG//BC且EG=12BC，FH//ADBC//AD且12∴EG//FH且EG=FH，∴四边形EGHF为平行四边形，∴EF//HG，又∵HG⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF//平面PCD（2）解：过E作EO⊥底面ABCD，则EO//12PA底面ABCD为正方形，AD=2，∴S∴三棱锥E−ABF的体积V【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【解析】【分析】（1）取PC的中点G，CD的中点H，连接EG,HG,FH，证出四边形EGHF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）过E作EO⊥底面ABCD，根据锥体的体积公式即可求解.38．【答案】（1）证明：在△ABC中，AC=BC，且AB是圆柱底面圆O的直径，即OA=OB，∴CO⊥AB，又AA1⊥底面ABC，CO⊂平面ABC且AB∩AA1=A，∴CO⊥又CO⊂平面ABC，所以平面COD⊥平面ABB（2）解：因为三棱柱ABC−A1B1C所以CA、CB、CC1两两垂直．以C为原点，CA、CB、∴C(显然CA=(4设平面COD的一个法向量为n=∵CO=(令z=1，得x=22，y=−2设平面COD与平面CBB1Ccosθ=|所以平面COD与平面CBB1C【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)由已知条件结合三角形中的几何关系即可得出线线垂直，再由线面垂直的性质定理和判定定理就得出线面垂直，然后由面面垂直的判定定理即可得证出结论。

(2)根据题意已知条件结合直三棱柱的几何性质即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面COD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面COD的法向量的坐标，同理即可求出平面CBB1C1的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面39．【答案】（1）解：设AC∩BD=G,则G是AC的中点，连接FG，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD；（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE,又∵AE⊂平面ABE,∴BC⊥AE,又∵AE⊥BE，BC∩BE=B,∴AE⊥平面BCE,∴AE⊥BF在△BCE中，BE=CB,F为CE的中点，∴BF⊥CE,AE∩CE=E∴BF⊥平面ACE，又BF⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE.【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）利用四棱锥的结构特征结合中点作中位线的方法，推出线线平行，进而推出线面平行。

（2）因为平面ABCD⊥平面ABE推出BC⊥AB,再利用线线垂直证出线面垂直，再利用中点的性质结合面面垂直的判定定理，从而推出面面垂直。40．【答案】（1）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°∴B即AD2+B∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PD⊥BD，又AD∩PD=D．∴BD⊥平面PAD∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．（2）解：过B作BH⊥CD于H，连接PH∵PD⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD∴PD⊥BH又∵BH⊥CD，PD∩CD=D∴BH⊥平面PCD∴∠BPH直线PB与平面PCD所成的角易求BH=3又∵PD⊥CD，∠PCD=45°，∴PD=2易证：PD⊥BD，∴PB=∴sin∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值2114【知识点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）由平面知识可先证明出AD⊥BD，即可证出BD⊥平面PAD，即可得PA⊥BD；（2）过B作BH⊥CD于H，连接PH，易证∠BPH直线PB与平面PCD所成的角，再解三角形△BPH，即可求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．41．【答案】解法（1）取PD中点G，连接GA，GN，G是PD中点，N是PC中点，⇒GN//DC，GN=1M是矩形ABCD边AB中点，⇒AM//DC，AM=1⇒GN//AM，GN=AM，所以四边形AMNG是平行四边形，⇒MN//AG，且MN是平面PAD外的一条直线，AG是平面PAD上的一条直线，⇒MN//平面PAD.解法（2）取CD中点H，连接HM，HN，H是DC中点，N是PC中点，所以HN//DP，因为M是AB的中点，H是CD的中点，所以AM=1因为AB=CD，AB//CD，所以AM=DH，AM//DH，所以四边形AMHD为平行四边形所以HM//DA，因为HN⊄平面PAD，DP⊂平面PAD，HM⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，所以HN//平面PAD，HM//平面PAD，因为HN∩HM=H所以平面HNM//平面PAD，因为MN⊂平面HNM，所以MN//平面PAD.【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质【解析】【分析】(1)根据题意做出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行由此得到四边形AMNG是平行四边形，由此即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。

(2)由已知条件做出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，由此即可得到四边形AMHD为平行四边形，从而得出线线平行，然后由线面平行和面面平行的判定定理即可得证出面面平行，再由面面平行的性质定理即可得证出结论。42．【答案】（1）证明：依题：CD⊥AD面PAD⊥面ABCD又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，又AP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）解：BA∥面PCD面ABCD由（1）知AB⊥面PAD∴VB−PAD=1取AD中点O，PO⊥AD，平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD，以过点O且平行于AB的直线为x轴，如图建系，各点坐标如图．由（1）易知平面PAD的一法向量为m=(1，0，0)设平面PBC的法向量为n.PB=(1，1，−1)，PC=(2，−1，−1).取x=2，n=(2，1，3).cos〈m，故所求二面角的余弦值为147【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）依题意得CD⊥AP，AP⊥PD，即AP⊥平面PCD，可得平面PAB⊥平面PCD（2）BA∥面PCD面ABCD由（1）知AB⊥面PAD，由VB−PAD=1取AD中点O，以过点O且平行于AB的直线为x轴建系，利用向量求解．43．【答案】（1）证明：AB=AD,∠BAD=60°，即△ABD为等边三角形，由VA−BPC:VA−BCD=1:2∴BP⊥AD，取BD中点E﹐连接AE,则AE⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴AE⊥平面BCD,CD⊂面BCD,∴AE⊥CD,又CD⊥AD,AD∩AE=A，∴CD⊥平面ABD,BP⊂平面ABD,∴CD⊥BP,又CD∩AD=D,∴BP⊥平面ACD,（2）解：∵E为BD的中点，△ABD的边长为2∴AE=3由（1）知AE⊥平面BCD,又P为AD的中点﹒∴P到平面BCD的距离为ℎ=3连接BM.由(1)知：CD⊥BD,∠BCD=30°，∴CD=2CM=23∴S△BCM由（1）知，BP⊥平面ACD,CP⊂面ACD,∴BP⊥CP,则S设M到平面BPC的距离为d，由VM−BCP=VP−BCM，得∴M到平面BPC的距离为3913【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【解析】【分析】（1）利用体积之比，转化为线段之比，从而得到P为AD的中点，可证BP⊥AD，取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，利用面面垂直的性质定理可得AE⊥平面BCD，进而证明CD⊥平面ABD，即可证明得到CD⊥BP，由线面垂直的判定定理证明即可；

（2）先求出点P到平面BCD的距离为ℎ=32，然后由等体积法VM-BCP=V44．【答案】（1）证明：法一：过M作MN//CD交PD于点N，连接AN.∵PM=2MC∴MN=2又∵AB=23CD∴AB//__MN，∴BM//AN.又∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴BM//平面PAD.法二：过点M作MN⊥CD于点N，N为垂足，连接BN.由题意，PM=2MC，则DN=2NC，又∵DC=3，DN=2∴AB//∴四边形ABND为平行四边形∴BN//AD.∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD∴PD⊥DC.又MN⊥DC∴PD//MN.又∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN,BNMN=N∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，ADPD=D∴平面MBN//平面PAD.∵BM⊂平面MBN∴BM//平面PAD.（2）证明：过B作AD的垂线，垂足为E.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD∴PD⊥BE.又∵AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，ADPD=D∴BE⊥平面PAD由（1）知，BM//平面PAD，所以M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，即BE.在ΔABC中，AB=AD=2，∠BAD=∴BE=3V【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【解析】【分析】（1）先作辅助线，可证四边形ABMN为平行四边形，得到BM//AN，即可证明BM//平面PAD；

（2）先作辅助线，可证BE⊥平面PAD，再由（1）BM//平面PAD，得到B到平面PAD的距离BE，利用VP−ADM=V45．【答案】（1）设内接正三棱柱的高为x，底面的边长为a，由直角三角形相似得18−x18=2∴内接正三棱柱的侧面积为：180=3a·x=3(15−5x整理得：x2−18x+72=0，∴x=6或∴正三棱柱的高为6cm或12cm.（2）当三棱柱的高小于三棱锥高的一半时，三棱柱的高为6．如图，∵正三棱锥的高为18，三棱柱的高为6，则SB′SB∴S△SB′C′S△SBC=49，∴VB′−ABC′∵正三棱锥的高为18cm，底面边长为15cm，∴VS−ABC∴三棱锥B′−ABC【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【分析】（1）设内接正三棱柱的高为x，底面的边长为a，由直角三角形相似及内接正三棱柱的侧面积，解方程求出正三棱柱的高；

（2）由已知可得三棱柱的高为6，由相似比与体积比的关系即可求得三棱锥B'-ABC'的体积．46．【答案】（1）证明：连接AE，如下图所示．∵四边形ADEB为正方形，F是BD的中点，∴AE∩BD=F，且F是AE的中点，又G是EC的中点．∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC．（2）证明：∵四边形ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，∴BE⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴BE⊥AC．又∵AC=BC=22AB，∴CA又∵BC∩BE=B，BC，BE在平面BCE内，∴AC⊥平面BCE．（3）解：取AB的中点H，连接CH．∵AC⊥BC，AC＝BC，∴CH⊥AB，且CH=1又平面ABED⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，∴CH⊥平面ABED，∴V=1【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质【解析】【分析】（1）由题意易得，GF//AC，即可证明GF∥平面ABC；（2）易得EB⊥AB，根据平面与平面垂直的性质，推出BE⊥平面ABC，从而可得BE⊥AC，根据勾股定理可知AC⊥BC，即可证明AC⊥